2020热点难点微专题平面向量中的最值问题考点考向考题点拨(41张)

第1页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业热点难点微专题二平面向量中的最值问题第2页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业课时作业专题综述与平面向量的最值有关的问题主要包括与参数有关的最值、与向量的模、与向量的夹角、与向量的数量积有关的最值．常见转化的方法有①坐标化；②基底化；③几何法，可以建立函数或用基本不等式，也可以找出动点的轨迹，利用几何意义求解．第3页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业课时作业典型例题例1(1)如图，已知扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧AB上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则OP→·OQ→的取值范围为________．第4页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业[2－1,1]解析：思路分析：首先可以考虑解决平面向量数量积问题的两大类方法：坐标法和基底法进行求解．解法1(坐标法)：以OA为x轴，OB为y轴，建立平面直角坐标系，则点A(1,0)，B(0,1)，则直线AB：x＋y－1＝0，由于点P在单位圆在第一象限的圆弧上，可设P(cosθ，sinθ)，θ∈0，π2，设点P关于直线AB的对称点Q(x1，y1)，则x1＋cosθ2＋y1＋sinθ2－1＝0，y1－sinθx1－cosθ×－1＝－1，可得x1＝1－sinθ，y1＝1－cosθ，即Q(1－sinθ，1－cosθ)．第5页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业所以OP→·OQ→＝cosθ(1－sinθ)＋sinθ(1－cosθ)＝sinθ＋cosθ－2sinθcosθ.令t＝sinθ＋cosθ＝2sinθ＋π4，则t∈1，2，且2sinθcosθ＝t2－1.故OP→·OQ→＝f(t)＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54，所以OP→·OQ→的取值范围为2－1，1.第6页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业解法2(极化恒等式)：设PQ的中点为M.则OP→·OQ→＝(OM→＋MP→)·(OM→－QM→)＝(OM→＋MP→)·(OM→－MP→)＝OM→2－MP→2，根据图形可得，当点P与A(或B)重合时，点Q与P重合，且|OM→|max＝1，|MP→|min＝0，则(OP→·OQ→)max＝1；当点P位于弧AB的中点时，|OM|min＝22，|MP→|max＝1－22，则(OP→·OQ→)min＝2－1，所以OP→·OQ→的取值范围为2－1，1.第7页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业(2)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，且对于一切实数x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，则a与b的夹角大小为________．3π4解析：解法1将|a＋xb|≥|a＋b|平方可得2＋2xa·b＋x2≥2＋2a·b＋1，即x2＋2(x－1)a·b－1≥0对于x∈R恒成立，Δ＝4(a·b)2＋8a·b＋4≤0，即4(a·b＋1)2≤0，所以a·b＝－1，即cosθ＝－12＝－22，所以a，b的夹角为3π4.第8页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业解法2如图，令OA→＝a，AP→＝xb(P为直线l上任意一点)，则OP→＝a＋xb，所以|a＋xb|＝OP的最小值即点O到直线l的距离OH，即OH＝|a＋b|，即OH→＝a＋b，所以b＝AH→.在Rt△OHA中，AH＝1，OA＝2，cos∠HOA＝22，即∠HOA＝π4，所以a，b的夹角为3π4.第9页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业【方法归类】关于向量模的问题可以考虑三个方法：①坐标化；②基底化；③几何法．本题代数解法就是一元二次不等式的解集为R的处理，而本题第(1)问几何作法其本质就是求直线上任一点到直线外一点距离的最小值的问题，第(2)问根据向量等式以及坐标法求出动点轨迹方程，再利用几何法或参数方程求解．第10页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业(3)如图，直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足AP→＝mAB→＋nAD→(m，n均为正实数)，则1m＋1n的最小值为________．第11页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业7＋434解析：解法1建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，D(0,4)，C(1,4)．又kBC＝－43，故BC：y＝－43(x－4)．又AP→＝mAB→＋nAD→，AB→＝(4,0)，AD→＝(0,4)，所以AP→＝(4m,4n)，故P(4m,4n)．又点P在直线BC上，即3n＋4m＝4，即41m＋1n＝(3n＋4m)1m＋1n＝7＋3nm＋4mn≥7＋212＝7＋43，所以1m＋1nmin＝7＋434，当且仅当3n2＝4m2，3n＋4m＝4，即m＝12－633，n＝83－123时取等号．第12页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业解法2因为AP→＝mAB→＋nAD→，所以AP→＝mAB→＋n(AC→＋CD→)＝mAB→＋nAC→－n4AB→＝m－n4AB→＋nAC→.又C，P，B三点共线，故m－n4＋n＝1，即m＋3n4＝1，以下同解法1.第13页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业【方法归类】本题求解二元“1m＋1n”的最值，主要是利用三点共线的条件建立m，n的等式，再利用消元或者基本不等式求解最值．第14页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业【思维变式题组训练】1.