磁通密度和磁通量成正比

121電機機械原理簡介31.1電機機械、變壓器與日常生活電機機械(electricalmachine)是把機械能轉成電能，或把電能轉成機械能的裝置。當這種裝置用來把機械能轉換成電能時，稱為發電機；用來把電能轉換成機械能時，稱為電動機。電動機和發電機，都是經由磁場的作用來完成能量的轉換。變壓器是另一種相關的裝置，它把某一準位的交流電能轉換成另一準位的交流電能。4上述三種電機裝置在日常生活中到處可見。在家中，電動機驅動電冰箱、冰凍機、吸塵器、攪拌器、冰氣機、電風扇及其他許多類似的器具；在工廠中，電動機幾乎供應所有工作機械的運動能量。為什麼電動機和發電機會如此普遍？答案非常簡單︰電能是一種乾淨而且有效率的能源，它容易作長途傳送且容易控制。在電能的傳送過程中，我們使用變壓器來減少在產生及使用電能的兩地之間，因傳送而產生的能量損失。5符號本書中向量、電的相量與複數值用粗體字表示（例如F），而純量用斜體字表示（如R）。此外，特殊字型用來表示如磁動勢（ℱ）之磁場量。61.3旋轉運動、牛頓定理與功率關係通常，要完全描述一個在空間中旋轉的物體需要三次元的向量，但正常的電機均在一個固定的軸上旋轉，因此僅需一個角的次元來描述。在本節中的觀念裡，沿固定軸的旋轉均簡化成純量。角位置θ物體的角位置（angularposition）θ係從某一任意參考點所量得的角度，通常以弳度（radians）或度（degrees）為單位，角位置對應於直線運動中的距離（distance）。7角速度ω角速度（angularvelocity）係角位置對時間的變化率。角速度對應於直線運動中的速度（velocity），如同一維空間中的線性速度被定義為沿直線（r）對時間之位移變化率（1-1）dtdrv8角速度ω之定義為角位移θ對時間的變化率（1-2）如果角位置的單位是弳度，則角速度的單位是弳度/秒。在處理一般的電機機械時，通常不用弳度/秒為單位而使用每秒轉數或每分鐘轉數來描述軸速度。dtdθω9下面所列是本書用來表示角速度的符號︰m以弳度/秒為單位的角速度fm以轉數/秒為單位的角速度nm以轉數/分為單位的角速度下標m表示上述的符號是代表機械的量，以用來區別電氣的量。這幾個角速度之間的關係如下所示︰nm=60fm（1-3a）（1-3b）ω2mmfω10角加速度α角加速度（angularacceleration）是角速度對時間的變化率，角加速度對應於直線運動中的加速度，如同在一度空間的直線加速度被下式所定義（1-4）角加速度亦被下式所定義（1-5）如果角速度以弳度/秒為單位，則角加速度以弳度/秒平方為單位。dtdωdtdva11圖1-1(a)施於圓柱上的力通過軸心，τ＝0。(b)施於圓柱上的力不通過軸心，此處的轉矩τ為逆時針方向。12轉矩是什麼？大致上我們可以稱它是作用在物體上的扭力。轉矩或扭力的大小是根據（1）作用力的大小，（2）旋轉軸至作用力延伸線的距離所決定。物體的轉矩定義為作用力與作用力延伸線至旋轉軸之最短距離的乘積，如果以r表示從轉軸指向施力點的向量，F表示作用力，則轉矩可以描述如下τ＝(作用力)(垂直距離)＝(F)(rsinθ)＝rFsinθ（1-6）13其中θ表示向量r及F之間的夾角。如果轉矩引起順時針方向的旋轉，我們稱之為順時針力矩，反之則稱為逆時針力矩（圖1-2）。轉矩的單位在SI單位系統為牛頓-米；在英制單位系統則為磅-呎。圖1-2物體所受轉矩公式的推導。14牛頓旋轉定律在直線運動中，牛頓定理描述作用在物體上的力和此物體加速度的關係，如下式所示︰F＝ma（1-7）上式中F＝作用在物體上的淨力m＝物體質量a＝所產生的加速度在SI單位系統中，力的單位為牛頓，質量的單位為公斤，加速度的單位為米/秒平方。15類似上式的另一公式用來描述作用在物體上的轉矩和此物體角加速度之間的關係，此一關係稱為牛頓旋轉定律（Newton’slawofrotation），其公式如下τ＝Jα（1-8）其中τ表示作用在物體上的淨力矩，α表示所產生的角加速度，J表示物體的轉動慣量。