中考常考基本几何模型16类

1中考常考基本几何模型16类模型是对基础知识的深刻认识与提炼出的基本类型，注重基本知识的教学是强化模型思想意识的前提，注重模型在知识与知识中的应用，在具有实际背景中的应用等，可有效提高学生数学建模与解题能力．(数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．)模型1:将军饮马模型如图1，已知直线l和直线l外同侧两定点A、B，在直线l上求一点P，使PAPB的值最小．作法：作A（B）点关于直线l的对称点D，连接BD与直线l相交于一点，则此点为所求作的P点，PAPB的值也最小．说明：这里利用点关于直线对称的性质，将一定直线同侧两定点问题转化为一定直线异侧两定点问题来达到求解的目的．细细分析这个基本几何模型，会发现隐含有如下两个基本结论：其一：同侧两三角形相似的问题如图1，若连接AD，交直线l于点E，并过点B作BFl于点F，则有AEPDEPBFP≌∽，如图2所示．例如图2-1，点E为长方形ABCD边CD上一点，在线段AD上作一点P，使ABPDEP∽（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）．解：由于点B、点E均为定点且在定直线AD的同侧，要在AD上求一点P，使ABPDEP∽，所以本题符合基本模型中隐含的第一类问题，于是作B点（或E点）关于AD的对称点B点（或E点），连接BE（或EB），BE（或EB）与AD的交点即为所求作的P点，如图2-2所示．其二：同侧两线段差值最大的问题如图3所示，连接AB(不妨假设点A到直线l的距离大于点B到直线l的距离)，设直线AB与直线l相交于点P，借助三角形的三边关系，可证明：PAPBAB≤．即：一定直线同侧两定点到这条直线上一动点的距离之差有最大值，其最大图2ιDFEPBA图1ιDPBAP＇图3ιPBADP＇图4ιPBAB＇图2-2图2-1EEFDCBADCBA2值是两定点的距离．同侧两线段差值最大问题的变式：如图4所示，作点A关于直线l的对称点D，连接BD(不妨假设点A到直线l的距离大于点B到直线l的距离)，设直线BD与直线l相交于P点，借助三角形的三边关系，可证明：PAPBBD≤．即：一定直线异侧两定点到这条直线上一动点的距离之差有最大值，其最大值等于其中一定点关于这条直线对称后的点与另一定点之间的距离．例如图4-1，在正方形ABCD中，8AB，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且6BM，P为对角线BD上一点，则PMPN的最大值为．解：由于点M、点N是两个定点，并在定直线BD的异侧，要在BD上求一点P，使PMPN的值最大，这显然属于基本模型中隐含的第二类问题中的变式形式，于是不妨作N点关于BD的对称点N点，则PMPN的最大值就是线段MN的长，如图4-2所示．∵四边形ABCD是正方形，8AB，点O是对角线AC与BD的交点，N是AO的中点，6BM，∴OAOC，BDAC，2CM，则点N在OC上，且是OC的中点，∴14CMCNCBCA，则CBACMN∽，∴14MNBA即2MN．练习：2015年陕西中考副题第14题；2018年陕西中考副题第25题(三线段共线问题)模型2：三垂直模型如图5，ABC中，90ABC，B点在直线l上，若过A、C点分别作l的垂线，垂足分别为D、E，则ADBBEC∽；若ABBC时，则有ADBBEC≌．练习：2014年陕西中考副题第14题模型3:边定角等模型如图6，已知A及其所对边BC的长均为定值时，求所有符合条件的A点或符合条件的三角形的最大面积．作法：先作一个符合条件的特殊ABC，再作它的外接圆⊙O，那么在BAC上任取一点D（不与B、C重合），它与BC所构成的三角形都满足BC的长及BC所对的角是定值的要求．由圆的知识可知：所有符合题意的三角形就是上面点D与BC所构成的三角形．要它的面积最大，只要三角形BC边上的高最长即可．作BC的垂直平分线，设它与BAC交于E点，与BC交于F点，于是ABCS的最大值就是12EFBC．ιEDCBA图5图6OFEACB图4-2图4-1N＇NPODCMBAODCNMPBA3例如图6-1，以正方形ABCD的一边BC为边向四边形内作等腰BCE，BEBC，过E作EHBC于H，点P是RtBEH的内心，连接AP，若2AB，则AP的最小值为（请在图中画出点P的运动路径）.解：∵点P是RtBEH的内心，∴连接PE、PB，如图6-2所示，∵90EHB，∴135BPE，又∵等腰BCE是以BC为边向正方形ABCD内作的，且2BEBC，∴BE的长是确定的，位置是不确定的.若连接PC，由等腰三角形的性质可知：BPE与BPC关于BP所在的直线ι成轴对称，且P点在直线ι上，于是在BPE中研究P点与A点的关系，就可转化在BPC中来研究P点与A点的关系，在BPC中，∵BC为定边，135BPC，∴P点应在以B、P、C三点确定的圆上，设圆心为O，则P点的运动路径为BC（不含B、C两点），如图6-3所示.∴求AP的最小值就转化为求圆外一点到圆上一点的最短距离了，于是连接OA、OB、OC，过O作OFAB于F，∵135BPC，则BC为90的弧，∴90BOC，则BOC为等腰直角三角形，∴BOF也是等腰直角三角形，又∵2AB，∴2OB即圆半径为2，则1OFBF，∴由勾股定理得：22()10OAOFABBF，则AP的最小值为102.练习：2014年陕西中考第25题、中考副题第25题；2016年陕西中考第25题第⑶问（存在性作图）；2017年陕西中考副题第25题.模型4:点、线平移模型如图7所示，在直角坐标系中，当线段AB平移至CD时，若已知A点坐标为11（x,y），B点坐标为22（x,y），C点坐标为11（x+k,y+h），则D点坐标就是22（x+k,y+h）．