SnS-第6章拉普拉斯变换与连续时间系统(1)

信号与系统多媒体教学课件第六章Part122019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课内容要点双边拉普拉斯变换的定义和收敛域单边拉普拉斯变换及其性质拉普拉斯逆变换微分方程和电路的s域求解LTI系统的系统函数及其性质LTI系统的框图表示32019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课第6章拉普拉斯变换与连续时间系统6.0引言6.1拉普拉斯变换的定义6.2单边拉普拉斯变换6.3拉普拉斯变换的性质作业42019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课第6章拉普拉斯变换与连续时间系统6.4拉普拉斯逆变换6.5微分方程的求解作业52019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课第6章拉普拉斯变换与连续时间系统6.6电路的s域求解6.7双边拉普拉斯变换作业62019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课第6章拉普拉斯变换与连续时间系统6.8LTI系统的系统函数及其性质6.9LTI系统的框图表示作业72019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.0引言连续时间LTI系统的分析方法1)求解微分方程(得到完全响应)2)采用卷积积分(得到零状态响应)o以上方法存在问题：计算过程繁锁3)利用傅里叶变换(FT)o优点：将时域微分方程转化为频域代数方程，求解容易；o局限：①许多信号不存在FT②无法求得零输入响应拉普拉斯变换(LaplaceTransform,LT)82019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.0引言拉普拉斯变换(LT)LT可以描述FT无法描述的信号；可以将微分方程变换为代数方程；可以直接求得系统的完全响应；对于连续时间信号及LTI系统的分析，LT具有比FT更为广泛的特性描述，更具通用性。Back92019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义主要内容拉普拉斯正变换拉普拉斯逆变换拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的零极点图102019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义定义一：从傅里叶变换引出傅里叶变换ttfFtde)()j(jde)j(21)(jtFtf112019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义有几种情况不满足狄里赫利条件：若原信号乘一衰减因子e-σt,其中σ为任意实数，则乘积信号f(t)e-σt收敛，且满足狄里赫利条件)0(eaatttue)()(eeatatcostttcose)(tu阶跃信号增长信号周期信号122019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯(正)变换信号x(t)乘以一个实指数收敛因子e-σt后的傅里叶变换，即ttxttxXtxttttde)(dee)()j(e)(FT)j(j记s=σ+jω(称为复频率)ttxsXstde)()(132019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义定义二：连续时间LTI系统的响应考虑：将一个复指数信号x(t)=est(其中s=σ+jω)输入至单位冲激响应为h(t)的连续时间LTI系统，此时系统的零状态输出stesHtxthty)()()()(h(t)x(t)=est框图表示de)(ede)(d)()()()()()(ssttshhtxhthtxty142019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义定义二de)()(shsHLTI系统对输入为x(t)=est形式的复指数的作用是乘以H(s)复指数信号est为连续时间LTI系统的本征函数，H(s)称为本征值或系统函数(也称传递函数)。H(s)即为单位冲激响应的拉普拉斯变换152019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义单边与双边拉普拉斯变换前面定义的拉普拉斯变换能够处理从-∞至+∞整个时间区间内存在的信号，将这一定义式称为双边拉普拉斯变换对于因果信号x(t)=x(t)u(t)，双边拉普拉斯变换退化为单边拉普拉斯变换ttxsXstde)()(0de)()(ttxsXst162019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义傅里叶变换与拉普拉斯变换的差异定义域值域x(t)实数实数X(j)纯虚数复数X(s)复数复数172019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的逆变换x(t)的拉普拉斯变换就是x(t)e-σt的傅里叶变换de)j(π21)j(IFTe)(jttXXtx经整理，得到拉普拉斯逆变换jjde)(πj21)(ssXtxst182019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换与傅里叶变换拉普拉斯变换将信号x(t)表示为复指数est的加权组合，其权值正比于X(s)连续时间傅里叶变换是把时域信号表示为复谐波函数ejωt的加权组合，其权值正比于X(jω)LT是FT的一种推广192019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的收敛域使拉普拉斯变换存在的σ的取值范围称为收敛域(ROC)信号x(t)e-σt比信号x(t)更可能满足绝对可积条件，因此拉氏变换比傅里叶变换具有广泛的适用性tetxtd)(202019