如图，已知AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，M为BC的中点，D为以AC为直径的圆上一动点，则AM→·DC→的最大值是________．第15页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业8＋45解析：以AC的中点为坐标原点，AC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，则M(－2,2)，A(2,0)，C(－2,0)．设点D的坐标为(2cosθ，2sinθ)，则AM→＝(－4,2)，DC→＝(－2－2cosθ，－2sinθ)，所以AM→·DC→＝－4(－2－2cosθ)＋2(－2sinθ)＝8＋8cosθ－4sinθ＝8－80sin(θ－φ)≤8＋45.第16页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业2.如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1,3.点B，C分别在m，n上，|AB→＋AC→|＝5，则AB→·AC→的最大值是________．第17页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业214解析：解法1：以直线n为x轴，过A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,3)，B(x1,2)，C(x2,0)，从而AB→＝(x1，－1)，AC→＝(x2，－3)，则AB→·AC→＝x1x2＋3.又因为|AB→＋AC→|＝5，即x1＋x22＋16＝5，故(x1＋x2)2＝9≥4x1x2，从而x1x2≤94，此时AB→·AC→＝x1x2＋3≤214，当且仅当x1＝x2时等号成立．第18页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业解法2：设P为BC的中点，则AB→＋AC→＝2AP→，从而由|AB→＋AC→|＝5得|AP→|＝52.又AB→·AC→＝(AP→＋PB→)·(AP→＋PC→)＝AP→2－PB→2＝254－PB→2.因为|BC→|≥2，所以PB→2≥1，故AB→·AC→≤254－1＝214，当且仅当|BC→|＝2时等号成立．第19页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴、y轴上一点，且AB＝2，若点P(2，5)，则|AP→＋BP→＋OP→|的取值范围是________．[7,11]解析：设A(x,0)，B(0，y)，则x2＋y2＝4，则AP→＋BP→＋OP→＝(2－x，5)＋(2，5－y)＋(2，5)＝(6－x,35－y)，所以|AP→＋BP→＋OP→|＝x－62＋y－352表示圆x2＋y2＝4上任一点与点(6,35)的距离，其最大值为62＋352＋2＝11，最小值为62＋352－2＝7，所以|AP→＋BP→＋OP→|的取值范围是[7,11]．第20页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业4.在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2CD，M为CD的中点，N为线段BC上一点(不包括端点)，若AC→＝λAM→＋μAN→，则1λ＋3μ的最小值为________．第21页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业274解析：以AB为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系如图所示，设点B(2,0)，C(1，t)，M12，t，N(x0，y0)．第22页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业因为N在线段BC上，所以y0＝t1－2(x0－2)，即y0＝t(2－x0)．因为AC→＝λAM→＋μAN→，所以1＝12λ＋μx0，t＝λt＋μy0，即t＝λt＋μy0＝λt＋μt(2－x0)．因为t≠0，所以1＝λ＋μ(2－x0)＝λ＋2μ－μx0＝λ＋2μ－1－12λ，第23页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业所以3λ＋4μ＝4，这里λ，μ均为正数，所以41λ＋3μ＝(3λ＋4μ)1λ＋3μ＝3＋12＋4μλ＋9λμ≥15＋236＝27，所以1λ＋3μ≥274，当且仅当4μλ＝9λμ，即λ＝49，μ＝23时取等号．所以1λ＋3μ的最小值为274.第24页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业课时作业课后作业填空题1.已知点A(1,0)，B(0，－1)，P是曲线y＝1－x2上一个动点，则BP→·BA→的取值范围是________．[0，2＋1]解析：设动点P(x，y)，则BP→＝(x，y＋1)，BA→＝(1,1)，所以BP→·BA→＝x＋y＋1，设x＝cosθ，y＝sinθ，θ∈[0，π]，BP→·BA→＝x＋y＋1＝2sinθ＋π4＋1∈[0，2＋1]．第25页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业(－2,22]解析：由题意得AB＝22sinC，AC＝22sinB，取BC的中点D，连接OD，AD，则OD⊥BC，所以OA→·BC→＝(OD→－AD→)·BC→＝－AD→·BC→＝－12(AB→＋AC→)·(AC→－AB→)＝12(AB→2－AC→2)＝4sin2C－4sin2B＝2cos2B－2cos2C＝2cos2B－2cos(270°－2B)＝2cos2B＋2sin2B＝22sin(2B＋45°)．又45°2B＋45°225°，所以－22sin(2B＋45°)≤1，所以－2OA→·BC→≤22.2.在△ABC中，BC＝2，A＝45°，B为锐角，点O是△ABC外接圆的圆心，则OA→·BC→的取值范围是________．第26页热点难点微专题二平面向量中的最值问题专题综述典型例题课后作业3.已知点A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，动点P满足AP→·BP→＝2|PC→|2，则|AP→＋BP→|的最大值为________．6解析：设动点P(x，y)，因为A(0,1)，B(0，－1)，C(1,0)，AP→·BP→＝2|PC→|2，所以(x，y－1)·(x，y＋1)＝2[(x－1)2＋y2]，即(x－2)2＋y2＝1，所以|AP→＋BP→|＝2x2＋y2，所以|AP→＋BP→|表示圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离