05独立重复试验与二项分布

前面我们学习了互斥事件、条件概率、相互独立事件的意义，这些都是我们在具体求概率时需要考虑的一些模型，若吻合模型便用公式去求概率简便.⑴()()()PABPAPB（当AB与互斥时）；⑵()(|)()PABPBAPA⑶()()()PABPAPB（当AB与相互独立时）复习：那么求概率还有什么模型呢？分析下面的试验，它们有什么共同特点？⑴投掷一个骰子投掷5次;⑵某人射击1次，击中目标的概率是0.8，他射击10次;⑶实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）;⑷一个盒子中装有5个球（3个红球和2个黑球），有放回地依次从中抽取5个球;⑸生产一种零件，出现次品的概率是0.04,生产这种零件4件.共同特点是:在相同条件下,多次重复地做同一个试验.在n次独立重复试验中，记iA是“第i次试验的结果”显然，12()nPAAA=∵“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响,∴上面等式成立.12()()()nPAPAPA一、n次独立重复试验:一般地,在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.注:独立重复试验模型满足以下三方面特征，第一：每次试验是在同样条件下进行;第二：各次试验中的事件是相互独立的;第三:每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.问题探究：某射手射击1次，击中目标的概率是0.8，现连续射击3次.⑴第一次命中，后面两次不中的概率；⑵恰有一次命中的概率;⑶恰有两次命中的概率.解:记事件“第i次击中目标”为iA,则123AAA、、相互独立.且123()()()0.8PAPAPA.⑴第一次命中，后面两次不中的事件即123AAA∴123123()()1()1()PAAAPAPAPA=0.032211323213213212.08.02.02.08.03)2(CPAAAAAAAAA恰有一次命中的概率恰有一次命中的事件即122323213213212.08.02.08.08.03)3(CPAAAAAAAAA恰有两次命中的概率恰有两次命中的事件即n次独立重复试验的公式:次的概率为恰好发生事件独立重复试验中次那么在发生的概率为在每次试验中事件为发生的次数设事件次独立重复试验中在一般地kAnpAXAn,,,,,)1(.,...,2,1,0,)1()(pqnkqpCppCkXPknkknknkkn其中;)1(,:knkppknkAn次不发生的概率为而在其余的次发生在某次独立重复试验中事件首先解释.,,个事件彼此互斥且它对应的种有式次发生的不同的发生方次试验中哪在事件其次knknCCknA注:n为重复试验的次数；p是在1次试验中某事件A发生的概率；k是在n次独立试验中事件A发生的次数..22215.9.0.1次击中目标的概率）至少有（次击中目标的概率；）恰有（次射击中，射手在求这名标的概率为某射手每次射击击中目例维修的概率是多少？问机器出故障无人人维修即可台机器出故障下一般情况名维修工人今配有各台机器独立工作每台机器的故障率为台同样的机器有练习,1,1,,2,,03.0,10:.)2(5)1(.3535,.2率按比赛规则甲获胜的概局才能取胜的概率；试求甲打完）局就算胜出并停止比赛局内谁先赢胜制（即局规定加乒乓球比赛实力相等的甲乙两人参例解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为1/2，乙获胜的概率为1/2．⑴甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负奎屯王新敞新疆∴甲打完5局才能取胜的概率.222141113()()22216PC(2)记事件A“甲打完3局才能取胜”，记事件B=“甲打完4局才能取胜”，记事件C=“甲打完5局才能取胜”．事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则DABC，又因为事件A、B、C彼此互斥，故()()()()()PDPABCPAPBPC1331816162．答：按比赛规则甲获胜的概率为12．练习1:每次试验的成功率为p，重复进行10次试验，其中前7次都未成功后3次都成功的概率为__________73)1(pp2．某车间有5台车床，每台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任一时刻处于停车状态的概率为1/3，求：⑴在任一时刻车间恰有3台车床处于停车的概率；⑵至少有一台处于停车的概率简答：2.⑴323551240333243PC⑵5552211113243PBPBC二、二项分布ξ01…k…np……00nnCpq111nnCpqkknknCpq0nnnCpq在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰发生ξ次,显然ξ是一个随机变量.于是得到随机变量ξ的概率分布如下：~(,)Bnp我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作,其中n，p为参数,并称p为成功概率..).,...,2,1,0(1)(:服从二项分布所以称这样的随机变量项中的第恰好是二项展开式由于注nkkpqqpCnknkkn二项分布与两点分布、超几何分布有什么区别和联系？1．两点分布是特殊的二项分布(1)p2．一个袋中放有M个红球，(NM)个白球，依次从袋中取n个球，记下红球的个数.⑴如果是有放回地取，则(,)MBnN⑵如果是不放回地取,则服从超几何分布.()(0,1,2,,)knkMNMnNCCPkkmC(其中min(,)mMn（即n=1的二项分布）解:(1)ξ∽B(5,1/3),ξ的分布列为P(ξ=k)=,k=0,1,2,3,4,5.5512()()33kkkC(2)所求的概率:P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)=1-32/243=211/243.例3.1名学生每天骑自行车上学,从家到学校的途中有5个交通岗,假设他在交通岗遇到红灯的事件是独立的,并且概率都是1/3.(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列.(2)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.练习1.将一枚均匀的骰子抛掷10次，试写出点数5向上的次数ξ的分布列.练习2:.)4,3,2,1,0(,,4,6,,4,10道题的概率问能碰对试于是随意填写道题不会做有道题生仅会做今有一考其中一个为正确答案可供选择的答案个每道选择题有道选择题设某考卷上有mm则道题这一事实道题中碰对表示设解,4:mBm)4,3,2,1,0()43()41()(44mCBPmmmm)6/1,10(~:B分析ξ01…k…10P105()6191015()66C101015()()66kkkC101()6……例4.有10台各为7.5千瓦的机床,如果每台机床的使用情况是相互独立的，且每台机床平均每小时开动12min,问全部机床用电超过48千瓦的可能性有多大？).10,...,2,1,0(8.02.0)(),2.0,10(~,,,516012:1010kCkXPBXkkk即床台数服从二项分布每一时刻正在工作的机故与“不工作”两种情况每台机床只有“工作”而且的概率为由于每台机床正在工作分析1157/1...)10()9()8()7()7(,77,48,648,XPXPXPXPXP为这一事件的概率台以上的机床在工作台或即意味着有千瓦用电超过台机床同时工作千瓦可供根据题意练习:一袋中装有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，试求ξ=12的概率.992910211111235335()()()888CPC.,1,,,,.次打开门的概率求该人在第的概率被选中即每次以开门他随机地选取一把钥匙打开这个门其中仅有一把能把钥匙他共有一个人开门例knn则次打开门表示第令,kBk,,)()(211111knnBPkk解注:事件首次发生所需要的试验次数ξ服从几何分布ξ123…k…Pppqpq2…pqk-1…几何分布思考：巴拿赫(Banach)火柴盒问题波兰数学家随身带着两盒火柴，分别放在左、右两个衣袋里，每盒有n根火柴，每次使用时，便随机地从其中一盒中取出一根。试求他发现一盒已空时，另一盒中剩下的火柴根数k的分布列。221,0,1,2,,2nknnkPCkn思考2解:练习3:某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9,如果命中了就停止射击，否则一直射击到子弹用完，求耗用子弹数ξ的分布列.解：的所有取值为：1、2、3、4、5”5“表示前四次都没射中(1)0.9P(2)0.10.9P2(3)0.10.9P3(4)0.10.9P4(5)0.1PP432150.90.10.920.10.930.10.940.1故所求分布列为: