第3章数值分析---最佳平方逼近

1函数逼近主要讨论给定，求它的最佳逼近多项式的问题.)()(min)()(*xPxfxPxfnHP3.1.0最佳逼近],[baCf若(次数不超过n次多项式),使误差则称是在上的最佳逼近多项式.)(*xP)(xf],[banHxP)(*若则称相应的为最佳逼近函数.),,,}(,,,{)(1010生成的函数空间由nnspanxP)(*xP通常将范数取为或.22,)()(maxmin)()(min)(*)(xPxfxPxfxPxfbxaHPHPnn若取，即（1.18）则称是在上的最优一致逼近多项式.)(*xP)(xf],[ba求就是求上使最大误差最小的多项式.)(*xP],[ba)()(maxxPxfbxa3,)]()([min)()(min)(*)(22222baHPHPdxxPxfxPxfxPxfnn若取，即2则称是在上的最佳平方逼近多项式.)(*xP)(xf],[ba（1.19）miiiPPxPxfPfPf0222)]()([minmin*若是上的一个列表函数，在上给出，要求使则称为的最小二乘拟合.)(*xP)(xf（1.20）)(xf],[babxxxam10),,1,0)((mixfi*P4定义5badxxgxfxxgxf.0)()()())(),((（2.1）则称与在上带权正交.],[ba)(x)(xf)(xg若],,[)(),(baCxgxf上的权函数且满足)(x],[ba为5若函数族满足关系),(,),(),(10xxxnbakjkjdxxxx)()()(),(则称是上带权的正交函数族.)}({xk],[ba)(x若，则称之为标准正交函数族.1kA（2.2）.,0.,0kjAkjk三角函数族,2sin,2cos,sin,cos,1xxxx就是在区间上的正交函数族.],[6,)(,1)(10xxPxP,2/)13()(22xxP利用上述递推公式就可推出,2/)35()(33xxxP,8/)33035()(244xxxP,8/)157063()(355xxxxP,16/)5105315231()(2466xxxxP勒让德多项式P59-617切比雪夫多项式P61-64当权函数，区间为时，由序列正交化得到的正交多项式就是切比雪夫(Chebyshev)多项式.211)(xx]1,1[},,,,1{nxx它可表示为),arccoscos()(xnxTn.1x（2.10）若令，cosx.0,cos)(nxTn则83.3.1最佳平方逼近及其计算对及中的一个子集],[)(baCxf],[baC)}(,),(),({10xxxspann若存在，使)(...)()(00*xaxaxSnn22)(22*)()(min)()(xSxfxSxfxS.)]()()[(min2)(baxSdxxSxfx（3.1）则称是在子集中的最佳平方逼近函数.)(*xS)(xf],[baC.1)(x通常9由（3.1）可知该问题等价于求多元函数banjjjndxxfxaxaaaI2010])()()[(),,,(（3.2）的最小值.是关于的多元函数，),,,(10naaaInaaa,,,100kaI),,,1,0(nk即baknjjjkdxxxfxaxaI)(])()()[(20),,,1,0(nk利用多元函数求极值的必要条件22)(22*)()(min)()(xSxfxSxfxS.)]()()[(min2)(baxSdxxSxfx（3.1）10于是有banbababaknjjjkdxxxfadxxxadxxxadxxxkxxfaxxn)()())()((...))()(())()((,0))(),(())(),((001000001时).,,1,0(nk（3.3）(3.3)式是关于的线性方程组,称为法方程.naaa,,,10由于线性无关，故)(,),(),(10xxxn)56(0),,,(det10PGn于是方程组（3.3）有唯一解),,,1,0(*nkaakk).()()(*0*0*xaxaxSnn11此时,11))(),((10jkdxxxxjkkj.)())(),((10kkkddxxxfxxf,)(**1*0*nnxaxaaxS若取],1,0[)(,1)(,)(Cxfxxxkk中求次最佳平方逼近多项式nnH则要在12记,),,,(),,,(1010TnTnddddaaaa,daH（3.7）的解即为所求.),,1,0(*nkaakk则若用表示H),,,1(nnxxGG)12/(1)2/(1)1/(1)2/(13/12/1)1/(12/11),(),(),(...),(),(...),(0110000nnnnnnnnnnH（3.6）称为希尔伯特(Hilbert)矩阵.13例6设,1)(2xxf解10201dxxd10211dxxxd得方程组,609.0147.13/12/12/1110aa求上的一次最佳平方]1,0[逼近多项式.利用（3.7），得,147.122)21ln(213122,609.0102/32)1(31xdHa（3.7）14解之,426.0,934.010aa故.426.0934.0)(*1xxS平方误差))(),(())(),(()(*122xfxSxfxfx01102102102934.0426.0)1(1)426.0934.0()1(dddxxdxxxdxx最大误差.066.0)(1max)(*1210xSxxx.0026.0153.3.2用正交函数族作最佳平方逼近设],,[)(baCxf)},(,),(),({10xxxspann若是满足条件(2.2)的正交函数族，)(,),(),(10xxxnjixxji,0))(),((而0))(),((xxjj故法方程（3.3）的系数矩阵))(,),(),((10xxxGGnn则))(),(())(),((0xxfaxxknjjjk).,,1,0(nk（3.3）bakjkjdxxxx)()()(),(（2.2）.,0.,0kjAkjk16用做基,求最佳平方逼近多项式,当n很大时,系数矩阵(3.6)是高度病态,因此直接求解法解方程是相当困难的,通常采用正交多项式做基.},,,1{nxx用正交函数组去平方逼近函数f(x).)(,1)(,)(...)()()(1100法方程组有正规方程组设xaxaxaxxnnnkxxfaxxknjjjk,..,1,0)),(),(())(),((0bannbanbabanbanbabababanbababadxxxfadxxxadxxnxadxxxdxxxfadxxxadxxxadxxxdxxxfadxxxadxxxadxxxnnn)()())()((...))()(())()(()()())()((...))()(())()(()()())()((...))()(())()((100011110100010000111bannbanbabababadxxxfadxxxdxxxfadxxxdxxxfadxxxn)()())()((...00)()(0...))()((0)()(0...0))()((11100001.,...,2,1,0),,/())(,(nixfaiiii即得17求在上用Legendre多项式作f(x)的三次最佳平方逼近多项式.xxfe)(]1,1[例7解110e1))(),((dxxPxfx111e))(),((dxxxPxfx1122e)2123())(),((dxxxPxfx))(~),((xPxfk)6159().3,2,1,0(PLegendrek五版多项式先计算;3504.2e1e;7358.0e21;1431.0e7e1133e)2325())(),((dxxxxPxfx.02013.0e5e13718由(3.14)得,1752.12/))(),(())(),(/())(),((0000*0xPxfxPxPxPxfa,1036.12/))(),((31*1xPxfa,3578.02/))(),((52*2xPxfa.07046.02/))(),((73*3xPxfa代入(3.13)得三次最佳平方逼近多项式.1761.05367.09979.09963.0)(32*3xxxxS))(),(())(),(()(*xPxPxPxfxakkkk（3.14）11.)()(212dxxPxfkk),()()()(*1*10*0*xPaxPaxPaxSnnn（3.13）19最大误差.0112.0)(emax)(e)(*311*3xSxSxxxxn20.]1,0[)(,)(,4.]1,0[)(,)(,3.]4,0[)(,)()2(.,,,)7,6,5,3()1(,12221逼近多项式的一次最佳平方在求设逼近多项式的一次最佳平方在求设上的范数在求已知求已知向量xfxxfxfxxfxfxxfXXXXT练习：