数学分析--第一章-实数集与函数练习题

第一章实数集与函数一、填空题1．已知函数)(xf的定义域为4,0，则函数)1()1()(xfxfxg的定义域为_________。2．设xexf)(，21)(xxgf，则)(xg_______3．函数2112xxy的定义域是；４．函数xxy1arctan3的定义域是；５．设1x,2x1x,14)(3xxxf，则)4(xf=；６．函数2tan32sin2xxy的周期是；７．把函数32arcsinlnxy分解为简单函数；８．函数1x,1xy的反函数是；９．函数1xey的反函数是；10．设,cos(x),)(2)(xaexfax则)]([xf；11．212arccosxxy的定义域是，值域是；12．若xxf11)(，则)]([xff，)]}([{xfff；13．若31)1(22xxxxf，则)(xf；14．设311-102012)(xxxxxfx，则)(xf的定义域是，)0(f，)1(f；15．函数xyln1的定义域是；16．设)(xfy的定义域是]1,0[，则)(2xf的定义域是；17．设函数,1)(,ln1)(xxgxxf则)]([xgf；18．设20102sin)(2xxxxxf，则)2(f；19．函数11xxy的反函数是；20．函数xyln1的反函数是；二、选择填空1．点0x的)0(邻域是区间（）．)(A],[00xx)(B(00,xx］)(C［00,xx))(D（00,xx）2．函数)1lg(1xy的定义域是（）．)(A),1()(B),1()1,0()(C),2()2,0()(D),(22),1(3．设3)(,ln)(xxgxxf，则)]([xgf的定义域是（）．)(A),3()(B[,3))(C3),()(D3],(4．函数1)1ln(xxy的定义域是（）．)(A}1|{xx)(B}1|{xx)(C}1|{xx)(D}1|{xx5．函数43939)(22xxxxxf的定义域是（）．)(A)4,3[)(B)4,3()(C4],4[)(D4),4(6．函数216ln1xxxy的定义域是（）．)(A1),0()(B4),(11),0()(C4),0()(D4],(11),0(7．若2)1()1(xxxf，则)(xf（）．)(A2)1(xx)(B2)1(xx)(C2)1(x)(D2)1(x8．1x01xsin)(xxf，则)4(f（）)(A0)(B1)(C22)(D229．如果)1,0(log,2aaxuuya，则将y表示成x的函数是（）)(A2logxa)(Bxa2log)(Cxalog2)(Dxa2log三、计算题1．试在数轴上表示出下面不等式的解:(1)x(x2-1)0;(2)|x-1||x-3|;(3)23x12x1x;2．设a与b为已知实数,试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下列不等式的解:(1)|x-a||x-b|;(2)|x-a|x-b;(3)|x2-a|b.3．用区间表示下列不等式的解:(1)|1-x|-x≥0;(2)|x+x1|≤6;(3)(x-a)(x-b)(x-c)0,(a、b、c为常数且abc);(4)sinx≥22.4．确定下列初等函数的存在域:(1)y=sin(sinx);(2)y=lg(lgx);(3)y=arcsin10xlg;(4)y=lg10xarcsin.5.设函数0.x,20,xx,2f(x)x求(1)f(-3),f(0),f(1);(2)f(△x)-f(0),f(-△x)-f(0)(△x0).6.设函数f(x)=x11,求f(x+2),f(2x),f(x2),f(f(x)),f(f(x)1)7.试问下列复合函数是由那些些初等函数复合而成:(1)y=(1+x)20;(2)y=(arcsinx2)2;(3)y=lg(1+2x1);(4)y=xsin228.求下列函数的周期:(1)f(x)=cos2x;(2)f(x)=2tg(3x);(3)f(x)=cos2x+2sin3x.9.设函数f(x)=x1x1,求:f(0),f(-x),f(x+1),f(x+1)f(x1),f(x)1,f(x2),f(f(x)).10.已知f(x1)=x+2x1,求f(x).四、证明题1．证明:对任何x∈R,有(1)|x-1|+|x-2|≥1;(2)|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2.2．设a、b、c为三个任意的实数,证明:|cb||caba|2222你能说明此不等式的几何意义吗?3．设x0,b0且a≠b,证明xbxa介于1与ba之间.4．求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证.(1)S={x|x22};(2)S={x|x=n!,n为自然数};(3)S={x|x为(0,1)内的无理数};(4)S={x|x=1-n21,n=1,2,…}.5．S为非空有下界数集.证明:infS=ξ∈S的充要条件是ξ=minS.6．设S是非空数集,定义S={x|-x∈S},证明:(1)infS—=-supS;(2)supS—=infS.7．设A、B皆为非空有界数集,定义数集A+B={z|z=x+y,x∈A,y∈B}.证明:(1)sup(A+B)=supA+supB;(2)inf(A+B)=infA+infB.8.证明:f(x)=2x1x是R上的有界函数.9.证明下列函数在指定区间上的单调性:(1)y=3x-1在(-∞,+∞)内严格递增;(2)y=sinx在2,2上严格递增;(3)y=cocx在[0,π]上严格递减.10.证明:设f(x)为严格单调函数,若f(x1)=f(x2),则x1=x2.11.设f(x)为定义在[-a,a]上的任一函数,证明:(1)F(x)=f(x)+f(-x),x∈[-a,a]为偶函数;(2)G(x)=f(x)-f(-x)x∈[-a,a]为奇函数.(3)f可表示为某个奇函数与某个偶函数之和12.设f(x)、g(x)为定义在D上的有界函数,且f(x)≤g(x),x∈D,证明:(1)g(x)supf(x)supDxDx;(2)g(x)inff(x)infDxDx.13.设f为定义在D上的有界函数,证明:(1)f(x)inf-{-f(x)}supDxDx;(2)f(x)sup-{-f(x)}infDxDx14.证明:函数f(x)=tgx在2,2内可无界函数,但在2,2内任一闭区间[a,b]上有界15.证明:f(x)=x+sinx在(-∞,+∞)内是严格递增函数16.设a,b为实数,证明:(1)max{a,b}=21(a+b+|a-b|);(2)min{a,b}=21(a+b-|a-b|).