数学无敌讲义{教用}-多项式函数的图形与多项式不等式

高中数学无敌讲义{教用}多项式函数多项式函数的图形与多项式不等式多项式函数的图形与多项式不等式主题一多项式函数的图形多项式函数的图形：(1)一次函数f（x）＝ax＋b的图形是一条直线。(2)二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图形是一条拋物线。(3)三次或三次以上函数的图形可以用描点法画出大略的图形。(4)多项式函数f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋……＋a1x＋a0的图形，①若an＞0，则图形的最右方会上升到无限大；若an＜0，则图形的最右方会下降到负无限大。②多项式函数的图形是一条连续不间断的曲线。例题1由多项式函数图形求方程式与不等式的解下图是函数f（x）＝x3－6x2＋11x－6＝（x－1）（x－2）（x－3）的图形，试就x讨论f（x）值的正负号。解观察函数图形可得(1)若x＜1或2＜x＜3，则f（x）＜0(2)若x＝1，2或3，则f（x）＝0(3)若1＜x＜2或x＞3，则f（x）＞0类题下图是函数f（x）＝－x3－x2＋2x＝－x（x＋2）（x－1）的图形，试就x讨论f（x）值的正负号。解观察函数图形可得(1)若x＜－2或0＜x＜1，则f（x）＞0(2)若x＝－2，0或1，则f（x）＝0(3)若－2＜x＜0或x＞1，则f（x）＜0主题二一次不等式（配合课本P.123～P.124）1.(1)设f（x）为多项式，则f（x）＞0（或f（x）≧0，f（x）＜0，f（x）≦0）称为多项式不等式。(2)解多项式不等式的意思是求出使得不等式成立的所有x值。2.(1)一次不等式形如ax＋b＞0（或ax＋b≧0，ax＋b＜0，ax＋b≦0）。(2)解一次不等式只要移项即可，但要注意同乘或同除一个负数时，不等号要改变方向。例题2解一元一次不等式配合课本P.124随堂练习(1)试解不等式4x－5＜2x＋7。(2)設不等式ax－3≧3x＋1之解為x≦－2，試求a之值。解(1)4x－5＜2x＋7高中数学无敌讲义{教用}多项式函数多项式函数的图形与多项式不等式移项得4x－2x＜7＋52x＜12x＜6(2)ax－3≧3x＋1（a－3）x≧4……（＊）因x≦－22同乘－－2x≧4与（＊）式比较a－3＝－2a＝1类题(1)试解不等式－x＋1≦3x－3。(2)設不等式3x－2＞ax＋4之解為x＞3，試求a之值。解(1)－x＋1≦3x－3同乘3得－3x＋3≦x－9移项得－3x－x≦－9－3－4x≦－12x≧3(2)3x－2＞ax＋4（3－a）x＞6……（＊）因x＞3同乘22x＞6与（＊）式比较3－a＝2a＝1主题三二次不等式（配合课本P.124～P.126）1.二次不等式形如ax2＋bx＋c＞0（或≧，＜，≦），其中a≠0。2.利用图形解二次不等式：(1)依判别式b2－4ac的正负，可得图形及相对应的函数值正负号如下表所示：b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0a＞0a＜0(2)解不等式时，可先由判别式b2－4ac得知概略的图形，然后依照题目的条件来选择相对应的正确范围。通常会调整让最高次方的系数为正，较容易思考。3.分析每个因式的正负号解二次不等式：(1)观察每个因式的正负变化，依正负号改变的点，分段讨论。(2)此法较适用于解高次不等式。例题3b2－4ac＞0的情形配合课本例题2高中数学无敌讲义{教用}多项式函数多项式函数的图形与多项式不等式解下列二次不等式：(1)x2＋3x－10＞0。(2)－2x2－5x＋12≧0。