16功W直線運動中，功（work）的定義為經過一段距離的力之作用，如下式所示︰（1-9）在SI單位系統中，功的單位為焦耳。旋轉運動中，功的定義為經過一角度的力矩之作用，如下式所示︰（1-11）如果轉矩為常數，則（1-12）drFWθdWθW17功率P功率（power）就是做功的比率，或單位時間內所增加的功，如下式所示︰（1-13）通常功率的單位為焦耳/秒(瓦特）。根據功率的定義，同時假設作用力大小為常數且其方向和運動方向在同一線上，則功率可以表示如下︰（1-14）dtWdPFvdtdrFFrdtddtWdP)(18同理，假設轉矩為常數，則旋轉運動中的功率可以表示如下︰（1-15）ττττPdtddtddtWdP)(191.4磁場磁場是電動機、發電機、變壓器作能量轉換的主要機制，下面有四個基本定理，用來描述磁場在這些裝置中如何被使用︰1.一段通過電流的導線會在其周圍產生磁場。2.如果通過一線圈的磁場隨時間而變化，則會在這線圈上感應出電壓（這就是變壓器的基本原理）。3.一段帶有電流的導線放置在磁場中，會感應出一作用力在這導線上（這就是電動機的基本原理）。4.一段導線在磁場中運動，則此導線會感應出一電壓（這就是發電機的基本原理）。20磁場的產生安培定律（Ampere’slaws）說明了電流如何產生磁場︰（1-18）上式中，H表示由電流Inet所產生的磁場強度（magneticfieldintensity），dl為沿積分路徑的長度之微分。在SI單位系統中，I的單位為安培(amperes)，H的單位為安-匝/米(ampere-turns/meter）。netIdlΗ21圖1-3為一腳繞著N匝線圈的鐵心，如果鐵心是由鐵或其他類似的金屬（統稱為鐵磁材料）所製成，則由電流所產生的磁場會被限制在鐵心內，安培定律中的積分路徑就等於鐵心的平均長度lc。因線圈有N匝，當其流有電流i時，穿越積分路徑的電流Inet為Ni，因此安培定律變成圖1-3簡單的鐵心。22Hlc＝Ni（1-19）上式中，H是磁場強度向量H的大小，因此在鐵心中由供應的電流所產生的磁場強度大小為（1-20）對一種材料而言，其磁場強度H和磁通密度（magneticfluxdensity）B之間的關係為B＝μH（1-21）clNiH23上式中H＝磁場強度（magneticfieldintensity）μ＝材料的導磁係數（magneticpermeability）B＝產生的總磁通密度磁場強度的單位為安-匝/米，導磁係數的單位為亨利/米(henryspermeter），磁通密度的單位為韋伯/米平方(weberspersquaremeter），稱為特士拉（teslas，T）。真空中的導磁係數以μ0表示，其值為（1-22）H/m10470πμ24其他各種材料的導磁係數和μ0的比值我們稱為相對導磁係數（relativepermeability）︰（1-23）在如圖1-3所示的鐵心中，其磁通密度的大小為（1-24）而對一已知的面積，其上的總磁通為（1-25a）0μμμrclNiHBμμAdΑΒ25上式中，dA是此面積上的一微小單位。如果磁通密度向量垂直於面積A，而且磁通密度在整個面積上均為常數，則上式可以簡化為（1-25b）因此圖1-3中由電流i所產生的總磁通為（1-26）其中A表示鐵心的截面積。BAclNiABA26圖1-4(a)簡單的電路。(b)類似變壓器鐵心的磁路。27磁路如圖1-4a為一簡單的電路，電壓源V推動電流I流經電阻R，歐姆定律（Ohm’slaw）可以表示出它們之間的關係︰V＝IR在電路中，電壓或電動勢（electromotiveforce）推動電流；同樣的，在磁路中其相對應的量稱為磁動勢（magnetomotiveforce）（mmf）。