5-粘性流体运动的基本性质

高等流体力学5粘性流体运动的基本性质5粘性流体运动的基本性质粘性流体的运动特征与理想流体运动存在着巨大的差别。从数学角度看，N-S方程与Euler方程的阶数不同，前者为二阶非线性偏微分方程，后者为一阶非线性偏微分方程，这个差别导致所要求的定解条件的个数以及解法不同。5粘性流体运动的基本性质从物理角度看：①粘性流体运动时，由于流体与静止固体壁面的相互作用，总是会产生旋涡；②由于流体所具有的粘性，在其运动过程中不遵循理想流体运动时的涡量守恒规律；③由于粘性流体运动中存在不可逆过程，流体运动的机械能并不守恒。因此，与非粘性流体运动相比较，粘性流体运动具有三个方面的基本性质：运动的有旋性、涡旋的扩散性与能量的耗散性。5.1粘性流体运动的有旋性虽然流体是否具有粘性与流体运动是否有旋是从不同的角度提出来的，但是这两者之间有一定的联系。一般说来，粘性流体运动总是有旋的。因此，处理势流的一整套方法不再适用于粘性流体。下面用反证法证明这一性质。对于不可压缩粘性流体的基本方程组是当边界为静止的固体壁面时，上述方程组的边界条件为，由以上方程组及其边界条件可以解出速度场u和压强场p。0uufu21DDpt0nu0tu5.1粘性流体运动的有旋性先假设流动无旋，然后证明基本方程组与边界条件相矛盾，则可证明粘性流体流动通常是有旋流动。如果运动是无旋的，则必存在速度势函数φ，且连续性方程变成N-S方程变成而u0221DDptfu0225.1粘性流体运动的有旋性这样，在无旋流动的假设下，不可压缩粘性流体的基本方程组变为速度势方程(Laplace方程)和欧拉运动方程它与不可压缩理想流体的基本方程组完全相同。现在的问题是方程组完全相同，而在固体壁面处的边界条件却不一样。对于不可压缩粘性流体沿固体壁面流动，应满足无滑移条件，即un=0，ut=0；而不可压缩理想流体，在固体壁面处，un=0，ut一般不等于零。02pt1DDfu5.1粘性流体运动的有旋性Navier-Stokes方程是二阶偏微分方程，加上无旋流动条件以后，方程中的二阶偏导数项消失，变成了一阶偏微分方程。因此，粘性流体流动的无滑移边界条件(ut=0)就多余了。也就是说，对于不可压缩理想流体流动的基本方程，其满足无滑移边界条件的解一般是不存在的。或者说，粘性流体在一般情况下，是不可能作无旋流动的。这就从反面证明了粘性流体运动总是有旋的。5.1粘性流体运动的有旋性此外，还可以从物理概念上来理解。对于不可压缩粘性流体，如假设它作无旋流动，则在N-S方程中将不出现粘性项ν2u，这意味着粘性将不影响速度场与压力场，显然，这是与实际流动相矛盾的。这从另一个侧面说明了粘性流体作无旋运动的不可能性。5.1粘性流体运动的有旋性粘性流体运动必然有旋的情形分析：(1)若流动边界为静止固体壁面，则粘性流体运动必然有旋。用反证法证明：假设不可压缩粘性流体流动是无旋的，则连续性方程为而粘性流体流动时静止固体壁面的边界条件为u=0或φ=0，因此，边界上的速度势函数φb为常数。025.1粘性流体运动的有旋性粘性流体运动必然有旋的情形分析：满足Laplace方程的函数φ称为调和函数，由调和函数φ的极值原理可知，φ在求解域内不可能有极值，又由于流动边界为静止固体壁面，因而速度势函数方程2φ=0只有常数解。在求解域内速度势函数φ处处为常数，即流体的流动速度为零，流体是静止的。这一结论与粘性流体是运动的这一前提相矛盾，从而证明了在这种情况下粘性流体运动必然有旋。5.1粘性流体运动的有旋性粘性流体运动必然有旋的情形分析：(2)若N-S方程中的粘性项ν2u0，则粘性流体运动必然有旋。