解(1)原不等式分解为（x＋5）（x－2）＞0在数在线标出－5，2两点（不等式没有等号，表不含此两点，以空心表示）将数线分成区间（－∞，－5），（－5，2）及（2，＋∞）画出概略图形，标上正负号，表示如右得解为x＞2或x＜－5(2)将原不等式－2x2－5x＋12≧0改写成2x2＋5x－12≦0分解为（2x－3）（x＋4）≦0在数在线标出32，－4两点（不等式有等号，表包含此两点，以实心表示）将数线分成区间（－∞，－4），342－，及32，＋画出概略图形，标上正负号，表示如右得解为－4≦x≦32类题解下列二次不等式：(1)x2－7x＋12＜0。(2)－2x2＋x＋3≧0。解(1)原不等式分解为（x－3）（x－4）＜0在数在线标出3，4两点（不等式没有等号，表不含此两点，以空心表示）将数线分成区间（－∞，3），（3，4）及（4，＋∞）画出概略图形，标上正负号，表示如右得解为3＜x＜4(2)将原不等式改写成2x2－x－3≦0，不等式分解为（2x－3）（x＋1）≦0在数在线标出32，－1两点（不等式有等号，表包含此两点，以实心表示）将数线分成区间（－∞，－1），312－，及32＋，画出概略图形，标上正负号，表示如右，得解为－1≦x≦32例题4b2－4ac＝0的情形配合课本例题2解下列二次不等式：(1)x2－6x＋9≧0。(2)－9x2－6x－1＞0。解(1)如图（一），不等式配方得（x－3）2≧0对任意实数x，（x－3）2≧0故此不等式的解为所有实数(2)将原不等式改写成9x2＋6x＋1＜0如图（二），不等式配方得（3x＋1）2＜0但对任意实数x，（3x＋1）2≧0故所有实数都不是此不等式的解即此不等式没有实数解图（一）图（二）高中数学无敌讲义{教用}多项式函数多项式函数的图形与多项式不等式类题解下列二次不等式：(1)4x2－4x＋1≦0。(2)－16x2＋24x－9＜0。解(1)如图（一），不等式配方得（2x－1）2≦0对实数x≠12，（2x－1）2＞0不满足此不等式故不等式的解是x＝12(2)如图（二），不等式先移项（或乘上－1）得16x2－24x＋9＞0配方得（4x－3）2＞0对实数x≠34，（4x－3）2＞0皆满足不等式故不等式的解是x∈，但x≠34图（一）图（二）例题5b2－4ac＜0的情形配合课本例题2解下列二次不等式：(1)x2－2x＋2＞0。(2)－4x2－4x＞5。解(1)如图（一），由判别式b2－4ac＝（－2）2－4×1×2＝－4＜0且x2项的系数为1＞0，表示x2－2x＋2＞0恒成立故此不等式的解为所有实数(2)如图（二），将不等式改写成4x2＋4x＋5＜0由判别式b2－4ac＝42－4×4×5＝－64＜0且x2项的系数为4＞0，表示4x2＋4x＋5＞0恒成立故此不等式没有实数解图（一）图（二）类题解下列二次不等式：(1)x2－6x＋10＜0。(2)－9x2＋6x－4＜0解(1)如图（一），由判别式b2－4ac＝（－6）2－4×1×10＝－4＜0且x2项的系数为1＞0，表示x2－6x＋10＞0恒成立故此不等式没有实数解(2)如图（二），将不等式改写成9x2－6x＋4＞0由判别式b2－4ac＝（－6）2－4×9×4＝－108＜0且x2项的系数为9＞0，表示9x2－6x＋4＞0恒成立故此不等式的解为所有实数图（一）图（二）例题6解二次不等式（一）设a，b为实数，且二次不等式－2x2＋ax＋b＞0的解是－1＜x＜32，试求a，b的值。注意先由－1＜x＜32反推二次不等式f（x）＜0，再利用f（x）＜0与－2x2＋ax＋b＞0同义，求得a，b之值高中数学无敌讲义{教用}多项式函数多项式函数的图形与多项式不等式解以－1＜x＜32为解的二次不等式为k（x＋1）32x－＜0，其中k＞0即2kx2－kx－3k＜0又给定的二次不等式可改写为2x2－ax－b＜0因2kx2－kx－3k＜0与2x2－ax－b＜0同义，即系数成比例比较之下，得到22k＝ka＝3kb因此，a＝1，b＝3类题设a，b为实数，且二次不等式－6x2＋ax＋b≧0的解是13≦x≦12，试求a，b的值。