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉氏变换的零极点图信号x(t)的拉普拉斯变换可表示为分子分母都是复变量s多项式的两个多项式之比，即为有理分式o在s平面内，关于有理函数X(s)的零点(用圆圈表示)和极点(用叉表示)的图称为零极点图njjmiinnmmpszsKsasaasbsbbsDsNsX111010)()()()()(212019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义拉氏变换的零极点图)Re(,sO-24-332j,Im(s)X(s)有一对共轭极点-2±3j和一个零点4222019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义【例6-1】已知信号x(t)=e-atu(t),aR,a0。求拉普拉斯变换X(s)及其收敛域解：根据定义，得asasasasttttusXttatttatastasstatstat1ee1limee1e1dedeede)(e)(j)(0j)(0)(0)(0asassX)Re(,1)(asastuat)Re(,1)(eLTO-aj232019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义【例6-2】已知信号x(t)=-e-atu(-t),aR,a0。求拉普拉斯变换X(s)及其收敛域解：根据定义，得asasasttttuesXtastasstatstat)Re(,1e1dedeede)()(0)(0)(0asastuat)Re(,1)(e-LTO-aj242019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义关于拉普拉斯变换的一些推论时域中两个完全不同的信号可能有相同的拉普拉斯变换要使X(s)和x(t)之间一一对应必须标明收敛域如果在s平面找不到收敛域，那么这个信号的拉普拉斯变换就不存在252019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.1拉普拉斯变换的定义关于拉普拉斯变换的一些推论如果信号的拉普拉斯变换的收敛域包含jω，则该信号的傅里叶变换存在，可以令s=jω来得到相应的傅里叶变换)(FT)j()(jtxXsXs有始有终信号和能量有限信号，存在拉氏变换和收敛域对于一些比指数函数信号增长更快的信号不存在拉氏变换，除非时间有限(0≤t≤T)Back262019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.2单边拉普拉斯变换在许多拉氏变换的应用中的信号为因果信号，即信号只有在时间t≥0时才有非零值。这时双变拉氏变换就退化为单边拉氏变换：积分下限选择0-基于以下两点适用于t=0时出现不连续点和冲激的一类信号直接分析或求解具有非零起始状态即0-起始状态的微分方程0de)()(ttxsXst272019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.2单边拉普拉斯变换单边与双边拉普拉斯变换的比较对于t0时为零且t=0时刻连续的信号，单边和双边拉普拉斯变换是等价的对于给定的双边拉普拉斯变换，必须指定收敛域，这样才能确定时域信号对于给定的单边拉普拉斯变换X(s)，无须指定收敛域，它的逆变换是惟一确定的282019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.2单边拉普拉斯变换单边与双边拉普拉斯变换的比较单边拉普拉斯变换的收敛域或者是全s平面(对时限因果信号)，或者是X(s)中以最右边极点的实部为边界的右边区域一般情况下，术语拉普拉斯变换指的是单边拉普拉斯变换292019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.2单边拉普拉斯变换【例6-7】分别求cosω0tu(t)和sinω0tu(t)的拉普拉斯变换及其收敛解：利用例6-1得到的结果asastuat)Re(,1)(eLT0)Re(,j1j121)(cos20200LT0sssssttu0)Re(,j1j1j21)(sin202000LT0ssssttuO00jBack302019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.3拉普拉斯变换的性质拉普拉斯变换的定义式只能计算一些简单信号的拉普拉斯变换，而对于一些复杂信号的拉普拉斯变换通常利用性质来计算；拉普拉斯变换有着许多和傅里叶变换相似的性质，它们的证明也是类似的;设信号x(t)=x(t)u(t),h(t)=h(t)u(t),且有，)()(LTsXtx)()(LTsHth312019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.3.1线性性质一个复杂信号的拉普拉斯变换可以通过将其分解为若干个简单信号的拉普拉斯变换之和来求解)()()()(LTsbHsaXtbhtax322019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.3.2时移性质证明作变量置换，令t-t0=τ,则t=τ+t0,dt=dτ0e)()(LT0stsXttx00t0de)(de)()()()(LT000000tststtttxtttuttxttuttx)(ede)(ede)()()(LT00000)(00sXxxttuttxstsstts332019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.3.2时移性质时延性质仅适用于t00的情况时移性质表明，信号在时域延迟t0后，就相应于原信号的拉普拉斯变换乘以复指数e-st0如果在拉普拉斯变换式中出现s的指数形式，这通常是由时域的移位引起的342019年9月5日星期四信号与系统第6章第1次课§6.3.2时移性质开关周期信号的拉普拉斯变换)2()()()()()(111TtxTtxtxtutxtxpsTnnsTsTsTsXsXsXsXsXsXe1