练习：2014年陕西中考副题第14题；第24题常用．模型5:平行四边形中，过中心的线平分平行四边形的面积模型如图8，ABCD中，AC与BD相交于O点．若过O点任作一条直线l，则l将ABCD平分成两部分，且这两部分全等（面积相等）．练习：2013年陕西中考第25题；2017年陕西中考第25题第⑵问．图8ODCBAι图6-3图6-2图6-1ABCDEHPABCDEHPιOFιPHEDCBA图7ODCBAxy4模型6：角的顶点在一圆中相切线上，则这些角中必有最大值的问题模型如图9，直线l与O相切于P点，1P是直线l上任意一点，则有1APBAPB≥.练习：2015年陕西中考第25题2015年陕西中考副题第25题模型7：共斜边的直角三角形的所有顶点在同一圆上的问题模型如图10，在ACB与ADB中，90ACBADB，则A、D、B、C四点在同一个圆上，且圆心在AB的中点上，AB就是圆的直径．例（2017陕西中考第14题）：如图11，在四边形ABCD中，ABAD，90BADBCD，连接AC，若6AC，则四边形ABCD的面积为．∵90BADBCD，∴A、B、C、D四点共圆，过B作BEAC于E，过D作DFAC于F，如图12所示，则90AEBDFA，又∵BAD90=BAEDAF，∴ABEDAF，又∵ABAD，则ABEDAF≌，45DCABCA，∴E=BAF，45CDFDCF，则DFCF，∴6BEDFAFCF．则ABCDS四边形=BCADCASS1122ACBEACDF1+2ACBEDF（）=18．模型8：点到直线上的所有连线中，垂线段最短的问题模型如图13，定点A与定直线m上各点的连线中，垂线段AP最短．例如图14-1，在RtABC中，90BAC，3AB，4AC，点P是BC上任意一点，连接PA，以PA、PC为邻边作PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为．解：∵PAQC是以PA、PC为邻边作的平行四边形，∴对角线PQ与AC的交点O点应平分PQ与AC，而AC的图9ιP1POBA图11DCBAFE图12DCBA图10ODCBAP2P！PA图13图14-2图14-1OCQPBAOPQCBA5长与位置是固定的，则O点就是一个定点，又∵点P是BC上任意一点，因此要PQ最小，只要OPBC即可，如图14-2所示．∵90BAC，3AB，4AC，∴2OC，由勾股定理可得：5BC，∴sinABOPBCABCOC，则65OP，∴PQ的最小值为125．练习：2016年陕西中考副题第14题模型9:过圆内一点，有最长（短）弦的问题模型如图15，在O中，点A是O内部异于圆心O的一点，则过点A所作的弦中，有最长弦直径EF即过点A、过圆心O的弦；有最短弦CD即过点A、且与EF垂直的弦．例如图16，AB是O的弦，6AB，点C是O上的一个动点，且45ACB.若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是.解：由于点M，N分别是AB，BC的中点，则12MNAC.要MN最大，则只要AC最大.由于AC是O的弦，点C是O上的一个动点，当C点运动时，AC就有可能过圆心O，于是AC就变为圆中最长的弦直径了，如图17所示.∵45ACB，AB=6，∴AC最大为62，则32MN.练习：2014年陕西中考副题第16题2016年陕西中考副题第25题模型10：借三边关系可求最值的问题模型如图18，点A为线段BC外一动点，且BCa，ABb（ab＞）.则AC的最大值为ab；AC的最小值为ab.例如图19，在ABC中，90ACB，5AB，3BC，P是AB边上的动点（不与点B重合），将BCP沿CP所在的直线翻折，得到BCP，连接BA，则BA长度的最小值为．解：在图19中，∵90ACB，5AB，3BC，∴由勾股定理得：4AC；由折叠性质知：3CBCB．在ACB中，由三角形的三边关系有：CACB＜BA，∵CA、CB的长均为定值，要BA的长有最小值，只要有CACB＝BA即B点能落在AC上时，BA的长有最小值（这解决了求BA长度有最小值的可能性问题）．另一方面：当CP所在的直线是ACB的平分线时，将BCP沿CP所在的直NMCBAOONMCBA图17图16图18ACBB＇PCBA图19图20PCBAB＇图15D＂D＇C＂C＇DCFEAO6线翻折，得到BCP，此时B点恰好落在AC上即有CACB＝BA（这解决了求BA长度有最小值的存在性问题），如图20所示，∴BA长度的最小值是1．练习：2014年陕西中考副题第23题2016年陕西中考副题第25题模型11:圆（内）外一点到圆上一点的最值问题模型如图21所示，M点是O的圆内或圆外的任意一点，则过圆心O点、M点的直线与圆交于F点，H点，则线段MF的长就是M点与圆上任意一点连线的最大值；线段MH的长就是M点与圆上任意一点连线的最小值.用几何直观性来分析：当过M点的直线与过M点直径所在的直线所构成的夹角越小，则相对来说MF的长也就越大了.例如图22，在矩形ABCD中，2AD，3AB，点E是AD边的中点，点F是射线AB上的一动点，将AEF沿EF所在直线翻折得到AEF，连接AC，则AC的最小值为．解：∵点E是AD边的中点，2AD，AEF是AEF沿EF所在直线翻折得到的，∴1EAEA，又∵点F是射线AB上的一动点，∴点A也随着点F的运动而变化，但点A到定点E的长是定值1，则点A在以E点为圆心，1为半径的圆弧（在矩形ABCD内）上，如图23所示,从而把求AC的长转化成求圆外一点到圆上一点的最短距离问题，如图24所示，连接CE，则22CECDDE=10，∴AC的最小值为101．练习：2017年陕西中考第25题第⑶问