边界层理论

EXIT第5章下边界层理论及其近似5.1、边界层近似及其特征5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程5.3、平板层流边界层的相似解5.4、边界层动量积分方程5.5、边界层的分离现象EXIT5.1、边界层近似及其特征223~VLtVLdtdVmFJVLAdydVF~Re22LVLVVLVLFFJ1、边界层概念的提出我们已知道，流动Re数（O.Reynolds，1883年，英国流体力学家）是用以表征流体质点的惯性力与粘性力对比关系的。根据量级分析，作用于流体上的惯性力和粘性力可表示为:惯性力:粘性力：惯性力/粘性力：因此，在高Re数下，流体运动的惯性力远远大于粘性力。这样研究忽略粘性力的流动问题是有实际意义的。EXIT5.1、边界层近似及其特征这也是早期发展理想流体力学的重要依据，而且确实较成功地解决了与粘性关系不大的一系列流动问题，诸如绕流物体的升力、波动等问题。但对绕流物体阻力、涡的扩散等问题，理想流体力学的解与实际相差甚远，且甚至得出完全相反的结论，圆柱绕流无阻力的D’Alembert疑题就是一个典型的例子。那么，如何考虑流体的粘性，怎样解决扰流物体的阻力问题，这在当时确实是一个阻碍流体力学发展的难题。EXIT5.1、边界层近似及其特征Prandtl把这一物面近区粘性力起重要作用的薄层称为边界层（Boundarylayer）。直到1904年流体力学大师德国学者L.Prandtl通过大量实验发现，虽然整体流动的Re数很大，但在靠近物面的薄层流体内，流场的特征与理想流动相差甚远，沿着法向存在很大的速度梯度，粘性力无法忽略。EXIT5.1、边界层近似及其特征Prandtl边界层概念的提出，为人们如何计入粘性的作用开辟了划时代的途径，因为有了它，无粘流的理论就可以无所顾忌地大踏步向前发展了；另一方面粘流计算限制在薄薄的边界面层内，使纳维—斯托克斯方程得以大大地简化，使许多有实用意义的问题能得到解答；这样粘性流理论也得到了一条新的发展道路。可以说从此以后，才开始有了为飞机服务的现代空气动力学。因此称其为近代流体力学的奠基人。EXIT5.1、边界层近似及其特征普朗特生平简介普朗特（LudwigPrandtl，1875～1953）德国物理学家，流体力学大师，近代力学奠基人之一。1875年出生于德国弗赖辛，1953年在哥廷根病故。普朗特在流体力学方面的主要贡献有：（5）此外还有亚声速相似律（普朗特-葛涝渥法则）和可压缩绕角膨胀流动（普朗特-迈耶尔流动）。（1）边界层理论（2）风洞实验技术（3）机翼理论（4）湍流理论EXIT普朗特重视观察和分析力学现象，养成了非凡的直观洞察能力，善于抓住物理本质，概括出数学方程。他曾说：“我只是在相信自己对物理本质已经有深入了解以后，才想到数学方程。方程的用处是说出量的大小，这是直观得不到的，同时它也证明结论是否正确。”普朗特指导过81名博士生，著名学者Blasius、VonKarman是其学生之一。我国著名的空气动力学专家、北航流体力学教授陆士嘉先生（女，1911–1986）是普朗特正式接受的唯一中国学生，唯一的女学生。5.1、边界层近似及其特征EXIT5.1、边界层近似及其特征对整个流场提出的基本分区是：（1）整个流动区域可分成理想流体的流动区域（势流区）和粘性流体的流动区域（粘流区）。（2）在远离物体的理想流体流动区域，可忽略粘性的影响，按势流理论处理。（3）粘性流动区域仅限于物面近区的薄层内，称为边界层。既然是粘流区，粘性力的作用不能忽略，与惯性力同量级，流体质点作有旋运动。EXIT5.1、边界层近似及其特征2、边界层的特征（1）边界层定义严格而言，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速度达到主流区速度的0.99倍作为边界层的外缘。由边界层外缘到物面的垂直距离称为边界层名义厚度，用δ表示。（2）边界层的有涡性粘性流体运动总伴随涡量的产生、扩散、衰减。边界层就是涡层，当流体绕过物面时，无滑移边界条件相当于使物面成为具有一定强度的连续分布的涡源。EXIT5.1、边界层近似及其特征以二维流动为例说明之。此时，物面上的涡源强度为：ozyuyuxv可以证明在有势力的作用下，二维不可压缩粘性流体的运动流动的涡量在极值点满足下面方程：z0yxzz2222yxtzzzzEXIT5.1、边界层近似及其特征在的极小值点，，因而。z02222yxzz0tz在的极大值点，，因而。z02222yxzz0tz这就说明了，在粘性流体中，不均匀的涡量场是不断变化的，涡较强的部分要变弱，而涡较弱的部分要变强。总的说来，趋向于涡量场强度“拉平”，就好像旋涡在扩散一样。EXIT5.1、边界层近似及其特征22~ULtULdtdVmFJ2~LUAdydVFRe1~~~2LLUULFF2J（3）边界层厚度的量级估计根据边界层内粘性力与惯性力同量级的条件，可估算边界层的厚度。以平板绕流为例说明。设来流的速度为U，在x方向的长度为L，边界层厚度为δ。惯性力：粘性力：由惯性力与粘性力同量级得到由此可见，在高Re数下，边界层的厚度远小于被绕流物体的特征长度。EXIT5.1、边界层近似及其特征EXIT5.1、边界层近似及其特征EXIT5.1、边界层近似及其特征EXIT5.1、边界层近似及其特征（4）边界层各种厚度定义（a）边界层位移厚度eu假设某点P处的边界层厚度是，则在的范围内以速度流动的质量流量是：EXIT5.1、边界层近似及其特征eeeeudyu0其中，为边界层外缘速度。由于粘性的存在，实际流体通过的质量流量为eudyu0此处u是边界层中距物面为y处的流速。