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初中数学圆总复习知识体系圆基本性质直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系概念对称性垂径定理圆心角、弧、弦之间的关系定理圆周角与圆心角的关系切线的性质切线的判定切线的作图弧长、扇形面积和圆锥的侧面积相关计算正多边形和圆位置分类性质关系定理有关计算切线长定理判定圆的有关性质圆的定义（运动观点）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以点O为圆心的圆，记作☉O，读作“圆O”圆的定义辨析•篮球是圆吗？–圆必须在一个平面内•以3cm为半径画圆，能画多少个？•以点O为圆心画圆，能画多少个？•由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？–半径确定圆的大小；圆心确定圆的位置•圆是“圆周”还是“圆面”？–圆是一条封闭曲线•圆周上的点与圆心有什么关系？圆的定义（集合观点）•圆是到定点的距离等于定长的点的集合。–圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；–到定点的距离等于定长的点都在圆上。•一个圆把平面内的所有点分成了多少类？•你能模仿圆的集合定义思想，说说什么是圆的内部和圆的外部吗？点与圆的位置关系•圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。•圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。•圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。•由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢？如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则：点在圆上d=r点在圆内dr点在圆外dr与圆有关的概念•弦和直径–什么是弦？什么是直径？–直径是弦吗？弦是直径吗？•弧与半圆–什么是圆弧（弧）？怎样表示？–弧分成哪几类？–半圆是弧吗？弧是半圆吗？•弓形是什么？•同心圆、同圆、等圆和等弧–怎样的两个圆叫同心圆？–怎样的两个圆叫等圆？–同圆和等圆有什么性质？–什么叫等弧？圆的有关性质过三点的圆思考：确定一条直线的条件是什么？类比联想：是否也存在由几个点确定一个圆呢？讨论：经过一个点，能作出多少个圆？经过两个点，如何作圆，能作多少个？经过三个点，如何作圆，能作多少个？OCAB经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形叫做圆的内接三角形。问题1：如何作三角形的外接圆？如何找三角形的外心？问题2：三角形的外心一定在三角形内吗？OCAB∠C＝90°OCAB▲ABC是锐角三角形OCAB▲ABC是钝角三角形垂直于弦的直径及其推论想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两侧半圆会有什么关系？性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。OCDABOCDAB观察右图，有什么等量关系？OBCDAE垂直于弦的直径AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC，弧AC＝弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BC=弧AC＝弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD＝弧BD，弧AC＝弧BC,AE＝BE。OBCDAE垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBAOCDBAOCDBAOCDE注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！OABE若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？2222adr变式1：AC、BD有什么关系？变式2：AC＝BD依然成立吗？OABCDOABCDFE变式3：EA＝____,EC=_____。FDFBOABCD变式4：______AC=BD.OA=OBOABCD变式5：______AC=BD.OC=OD•如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。MAPBO关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。画图叙述垂径定理，并说出定理的题设和结论。题设结论①直线CD经过圆心O②直线CD垂直弦AB③直线CD平分弦AB④直线CD平分弧ACB⑤直线CD平分弧AB想一想：如果将题设和结论中的5个条件适当互换，情况会怎样？OBCDAE①③②④⑤②③①④⑤①④②③⑤②④①③⑤①②⑤①②④④⑤①②③③④③⑤（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。OBCDAE如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，你能得到什么结论？弧AE＝弧BF圆的两条平行弦所夹的弧相等。FOBAECD圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆的性质•圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。•圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。•圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。圆心角：顶点在圆心的角。（如：∠AOB）C弦心距：从圆心到弦的距离。（如：OC）OAB如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB，OC`⊥A`B`。猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`，OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。定理相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。在同圆或等圆中，OABCA'B'C'圆心角所对的弧相等，圆心角所对的弦相等，圆心角所对弦的弦心距相等。推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。题设结论在同圆或等圆中(前提)圆心角相等（条件）1°圆心角1°弧OABCDn°圆心角n°弧把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。一般地，n°的圆心角对着n°的弧。圆周角OBACDF圆心角：如∠BOA圆内角：如∠BCA圆周角：如∠BDA圆外角：如∠BFA角的顶点在圆心•角的顶点在圆周上•是否顶点在圆周上的角就是圆周角呢?OBACOBCAOCAB圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角。