《点到直线的距离》教学设计(优质课)

点到直线的距离（一）教学目标1．知识与技能理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线距离公式.2．过程和方法会用点到直线距离公式求解两平行线距离.3．情感和价值认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题.（二）教学重点、难点教学重点：点到直线的距离公式.教学难点：点到直线距离公式的理解与应用.（三）教学方法学导式教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学.要求学生思考点到直线的距离的计算？能否用两点间距离公式进行推导？设置情境导入新课们将研究怎样由点的坐标和直线的方程求点P到直线l的距离.概念形成1．点到直线距离公式点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离为0022||AxByCdAB推导过程方案一：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为BA(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标：由此根据两点距离公式求出|PQ|，得到点P到直线l的距离为d.此方法虽思路自然，但运算较繁，下面我们探讨另一种（1）教师提出问题已知P(x0，y0)，直线l：Ax+By+C=0，怎样用点的坐标和直线方程直接求点P到直线l的距离呢？学生自由讨论（2）数形结合，分析问题，提出解决方案.把点到直线l的距离转化为点P到l的垂线段的长，即点到点的距离.画出图形，分析任务，理清思路，解决问题.寻找最佳方案，附方案二.方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R(x1，y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0，y2)，由1100200AxByCAxByC得0012,ByCAxCxyAB通过这种转化，培养学生“化归”的思想方法.方法.所以0001||||||AxByCPRxxA0002||||||AxByCPSyyB22||RSPRPS22||ABAB00||AxByC由三角形面积公式可知d·|RS|=|PR|·|PS|.所以0022||AxByCdAB可证明，当A=0时仍适用.这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识、能力、意志品质等方面得到了提高.应用举例例1求点P=(–1，2)到直线3x=2的距离.解：22|3(1)2|5330d例2已知点A(1，3)，B(3，1)，C(–1，0)，求三角形ABC的面积.学生分析求解，老师板书例2解：设AB边上的高为h，则221||2||(31)(13)22ABCSABhABVAB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在直线方程为311331yx即x+y–4=0.点C到x+y–4=0的距离为h2|104|5112h，通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性.因此，1522522SABC概念深化2．两平行线间的距离d已知l1：Ax+By+C1=0l2：Ax+By+C2=01222||CCdAB证明：设P0(x0，y0)是直线Ax+By+C2=0上任一点，则点P0到直线Ax+By+C1=0的距离为00122||AxByCdAB.又Ax0+By0+C2=0即Ax0+By0=–C2，∴1222||CCdAB教师提问：能不能把两平行直线间距离转化为点到直线的距离呢？学生交流后回答.再写出推理过程进一步培养学生化归转化的思想.应用举例例3求两平行线l1：2x+3y–8=0l2：2x+3y–10=0的距离.解法一：在直线l1上取一点P(4,0)，因为l1∥l2，所以P到l2的距离等于l1与l2的距离，于是22|243010|2131323d在教师的引导下，学生分析思路，再由学生上台板书.开拓学生思维，培养学生解题能力.解法二：直接由公式22|8(10)|2131323d课堂练习：已知一直线被两平行线3x+4y–7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3，且该直线过点(2，3)，求该直线方程.归纳总结小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式.老师和学生共同总结——交流——完善培养学生归纳、概括能力，构建知识网络.课后作业布置作业见习案3.3的第三课时独立完成巩固深化备选例题例1求过点M(–2，1)且与A(–1，2)，B(3，0)两点距离相等的直线的方程.解法一：当直线斜率不存在时，直线为x=–2，它到A、B两点距离不相等.所以可设直线方程为：y–1=k(x+2)即kx–y+2k+1=0.由22|221||321|11kkkkkk，解得k=0或12k.故所求的直线方程为y–1=0或x+2y=0.解法二：由平面几何知识：l∥AB或l过AB的中点.若l∥AB且12ABk，则l的方程为x+2y=0.若l过AB的中点N(1，1)则直线的方程为y=1.所以所求直线方程为y–1=0或x+2y=0.例2（1）求直线2x+11y+16=0关于点P(0，1)对称的直线方程.（2）两平行直线3x+4y–1=0与6x+8y+3=0关于直线l对称，求l的方程.【解析】（1）当所求直线与直线2x+11y+16=0平行时，可设直线方程为2x+11y+C=0由P点到两直线的距离相等，即2222|11|1116211211C，所以C=–38.所求直线的方程为2x+11y–38=0.（2）依题可知直线l的方程为：6x+8y+C=0.则它到直线6x+8y–2=0的距离122|2|68Cd，到直线6x+8y+3=0的距离为222|3|68Cd所以d1=d2即2222|2||3|6868CC，所以12C.即l的方程为：16802xy.例3等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+3y–6=0上，顶点A的坐标是(1，–2).求边AB、AC所在直线方程.【解析】已知BC的斜率为23，因为BC⊥AC所以直线AC的斜率为32，从而方程32(1)2yx即3x–2y–7=0又点A(1，–2)到直线BC：2x+3y–6=0的距离为10||13AC，且10||||13ACBC.由于点B在直线2x+3y–6=0上，可设2(,2)3Baa，且点B到直线AC的距离为222|32(2)7|103133(2)aa13|11|103a所以1311103a或1311103a，所以6313a或313所以6316(,)1313B或324(,)1313B所以直线AB的方程为162132(1)63113yx或242132(1)3113yx即x–5y–11=0或5x+y–3=0所以AC的直线方程为：3x–2y–7=0AB的直线方程为：x–5y–11=0或5x+y–3=0.