初中数学圆--垂径定理

圆——垂径定理讲师：XX老师1、圆的对称性2、弦弧之间的关系性质OAB圆既是轴对称图形也是中心对称图形。它的对称轴就是过圆心的直线。其对称中心为圆心。当直径平分弦时，就会平分弦对应弧。如图，AB是圆O的一条弦，做直径CD,使CD⊥AB,垂足为E,（1）圆是对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？COABEDCD⊥AB,结论：过圆心的直线垂直于弦，则会平分这条弦，且这条弦所对应的弧。解：（1）圆是对称图形，它的对称轴是过圆心的直线。（2）相等的线段有：OA=OB=OC=OD根据对称性：AE=BE相等的弧有：弧CAD=弧CBD弧AC=弧BC弧AD=弧BD圆CD是圆O的直径,AE=BDAC=BCAD=BDCD弦AB，垂足为E.知二推三：已知其中的任意两种量相等，则其他三组量也会相等。1.如图，已知圆O的半径OA=5，弦AB的弦心距OC=3，那么AB=.解析：连OA,因为OC根据垂径定理AC=BC在直角三角形OCA中，AC=4所以AB=8AB222OAACOC22253AC2、如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上的一点，E是弧AC的中点，OE交弧AC于D.若AC=8cm,DE=2cm,则OD的长为cm.解析：因为E为弧AC的中点，即OE平分弧AC。根据垂径定理逆定理可知:OE且OE平分AC.因为AC=8cm则AD=CD=4cm则在直角三角形OAD中：设圆O的半径为R.根据勾股定理：R=5AC222)2(4RR3.如图，在圆O中，弦AB=AC=5cm,BC=8cm,则圆O的半径等于cm解析：因为由已知得:AB=AC=5cm,所以三角形ABC为等腰三角形。作辅助线AD.根据等腰三角形三线合一定理可知：AD平分BC.BC=8cm。得：BD=CD=4cm，连OD。又由垂径定理可知：OD平分BC，即O、A、D在同一直线上。在直角三角形ABD中有：AD=3连接OB.设圆O的半径为R在直角形OBD中有：R=BCBCOD222ODBDOB222)3(4RR625D4.已知，圆O的直径为14cm,弦AB=10cm,点P为AB上一点，OP=5cm,则AP的长为cm.解析：作，连OA.根据垂径定理：AD=BDAB=10cm，所以AD=BD=5cm当P在AD中时，在直角三角形OAD中，由已知得：圆的直径为14cm,则OA=7cm.所以OD=在直角三角形ODP中，有：DP=1所以AP=AD-DP=4cm当P在DB中时，AP=AD+DP=6cmABOD222ADOAOD22257OD62222DPODOP222)62(5DPABPPDO5.如图，AB是圆O的弦，AB长为8，P是圆O上一动点,（不与A、B重合)，过点O作OC垂直AP于C，OD垂直PB于D.则CD的长为。ABOCPD解析：连接CD,因为OC垂直AP,OD垂直BP.根据垂径定理：C为AP的中点，D是BP的中点。所以在三角形ABP中，CD为它的中位线。因为AB=8则CD=AB=4216.如图，AB、CD是半径为5的圆O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F,P为EF上任意一点，则PA+PC的最小值为多少？ABCDMNEFPOG解：因为AB=8cmCD=6根据垂径定理得：AE=BE=4CF=DF=3连接OA、OC可得：OF=4,OE=3.所以：EF=7P在EF上，要使PA+PC最小又点A关于MN对称的点是点B所以连接BC，与EF的交点则为条件所求的点Ｐ。PA+PC=PC+PB=BC即连BG//EF，延长CD到GBG=EF=7CG=CD+1=7得：BC=7√2ABCDMNEFOGP如图：在直径是20cm的圆O中，两条半径的夹角是60◦，那么弦AB=,点O到弦AB的距离OD=.OADB作业：弓形的半径为6cm,弓形的高为2cm,则这弓形的弦长为。CDABO解：因为OA=OB且∠AOB=60°。所以∆AOB为等边三角形。即AB=10cm.又OD⊥AB得：D为AB中点所以：OD=3525100解：由已知得：ＯＡ＝OB=6cmOD=2cm所以：AD=4√2cm,又由勾股定理得：AD=BD=4√2cm即：AB=8√2cm