圆心角:顶点在圆心的角.画图:同一条弧所对的圆周角和圆心角之间可能出现哪几种不同的位置关系?OCABOCABOCAB回顾：圆周角等于它所对的弧的度数的一半。猜想：圆周角和圆心角都是与圆有关的角，它们之间有什么关系？一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半OCABOCABOCAB化归化归圆周角定理分类讨论完全归纳法OCAB1、已知∠AOB＝75°，求：∠ACBOCAB2、已知∠AOB＝120°，求：∠ACBODBAC3、已知∠ACD＝30°，求：∠AOBOBAC4、已知∠AOB＝110°，求：∠ACB推论•定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。•也可以理解为：一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。•弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？•什么时候圆周角是直角？反过来呢？•直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？OBADEC如图，比较∠ACB、∠ADB、∠AEB的大小同弧所对的圆周角相等如图，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？DCEBFAO等弧所对的圆周角相等；在同圆中，相等的圆周角所对的弧也相等DCEO1BFAO2如图，⊙O1和⊙O2是等圆，如果弧AB＝弧CD，那么∠E和∠F是什么关系？反过来呢？等圆也成立推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。OBACDOCBAFED关于等积式的证明•如图，已知AB是⊙O的弦，半径OP⊥AB，弦PD交AB于C，求证：PA2＝PC·PDCDPBAO经验：•证明等积式，通常利用相似；•找角相等，要有找同弧或等弧所对的圆周角的意识；OBADEC推论2半圆（或直径）所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径。推论3如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。•什么时候圆周角是直角？反过来呢？•直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？已知：点O是ΔABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A的度数。OACBOACB直线和圆的位置关系重点内容直线和圆的位置关系及其性质位置关系相交相切相离公共点个数d与r的关系公共点名称直线名称2个1个无d＜rd＝rd＞r交点切点割线切线有且仅有注意：“”，即“等价于”直线和圆的位置关系的判定d与r的关系位置关系交点个数图形lOlO2个1个无d＜rd＝rd＞r相交相离相切lO切线的判定重点内容•判断一条直线是不是圆的切线–使用定义：直线和圆有唯一的公共点–圆心到直线的距离d等于半径r时，直线和圆相切说说看：以上两种判断办法是否方便应用呢？•操作：画⊙O，在⊙O上任取一点A，连结OA，过A点作直线l⊥OA•直线l是否与⊙O相切呢？•从作图过程看，这条切线l满足哪些条件？l经过半径外端l垂直于这条半径切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。•已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB。求证：直线AB是⊙O的切线。OCBA•已知：OA＝OB＝5厘米，AB＝8厘米，⊙O的直径6厘米。求证：AB与⊙O相切。以上两题辅助线的作法是否相同？你分析出了什么结论？•证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线。–若直线过圆上某一点，则连结圆心和公共点，再证明直线与半径垂直。（即连半径，正垂直）–若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心向直线作垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径。（即作垂线，正半径）相切。直线证：小圆与厘米为半径作小圆，求为圆心，以厘米，＝厘米，圆内弦的半径为⊙如图，AB4O38AB8OOBA切线判定的方法•利用切线定义•利用圆心到直线的距离等于半径•利用切线判断定理•辅助线技巧：–若直线过圆上某一点，则连结圆心和公共点，再证明直线与半径垂直–若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心向直线作垂线，再证明圆心到直线的距离等于半径。切线的性质重点内容•切线判定：直线l：①过半径外端②垂直于半径•切线性质：切线l，A为切点：OA⊥l切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。切线判定与性质典型例题•已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD。求证：DC是⊙O的切线。•如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆相切于点E，求证：CD与小圆相切。DCOBAFDCBAEO切线的判定和性质•判定切线的三种方法：–和圆只有一个公共点的直线是圆的切线–和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线–过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线定义本质一样表达不同定理①过圆心②过切点③垂直于切线，随便知两个就可推出第三个•切线的主要性质：–切线和圆只有一个公共点–切线和圆心的距离等于半径–切线垂直于过切点的半径–经过圆心垂直于切线的直线必过切点–经过切点垂直于切线的直线必过圆心•主要辅助线：–利用切线性质时，常作过切点的半径–证明直线是圆的切线时，分清什么时候“连结”，什么时候“作垂线”三角形的内切圆重点内容OABC如何在一个三角形中剪下一个圆，使得该圆的面积尽可能的大？OABC和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心；这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心是三角形内角平分线的交点。三角形的内心是否也有在三角形内、三角形外或三角形上三种不同情况。•在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数。（1）点O是三角形的内心（2）点O是三角形的外心•△ABC中，E是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D。求证：DE＝DB。ABCODABCE关于三角形内心的辅助线：连结内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这一内角。垂心（了解）重心（了解）外心（掌握）内心（掌握）交点性质位置三条高线的交点三条角平分线的交点三边垂直平分线的交点三条中线的交点