上述两部份流量之差是dyuuee)(0EXIT5.1、边界层近似及其特征0*dyuuueeee0*1dyuuee这就是设想各点皆以外流速度流动时比实际流量多出来的值,这些多出来的流量必然要在主流中占据一定厚度，其流量写为，从而**eeuEXIT这部分主流区增加的流体厚度是由边界层流体排挤入主流区造成的。因此，称其为排移厚度或位移厚度。作理想流场模型的外形修正时，应该加上这一位移厚度。5.1、边界层近似及其特征EXIT5.1、边界层近似及其特征由于粘性的存在，实际流体通过的动量为02dyu上述两项之差表示粘性存在而损失的动量，这部分动量损失用外流流速ue（理想流体）折算的动量损失厚度为：0**2dyuuuuueee0**1dyuuuueee0udyue在边界层内，在质量流量不变的条件下，理想流体通过的动量为：（b）边界层动量损失厚度EXIT5.1、边界层近似及其特征（c）边界层能量损失厚度0221udyue在边界层内，在质量流量不变的条件下，以外流速度（理想流体）通过的动能为：0221udyu由于粘性的存在，实际流体通过的动能为：上述两项之差表示粘性存在而损失的动能。这部分动能损失用主流流速ue（理想流体）折算的动能损失厚度为:032***22121dyuuuuueeee022***1dyuuuueeeEXIT5.1、边界层近似及其特征0*1dyuue0**1dyuuuuee022***1dyuuuuee上述各种厚度的计算公式，对于不可压缩流体而言，变为:EXIT5.1、边界层近似及其特征（a）实际流动中，边界层流动与理想流动是渐近过渡的，边界层的外边界线实际上是不存在的，因此边界层的外边界线不是流线，而是被流体所通过的，允许边界层内流体穿过边界线流动。也就是说，在边界层内流线是相对于边界层的边界是向内偏的，而相对于物面是向外偏的。（5）几点说明EXIT5.1、边界层近似及其特征边界层厚度δ位移厚度δ*动量损失厚度δ**边界层厚度δ能量损失厚度δ***动量损失厚度δ**（c）边界层各种厚度的大小与边界层内流速分布有关。（b）边界层各种厚度的定义式，既适用于层流，也适用于湍流。EXIT边界层位流区1边界层流动图画粘性流体流经任一物体（例如机翼与机身）的问题，归结为在相应的边界条件下解N—S方程的问题。由于N—S方程太复杂，在很多实际问题中，不能不作一些近似假设使其简化，以求问题得以近似地解决。简化时，必须符合物理事实，因此首先看看空气流过静止物体（例如翼型）的物理图画：5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程流动分为三个区域：1.边界层：N－S化简为边界层方程2.尾迹区：N－S方程3.位流区：理想流方程EXIT5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程0yvxu22221yuxuxpfyuvxuutux22221yvxvypfyvvxvutvy2.平壁面上边界层方程根据Prandtl边界层概念，通过量级比较，可对N-S方程组进行简化，得到边界层近似方程。对于二维不可压缩流动，连续方程和N-S方程为：选取长度特征L，速度尺度ue，时间尺度t=L/ue，边界层近似假定：EXIT5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程yxyLxLL,1~,1~,,Re1~uvutLuuvuLuLtveeee,~,Re1~,/~~2~eup（1）根据边界层定义，纵向偏导数远远小于横向偏导数。（2）法向速度远远小于纵向速度。（3）边界层内的压强量级与外流速度的平方成正比。将这些量级关系式代入到N-S方程中，得到EXIT5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程N-S方程组与各项量级比较:LuLuLuyvxueee102e2e22222222uLu1LuLuuuLLuLuyuxuxpfyuvxuutueeeeeexLuLu1e3e2222222222LuLuLuyvxvypfyvvxvutveeey两项为同一量级右括号中第一项比第二项低2个量级可略。边界层内粘性力与惯性力同量级不可忽略，故ν的量级为2e2e2eu,uuLL即：考虑到ν的量级为δ2，因此右括号中的最大量级为δEXIT5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程0yvxu221yuxpfyuvxuutuxypfy100yp在高Re数情况下δ较小，忽略小量得到忽略质量力，由第三个方程得到这说明，在高Re数情况下较薄的边界层内，压力沿法向是不变的。EXIT5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程),(txppe0yvxu221yuxpyuvxuutu0ypeu;uy,v;uy000边界层内的压力分布与边界层外边界线上的压力分布相等。也就是，p与y无关，仅是x和t的函数。即忽略质量力，Prandtl边界层方程变为边界条件：EXIT对于曲率不大的弯曲物面，上述边界层方程也近似成立。只是要将x和y按上述曲线坐标处理即可。当然如果曲率过大，则沿法向压强保持不变的条件就很难满足了。5.2、平面不可压缩流体层流边界层方程EXIT第一步，求位流解。这时，略去边界层与尾迹，求解理想流体对物体的绕流问题，这个问题已在理想流体力学中解决了。所以，假设物体表面的速度分布已经求得，因边界层很薄，故可视为边界层外边界上的切向速度分布。即在任一坐标x处：时，沿边界层外边界，