磁路中的磁動勢等於供應給鐵心的有效電流︰ℱ＝Ni（1-27）上式中，ℱ是磁動勢的符號，其單位為安-匝（ampere-turns）。28磁路中的磁動勢也有極性（如圖1-5所示）。磁動勢的正端是磁通流出的一端；而磁動勢的負端是磁通流入的那一端。由線圈所圍繞的鐵心的極性可由修改過的右手定則得到︰如果右手四指順著線圈電流流動的方向，則拇指就指向磁動勢正端的方向（見圖1-5）。29圖1-5決定磁路中磁動勢源的極性。30在磁路中，磁動勢產生了磁通。磁動勢和磁通之間的關係為（1-28）上式中ℱ＝磁路中的磁動勢＝磁路中的磁通量ℛ＝磁路中的磁阻（reluctance）磁路中的磁阻對應於電路中的電阻，磁阻的單位為安-匝/韋伯（ampere-turnsperweber）。ℱ=ℛ31如何計算圖1-3中鐵心的磁阻呢？根據式（1-26）鐵心的總磁通為︰（1-26）（1-31）clNiABAμclANiμclAμℱ32比較式（1-31）和式（1-28），可得鐵心的磁阻為（1-32）數個串聯磁阻的等效磁阻就等於各個磁阻的總和︰（1-33）數個並聯磁阻的等效磁阻亦根據下式計算︰（1-34）Alcμℛ321eq1111ℛℛℛℛℛeq=ℛ1+ℛ2+ℛ3+…33例題1-2圖1-8a為一鐵磁性鐵心，其平均路徑長度為40cm，在鐵心的結構中有一0.05cm的氣隙，鐵心的截面積為12cm2，相對導磁係數為4000，鐵心上的線圈有400匝。假設氣隙的有效截面積較鐵心的截面積增加5%，根據上面所給的資料，試計算︰(a)整個磁通路徑的磁阻（包括鐵心和氣隙）。(b)欲在氣隙中產生0.5Wb/m2的磁通密度須多少電流。34圖1-8(a)例題1-2的鐵心。(b)相對於(a)的磁路。35解︰相對於此鐵心的磁路如圖1-8b所示。(a)鐵心的磁阻為turns/WbA30066m001201044000m40270,).)()((.crcccAlAlℛc36氣隙的有效面積為1.05×12cm2=12.6cm2，所以氣隙的磁阻為因此磁通路徑的總磁阻為turns/WbA000316m001260104m00050270,).)((.acAlℛaℛeq=ℛc+ℛa=66,300A‧turns/Wb＋316,000A‧turns/Wb=382,300A‧turns/Wb37雖然氣隙的長度較鐵心小800倍，但氣隙提供了大部分的磁阻。(b)根據式（1-28）ℱ=ℛ（1-28）同時因為=BA和ℱ＝Ni，因此上式變成Ni＝BAℛ38因此必須注意的是，題目的要求是氣隙的磁通，因此計算時使用氣隙的有效截面積。0.602A400turnsturns/Wb)‧)(382,300A0126m(0.5T)(0.02NABiℛ39鐵磁性材料的磁化特性導磁係數由下面的公式所定義︰B＝μH（1-21）為了說明鐵磁性材料中導磁係數變化的情形，我們供應一直流電流到圖1-3中的鐵心，且電流的大小由零安培慢慢的增加到最大的容許值，把磁通量對磁動勢的值繪出，可得如圖1-10a的曲線，這曲線稱為飽和曲線（saturationcurve）或磁化曲線（magnetizationcurve）。40圖1-10b是另一個類似的曲線，其為磁通密度B和磁場強度H之間的關係。根據式1-20和式1-25b（1-20）=BA（1-25b）ccllNiHℱ41我們可以很容易的看出，對一已知的鐵心而言，磁場強度和磁動勢成正比，磁通密度和磁通量成正比，因此B對H的曲線和磁通對磁動勢的曲線有相同的形狀。根據圖1-10b中磁通密度對磁場強度的曲線，在任一點的斜率依照定義就是鐵心在該H值時的導磁係數。從曲線上可以看出，導磁係數在未飽和區時很大且幾乎保持常數，而當鐵心飽和時就降到一個很小的值。圖1-10c是典型鋼片的磁化曲線，為了使巨大的飽和區能在圖上表示出來，我們把磁場強度取了對數值。42圖1-10(a)鐵磁性鐵心的磁化曲線。(b)以磁通密度和磁場強度