用反证法证明：假设不可压缩粘性流体流动是无旋的，则有u=φ，于是由此可见，若流动无旋，则粘性项ν2u必为零。因此，若粘性项ν2u0，则粘性流体运动必有旋。0222u5.1粘性流体运动的有旋性由上述的分析可以说明，只有在粘性项ν2u=0，且流动边界是运动的这种极个别的情况下，粘性流体运动才可能是无旋的。例如：①不可压缩粘性流体绕旋转圆柱体的定常流动；②不可压缩粘性流体在两个共轴旋转的圆柱面之间作定常流动，且两旋转圆柱面的角速度刚好调整到使其间的流速分布为uθ1/r的情况。5.2粘性流体运动的旋涡扩散性流体具有粘性是旋涡产生和消失的原因，通过涡量输运方程可以说明旋涡的扩散性。5.2.1不可压缩粘性流体流动的涡量方程不可压缩粘性流体的运动微分方程(N-S方程)为根据向量分析，有ufuuuu21DDpttΩuuuuu2222uu5.2.1不可压缩粘性流体流动的涡量方程N-S方程变成对上式两端进行旋度运算，可得2122uptufΩuu2122uptufΩuu5.2.1不可压缩粘性流体流动的涡量方程根据向量分析，有ΩuΩuuΩuΩΩuΩuuΩ5.2.1不可压缩粘性流体流动的涡量方程由此可得或者写成上式就是不可压缩粘性流体流动的涡量方程，也称为海姆霍兹(Helmholtz)涡量方程。方程等号左侧为涡量的物质导数，即涡量的当地变化率和迁移变化率之和；右侧第一项表示涡量与流体微团的变形的相互作用从而导致涡量的变化(涡量变化率，是有速度场不均匀，涡管伸长引起的)；右侧第三项为粘性对涡量的扩散(涡量扩散率)。ΩfuΩΩuΩ2tΩfuΩΩ2DtD5.2.1不可压缩粘性流体流动的涡量方程如果质量力有势，f=-U，则有涡量方程变成0UfΩuΩΩ2DtD5.2.2粘性流体流动中旋涡的扩散性不可压缩理想流体流动的涡量方程为比较发现，粘性流体流动涡量方程的右侧不等于零，即涡量不守恒。由于具有粘性，旋涡总是从旋涡强度大的地方向旋涡强度小的地方扩散，直至旋涡强度处处相等为止，这就是旋涡扩散现象。0uΩΩDtD（Friedman方程）05.2.2粘性流体流动中旋涡的扩散性取无界静止不可压缩粘性流体中的微小直涡管为例，说明在质量力有势的条件下旋涡的扩散规律。oΓ0zxy空间孤立涡线5.2.2粘性流体流动中旋涡的扩散性设该微小直涡管位于坐标系的z轴上，其涡管强度为Γ0。因为粘性流体中的直涡管相当于一微小旋转直圆柱体，其流场为无旋流动，所以它与理想流体内微小直涡管所诱导的速度场相同。理想流体内微小直涡管所引起周围流体的运动是平面对称的圆运动，即流体质点以的速度作定常圆周运动。rΓu25.2.2粘性流体流动中旋涡的扩散性在理想流体中，由于没有粘性，该微小直涡管的强度守恒，且不会向周围流体扩散，不需要外加能量来维持流体质点的定常圆周运动。在粘性流体中，由于存在粘性，旋涡强度将会衰减并扩散，要维持流体质点的定常圆周运动，就需要有外加的能量供给微小直涡管，使其保持涡管强度Γ0。设在t=0时刻外加能量突然中断，现分析t0时该微小直涡管旋涡强度的扩散(衰减)情况以及旋涡的扩散规律。5.2.2粘性流体流动中旋涡的扩散性在圆柱坐标系中，初始时刻t=0且r0处，有Ωr=0，Ωθ=0，Ωz=Ω，(ur)t=0=0，(uz)t=0=0，而在t0的任意时刻，有ur=0，uz=0，uθ=uθ(r,t)=u(r,t)，，，Ωr=0，Ωθ=0，Ωz=Ω；Ω=Ωzk0z0rΓuutt20005.2.2粘性流体流动中旋涡的扩散性由于运动的对称性和平面运动中速度u沿k方向的微商为零，故(u·)Ω=0，(Ω·)u=0于是，在任意时刻，不可压缩粘性流体流动的涡量方程简化成在圆柱坐标系中，上述方程可以写成上式在形式上与有两个自变量(r，t)的经典的热传导方程相同。