三角函数基本概念和表示

第三章三角函数第一节三角函数及概念复习要求：1．任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化；2．三角函数（1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。知识点：1.任意角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射线的端点叫做叫的顶点。2.角的分类为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。3.象限角角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。（1）第一象限角的集合：|22,2kkkZ（2）第二象限的集合：。AOB（3）第三象限角的集合：。（4）第四象限角的集合：4.轴线角角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。5.终边相同的角所有与角终边相同的角连同角在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为：|360,SkkZ或|2,SkkZ。它们彼此相差2()kkZ，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。6.区间角区间角是指介于两个角之间的所有角，如5|,6666。7，角度制与弧度制角度制：规定周角的1360为1度的角，记作01，它不会因圆的大小改变而改变，与r无关弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad或1弧度或1(单位可以省略不写)。角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地,正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。8.角的度量（1）角的度量制有：角度制，弧度制（2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad。3602，180rad，10.01745()180radrad，1801()57.30rad（3）特殊角的弧度度030456090120135150180270360弧度9.弧度数计算公式在半径为r的圆中，弧长l所对的圆心角的弧度数为||=。10.弧长公式与扇形面积公式角度制弧度制弧长公式180nrl||lr扇形面积2360nrS211||22Slrr（是圆心角的弧度数）11.三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，在的终边上任取一点(,)Pxy,它与原点的距离r，则22||0rOPxy.过作轴的垂线,垂足为,则线段OM的长度为x，线段MP的长度为y.把：比值yr叫做正弦，即sinMPyOPr；比值xr叫做余弦，即cosOMxOPr；比值yx叫做正切，即tanMPyOMx。利用单位圆定义任意角的三角函数，设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,则：（1）叫做的正弦,记做,即；（2）叫做的余弦,记做,即；（3）yx叫做的正切,记做,即。12．三角函数在各象限的符号：是根据三角函数的定义和各象限内坐标的符号推出的口决：一全正，二正三切四余13．三角函数线以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）。设单位圆与角的终边的交点(,)Pxy，过点作轴交轴于点，过单位圆与x轴的非负半轴交点A作单位圆的切线与角的终边（或延长线）交于点T。根据三角函数的定义：sinMPy，cosOMx，tanAT。我们把有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线。三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。利用三角函数线在解决比较三角函数值大小、解三角方程及三角不等式等问题时，十分方便。补充：特殊角的三角函数值：0643223sin010-1cos10-10tan01不存在0不存在cot不存在10不存在0经典例题例1写出终边在轴上的角的集合解：终边在轴上的角的集合是例2已知是第三象限角，则是第几象限角？答案：第一，第三，第四象限例3.（1）若sincos0则在第象限。（2）若是第二象限角，则sin2,cos2,sin,cos,tan222中能确定为正值的有个。答案:(1)二、四象限（2）为第三第四象限，为第一，第三象限，所以为1个例4已知角的终边上一点P（-4m,3m)，且m0，求的四个三角函数值答案：例5已知一扇形的中心角是，所在圆的半径为R，若60,10Rcm，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积答案：所以面积:基础练习题:1,若角则角是第____象限角（）A1B2C3D42，是的（)A充分不必要B必要不充分C充分必要D既不充分也不必要3，已知角的终边经过点P(-1，2)，则()ABCD第二节三角函数的基本公式复习要求：1，理解同角三角函数的关系2，能正确运用同角三角函数的关系进行三角函数的化简求值3，能正确运用三角函数的诱导公式化简三角函数式4，理解二倍角的三角函数知识点:一、任意角的三角函数在角的终边上任取一点),(yxP，记：22yxr，正弦：rysin余弦：rxcos正切：xytan余切：yxcot正割：xrsec余割：yrcsc注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线。二、同角三角函数的基本关系式倒数关系：1cscsin，1seccos，1cottan。商数关系：cossintan，sincoscot。平方关系：1cossin22，22sectan1，22csccot1。三、诱导公式⑴k2)(Zk、、、、2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限）⑵2、2、23、23的三角函数值，等于的异名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）四、和角公式和差角公式sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan(五、二倍角公式cossin22sin2222sin211cos2sincos2cos…)(2tan1tan22tan二倍角的余弦公式)(有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）2cos22cos12sin22cos12)cos(sin2sin12)cos(sin2sin122cos1cos2，22sin1sin2，2cos12sin2sin2cos1tan。六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）2tan1tan22sin，22tan1tan12cos，2tan1tan22tan。万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。七、和差化积公式2cos2sin2sinsin…⑴2sin2cos2sinsin…⑵2cos2cos2coscos…⑶2sin2sin2coscos…⑷了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：2sin2cos2cos2sin22sinsin2sin2cos2cos2sin22sinsin两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。2sin2sin2cos2cos22coscos2sin2sin2cos2cos22coscos两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。八、积化和差公式)sin()sin(21cossin)sin()sin(21sincos)cos()cos(21coscos)cos()cos(21sinsin我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。九、辅助角公式)sin(cossin22xbaxbxa（）其中：角的终边所在的象限与点),(ba所在的象限相同，22sinbab，22cosbaa，abtan。经典例题：例1已知，是第三象限的角，求，解：例2已知=3，求下列各式的值（1)(2)答案：，例3解:例4，已知证明:基础练习：1，已知的值是（）ABCD2，如果是锐角，（）ABCD3，（）ABCD4，ABCD5，已知