解以13≦x≦12为解的二次不等式为k13x－12x－≦0，其中k＞0即6kx2－5kx＋k≦0又给定的二次不等式可改写为6x2－ax－b≦0因6kx2－5kx＋k≦0与6x2－ax－b≦0同义，即系数成比例比较之下，得到66k＝5ak＝bk，因此，a＝5，b＝－1例题7解二次不等式（二）设a，b为实数，且二次不等式－x2＋ax＋b＜0的解为x＞1或x＜－2，试求a，b的值。解以x＞1或x＜－2为解的二次不等式为k（x－1）（x＋2）＞0，其中k＞0即kx2＋kx－2k＞0，k＞0又给定的二次不等式可改写为x2－ax－b＞0因kx2＋kx－2k＞0与x2－ax－b＞0同义，即系数成比例比较之下，得到1k＝ka＝2kb，因此，a＝－1，b＝2类题设a，b为实数，且二次不等式ax2－3x＋b≦0的解为x≧2或x≦－5，试求a，b的值。解以x≧2或x≦－5为解的二次不等式为k（x－2）（x＋5）≧0，其中k＞0展开得kx2＋3kx－10k≧0又给定的二次不等式可改写为－ax2＋3x－b≧0因kx2＋3kx－10k≧0与－ax2＋3x－b≧0同义，即系数成比例比较之下，得到ka＝33k＝10kb，因此，a＝－1，b＝10主题四高次不等式（配合课本P.126～P.128）解题原则：(1)先使多项式的首项系数为正。(2)再将多项式分解成实系数一次或二次的因式乘积。(3)将多项式方程式的实根标示在数在线。(4)画出概略函数图形。(5)依函数图形，讨论不等式的解。高中数学无敌讲义{教用}多项式函数多项式函数的图形与多项式不等式例题8解高次不等式配合课本例题3解下列不等式：(1)（x－1）（x－2）（x2＋x＋1）＞0。(2)（x－1）（x－2）2（x－3）3≦0。解(1)因x2＋x＋1＞0恒成立，原不等式可转化为（x－1）（x－2）＞0令f（x）＝（x－1）（x－2）由右图可得原不等式的解为x＞2或x＜1(2)令f（x）＝（x－1）（x－2）2（x－3）3由右图可得原不等式的解为1≦x≦3类题解下列不等式：(1)（x－2）（x＋3）（x2－x＋3）≦0。(2)（x＋1）2（x＋2）（x＋3）＞0。解(1)因x2－x＋3＞0恒成立，原不等式可转化为（x－2）（x＋3）≦0令f（x）＝（x－2）（x＋3）由右可得原不等式的解为－3≦x≦2(2)令f（x）＝（x＋1）2（x＋2）（x＋3）由右图可得原不等式的解为x＜－3或－2＜x＜－1或x＞－1例题9虚根成对应用于解高次不等式配合课本例题4已知多项式方程式f（x）＝x4－5x3＋3x2＋19x－30＝0有一虚根2＋i，试解f（x）＜0。解因为实系数多项式方程式f（x）＝0有一虚根2＋i，根据虚根成对定理，所以2－i也是f（x）＝0的一根故f（x）可被〔x－（2＋i）〕〔x－（2－i）〕＝x2－4x＋5整除利用长除法计算，可得f（x）＝x4－5x3＋3x2＋19x－30＝（x2－4x＋5）（x2－x－6）再次分解f（x）得f（x）＝（x2－4x＋5）（x－3）（x＋2）因为x2－4x＋5的二次项系数1为正数，且判别式b2－4ac＝（－4）2－4×1×5＝－4＜0所以对任意实数x，x2－4x＋5＞0故f（x）＝（x2－4x＋5）（x－3）（x＋2）＜0的解为－2＜x＜3类题设实系数多项式f（x）＝x4－3x3＋5x2＋ax＋b，且f（1＋2i）＝0，试求：(1)a，b的值。(2)f（x）≧0的解。解(1)因f（1＋2i）＝0且f（x）是实系数多项式，根据虚根成对定理，得f（1－2i）＝0即f（x）可被〔x－（1＋2i）〕〔x－（1－2i）〕＝x2－2x＋5整除高中数学无敌讲义{教用}多项式函数多项式函数的图形与多项式不等式利用长除法计算如下：112125135125101252524100abaab－－－＋－＋＋＋－＋－＋＋－＋－－＋＋＋－＋－得a＋5＝4且b＝－10解得a＝－1，b＝－10(2)由(1)可得f（x）＝（x2－2x＋5）（x2－x－2）＝（x2－2x＋5）（x－2）（x＋1）因为二次函数x2－2x＋5的二次项系数1为正数，且判别式为（－2）2－4×1×5＝－16＜0所以对任意实数x，x2－2x＋5＞0得f（x）≧0的解与（x－2）（x＋1）≧0的解