ΩΩ2trΩrrrtΩ5.2.2粘性流体流动中旋涡的扩散性方程的初始条件为t=0，r0时：Ω=0方程的边界条件为t0，r时：Ω=0求解热传导方程的方法很多，现采用相似变换法进行求解。相似变换法：引进由变量组合成的相似变量，将偏微分方程化成常微分方程进行求解。这种方法能使变量数目减少一个或更多，它在流体力学和传热学中应用较多。5.2.2粘性流体流动中旋涡的扩散性引进无量纲涡量函数F(η)，令式中η(r,t)是无量纲自变量：这样处理后，热传导方程就变为下列常微分方程或FtΓΩ0tr204FFFF0d44dFFFF5.2.2粘性流体流动中旋涡的扩散性解得：如果需要在η=0处，F(η)及F(η)均为有限值，则积分常数C1应取为零。于是有积分上式得：因此式中。14CFF04FFtreCeCF42422tretCΩ4220CΓC5.2.2粘性流体流动中旋涡的扩散性现确定积分常数C。考虑到平面对称圆运动的条件，并利用斯托克斯公式：有利用初始条件t=0，r0时：由此可得ALAddnΩlutrrerCrrru4200212dd21rΓu2040ΓC5.2.2粘性流体流动中旋涡的扩散性将C值代入已得的结果，有上两式分别为旋涡扩散规律和速度变化规律。tretΓΩ4024trerΓu402125.2.2粘性流体流动中旋涡的扩散性(t1t2t3)t3t2t1oΩr涡量随空间位置的变化涡量随时间的变化(r1r2r3)r3r2r1oΩt5.2.2粘性流体流动中旋涡的扩散性从旋涡扩散规律可知，当静止粘性流体中的微小直涡管(它本身是旋转的)对周围流体起作用的一瞬时(即初始时刻t=0)，由于粘性与该微小直涡管相接触处(r0)的流体质点的速度为(uθ)t=0=u|t=0，而涡管外各处的涡量则为零；当t0时，在该微小直涡管作用下，整个流体被带动，涡量向外扩散并传至无穷远，整个流场将会产生旋涡。这表明了旋涡的扩散。5.2.2粘性流体流动中旋涡的扩散性在中心处(r=0)的涡量随时间的增长而单调地减小，这表明无外加能量时，旋涡本身的衰减；在离中心某一距离r1(大于涡管半径)的点上，旋涡起初由零增大至最大值，然后减小，而当t时，旋涡减小到零，这表明初始时刻由无能量源的微小直涡管在静止粘性流体中所引起的旋涡运动，将随时间而衰减为零。5.3粘性流体运动的机械能耗散性粘性流体运动时，部分机械能转化为热能的现象称为机械能的耗散性，这部分机械能用于克服粘性力做功。用内能表示的流体运动能量微分方程为式中：τ·ε是单位体积内由于流体变形运动时，表面力所做的功，也可以说是应力张量所做的功。qTkteετDD粘性力各向异性法向力各向同性法向力切向表面力法向表面力表面力5.3粘性流体运动的机械能耗散性根据广义牛顿内摩擦定律由此看出，应力张量所做的功由两部分组成。第一部分是-p·u，代表流体体积相对膨胀或压缩时法向应力(压力)p所做的功，第二部分是-μ(·u)2+2με2，代表粘性应力张量所做的功。后者是由于流体存在粘性，在流体变形过程中由于摩擦产生的热，它将不可逆地耗散掉，从而消耗机械能，记它为Φ。Iετu322p22232εετuup325.3粘性流体运动的机械能耗散性Φ称为耗散函数，它是由于粘性存在，流体克服粘性力所消耗的机械能。在直角坐标系中对于不可压缩流体的流动，由于·u=0，因此这就是不可压缩流体流动的耗散函数。2223