基本不等式-PPT课件

§3.4基本不等式2002年国际数学家大会会标创设情境、体会感知：三国时期吴国的数学家赵爽思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？一、探究问2：Rt△ABF,Rt△BCG,Rt△CDH,Rt△ADE是全等三角形，它们的面积总和是S’=———问1：在正方形ABCD中,设AF=a,BF=b,则AB=则正方形的面积为S=。问3：观察图形S与S’有什么样的大小关系？22ab2ab222abab易得，ss’,即ADCBc22abHGFEab问4：那么它们有相等的情况吗？何时相等？22ba22=2ababab当时，问题5：若a,b∈R，那么仍然成立吗？a2+b2≥2ab若成立，你能给出它的代数证明吗？证明:abba2221．指出结论适用的范围：Rba,2．强调取“=”的条件：ba02)(baabba222∵∴作差比较法结论：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立222abab2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数(0,0)2ababab（当且仅当a=b时，等号成立）二、新课讲解1.思考:如果用去替换中的,能得到什么结论?必须要满足什么条件?,ab222,ababab,ab算术平均数几何平均数基本不等式从数列角度看:两个正数的正的等比中项小于等于它们的等差中项你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?Rt△ACD∽Rt△DCB，BCDC所以DCAC2DCBCACab所以ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______2abab你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?3、几何意义：圆的半径不小于圆内半弦长基本不等式：当且仅当a=b时，等号成立.当且仅当a=b时，等号成立.重要不等式：(0,0)2ababab注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。222abab,abR（）三、应用0,02ababab（）20,0ababab（）例1、若,求的最小值.10xyxx变3:若,求的最小值.133xyxx变1:若求的最小值120,3xyxx变2:若,求的最小值.0,0baabyab发现运算结构，应用不等式结论1：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。0,02ababab（）0,02ababab2（）三、应用例2、已知,求函数的最大值.01(1)xyxx变式:已知,求函数的最大值.10(12)2xyxx发现运算结构，应用不等式结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且仅当两值相等时取最值。（1）一正：各项均为正数（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。两个正数和为定值，积有最大值。（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否则会出现错误小结：利用求最值时要注意下面三条：)0,0(2baabba1、本节课主要内容四、小结2、两个结论:（1）两个正数积为定值，和有最小值。（2）两个正数和为定值，积有最大值。1.两个不等式（1）（2）当且仅当a=b时，等号成立注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。2.不等式的简单应用：主要在于求最值把握“七字方针”即“一正，二定，三相等”)(2R,,22号时取当且仅当那么baabbaba(a0,b0)2abab3、两个结论:（1）两个正数积为定值，和有最小值。（2）两个正数和为定值，积有最大值。思考题陶渊明打算用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菊花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短篱笆是多少？xy积定和最小2、展露锋芒陶渊明打算用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菊花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短篱笆是多少？xy积定和最小