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相似三角形一、选择题1．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14，那么点B′的坐标是()．A．(3,2)B．(－2，－3)C．(2,3)或(－2，－3)D．(3,2)或(－3，－2)2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，则AD的长为()．A．3B．4C．5D．63．厨房角柜的台面是三角形，如图，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色大理石(图中阴影部分)，其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石面积的比是()．A.14B.41C.13D.344．已知△ABC三个顶点的坐标分别为(1,2)，(－2,3)，(－1,0)，把它们的横坐标和纵坐标分别变成原来的2倍，得到点A′，B′，C′.下列说法正确的是()．A．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点(1,0)B．△A′B′C′与△ABC是位似图形，位似中心是点(0,0)C．△A′B′C′与△ABC是相似图形，但不是位似图形D．△A′B′C′与△ABC不是相似图形5．下列四个三角形，与图中的三角形相似的是()．6．如图，梯形ABCD的对角线AC，BD相交于O，G是BD的中点．若AD＝3，BC＝9，则GO∶BG＝()．A．1∶2B．1∶3C．2∶3D．11∶20二、填空题7．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__________．8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC，且AD＝13AB，则△ADE的周长与△ABC的周长的比为__________．11．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为__________．(精确到1cm)12．如图所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为__________．13．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为__________m.14．下图为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3m，踏板DE长为1.6m，支撑点A到踏脚D的距离为0.6m，现在踏脚着地，则捣头点E距地面__________m.三、解答题15．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE.(1)求证：∠CBE＝36°；(2)求证：AE2＝AC·EC.16．(10分)如图，方格纸中有一条美丽可爱的小金鱼．(1)在同一方格纸中，画出将小金鱼图案绕原点O旋转180°后得到的图案；(2)在同一方格纸中，并在y轴的右侧，将原小金鱼图案以原点O为位似中心放大，使它们的相似比为2∶1，画出放大后小金鱼的图案．17．(12分)已知△ABC，延长BC到D，使CD＝BC.取AB的中点F，连接FD交AC于点E.(1)求AEAC的值；(2)若AB＝a，FB＝EC，求AC的长．参考答案1.答案：C2.答案：D3.答案：C4.答案：C5.答案：B6.答案：A根据△AOD∽△COB，可以知道13ODADOBBC，由于G是BD的中点，从而可以得到GO∶BG＝1∶2.7.答案：C8.答案：B9.答案：(9,0)要确定△ABC与△A1B1C1的位似中心，只要连接A1A，C1C并延长，其交点即为位似中心，然后再根据画图的结果，确定位似中心的坐标即可．10.答案：1∶311.答案：8cm12.答案：3或43由于以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形有一个公共角(∠A)，因此依据相似三角形的判定方法，过点P的直线PQ应有两种作法：一是过点P作PQ∥BC，这样根据相似三角形的性质可得AQAPABAC，即264AQ，解得AQ＝3；二是过点P作∠APQ＝∠ABC，交边AB于点Q，这时△APQ∽△ABC，于是有AQAPACAB，即246AQ，解得AQ＝43.所以AQ的长为3或43.13.答案：4直角三角形被斜边上的高分成的两个小直角三角形都与原三角形相似，如图．这个基本图形可称之为“母子三角形”，树高EH所在的两个“子三角形”相似，即Rt△ECH∽Rt△DEH，得EH2＝HC·HD＝2×8.或者利用勾股定理，得222222228,(28),ECEDECED消去ED2，得EC2＝20，所以EH2＝16，所以EH＝4(m)．14.答案：0.8∵△ABD∽△ECD，∴AD∶ED＝AB∶EC，∴0.6∶1.6＝0.3∶EC，解得EC＝0.8(m)．15.证明：(1)∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB.∴∠EBA＝∠A＝36°.又AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∴∠CBE＝∠ABC－∠EBA＝36°.(2)由(1)，得在△BCE中，∠C＝72°，∠CBE＝36°，∴∠BEC＝∠C＝72°.∴BC＝BE＝AE.在△ABC与△BEC中，∠CBE＝∠A，∠C＝∠C，∴△ABC∽△BEC，∴ACBCBCEC，即BC2＝AC·EC.故AE2＝AC·EC.16.解：如图所示．17.解：(1)过点F作FM∥AC，交BC于点M.∵F为AB的中点，∴M为BC的中点，FM∥AC，FM＝12AC.由FM∥AC，得△FMD∽△ECD.∴23DCECDMFM，∴EC＝22113323FMACAC，∴1233ACACAEACECACACAC.(2)∵AB＝a，∴FB＝1122ABa.又FB＝EC，∴EC＝12a.∵EC＝13AC，∴AC＝3EC＝32a.18.解：(1)在Rt△ABC中，AC＝22223.24.3ABBC＞5，故甲的方案可行．(2)1.8.(3)利用△AFD∽△ACB，可得35ADFDABCB，∴FD＝2.1(cm)．