概率论与数理统计课件第三章

3.1例1.甲乙掷色子,观察点数。w1i={甲掷i点}w2j={乙掷j点}(i,j)i,j=(1,2,…,6)X,Y对于随机试验E，Ω是其样本空间。X(w)和Y(w)是定义在样本空间Ω上的两个随机变量,由它们构成的向量(X,Y)称为二维随机变量或二维随机向量。二维随机变量的定义X(w),Y(w)w.Ω(x,y)xy联合分布函数设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,称二元函数F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)为二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，简称分布函数。xy(x,y)2.0≤F(x,y)≤11.x1x2,F(x1,y)≤F(x2,y)y1y2,F(x,y1)≤F(x,y2)联合分布函数的性质0),(1),(0),(0),(.3FFyFxF4.F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)121222122111,)=(,)-(,)-(,)+(,)0PxXxyYyFxyFxyFxyFxy5.(联合分布函数的性质(x2,y1)xy(x2,y2)(x1,y2)(x1,y1)二维离散型随机变量设(xk,yk)(k=1,2,…)是二维随机变量(X,Y)所取的一切可能值，且(X,Y)取各个可能值的概率为则称(X,Y)为二维离散型随机变量，上式为二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律，简称分布律。,2,1,,),(jipyYxXPijjiXYx1x2...xi...y1y2...yj…p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………联合分布列联合分布律的性质,2,1,,0)1(jipijijijp1)2(例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个是次品，每次从袋中任意抽取一个，抽取两次，定义随机变量X、Y如下品第一次抽取的产品是次品第一次抽取的产品是正,0,1X品第二次抽取的产品是次品第二次抽取的产品是正,0,1Y对下面两种抽取方式：(1)有放回抽取；(2)无放回抽取，求（X,Y）的概率分布。(X,Y)——(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)(1)有放回抽取{X=i}与{Y=j}相互独立)()(),(jYPiXPjYiXP(2)无放回抽取{X=i}与{Y=j}不独立)|()(),(iXjYPiXPjYiXPY0102542561256925Y0101011031103103XXY0102542561256925Y0101011031103103XXY0102542561256925Y0101011031103103XX二维连续型随机变量设二维随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，如果存在非负函数f(x,y)使得对任意的实数x,y,都有则称(X,Y)为连续型随机变量，其中f(x,y)称为(X,Y)的联合概率密度函数，简称联合概率密度或联合分布密度。dudvvufyxFxy),(),(0),(.1yxfGdxdyyxfGYXP),()),((联合概率密度的性质1),(),(.2Fdvduvuf2121),(),(.32121xxyydvduvufyYyxXxP),(),(,),(),(.42yxfyxyxFyxyxf则连续在点若yxyyYyxxXxPyxfyx),(lim),(0,0yxyxfyyYyxxXxP),(),(f(x,y)并不是二维随机变量(X,Y)取值(x,y)的概率，而是反映了(X,Y)集中在点(x,y)附近的密集程度。例2.设(X,Y)的概率密度是其它,00,0,),()(yxCeyxfyx求(1)C的值;(2)分布函数;(3)（X,Y）落在如图三角形区域内的概率。xyy=2-2x解:(1)C=11),(00)(dydxCedydxyxfyx1|][|][00yxeeC(x,y)(x,y)(x,y)(2)当x≤0或y≤0时,F(x,y)=0xy)1)(1(|][|][),(0000)(yxyvxuxyvueeeedudveyxF其它00,0),1)(1(),(yxeeyxFyxGdxdyyxfGYXP),()),(()3((x,y)xyy=2-2xG1220210)(yyxdxedy.3996.012)()]1([1220122012eedyeedyeeyyyy常见的二维连续型随机变量的分布均匀分布设G为平面上的有界区域，若二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为其它0),(,1),(GyxSyxfG其中为区域G的面积，则称二维随机变量(X,Y)在G上服从均匀分布。GGdxdyS例3.设(X,Y)在区域G（0≤y≤2x,0≤x≤2)上服从均匀分布，求(1)(X,Y)的分布函数；(2)P(YX2).Auvy=2xG24(x,y)(x,y)(1)当x≤0或y≤0时,F(x,y)=0当x≥2,y≥4时,F(x,y)=1BCD(x,y)(x,y)22021(,)(,)44yxxxvxFxyfuvdudvdudv当0≤x≤2,y≥2x时,当x≥2,0y4时,22021(,)(,)4216yxyvyyFxyfuvdudvdudv当0x2,0y2x时,2021(,)(,)4416yxyxvxyyFxyfuvdudvdudv(x,y)(x,y)4,2,140,2,1622,20,420,20,16400,0),(222yxyxyyxyxxxyxxxyyxyxF或xyG24y=x2y=2x(x,y)2022241)()2(dxdyXYPxx31)384(41)2(41202dxxx常见的二维连续型随机变量的分布二维正态分布若二维随机变量(X,Y)的分布密度为其中σ10,σ20,|ρ|1,则称(X,Y)服从参数为μ1,μ2,σ1,σ2,ρ的二维正态分布。记作(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)222221121122212)1(21exp121),(yyxxyxf3.2边缘分布),(),()()(xFYxXPxXPxFX),(),()()(yFyYXPyYPyFY设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)=P(X≤x,Y≤y),则随机变量X的分布函数称为(X,Y)关于X的边缘分布函数。称为(X,Y)关于Y的边缘分布函数。边缘分布xyFX(x)xyFY(y)二维离散型随机变量的边缘分布设(X,Y)为离散型随机变量，其联合分布律为则(X,Y)关于X、Y的边缘分布函数分别为(X,Y)关于X、Y的边缘分布律分别为xxjijXipxFxF1),()(yyiijYipyFyF1),()(,...2,1,)(1ippxXPjijii,...2,1,)(1jppyYPiijjj,...2,1,,),(jipyYxXPijjip·jp·1p·2…p·j…pi·p1·p2·...pi·...XYx1x2...xi...y1y2...yj…p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………1例1.设袋中有五个同类产品，其中有两个是次品，每次从袋中任意抽取一个，抽取两次，定义随机变量X、Y如下品第一次抽取的产品是次品第一次抽取的产品是正,0,1X品第二次抽取的产品是次品第二次抽取的产品是正,0,1Y对下面两种抽取方式：(1)有放回抽取；(2)无放回抽取，求(X,Y)的边缘分布律。(1)有放回抽取(2)无放回抽取Y0102542561256925Y0101011031103103XXY0102542561256925Y0101011031103103XXY0102542561256925Y0101011031103103XXpi·2/53/5p·j2/53/51pi·2/53/5p·j2/53/51二维连续型随机变量的边缘分布设(X,Y)为连续型随机变量，其联合分布函数和联合概率密度分别为F(x,y)和f(x,y),则dyyxfxFdxdxfXX),()()(dxyxfyFdydyfYY),()()(分别称为(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度函数，简称边缘概率密度。例2.设(X,Y)的分布密度是其它,00,0,),()(yxeyxfyx求:(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度。解:dyyxfxfX),()(其它,00,)(xexfxX其它,00,)(yeyfyY如果二维随机变量(X,Y)满足,)()(),(yYPxXPyYxXP则称X与Y相互独立.连续型)()(),(yfxfyxfYX随机变量的独立性对任意x,y,有)()(),(yFxFyxFYX即p·jp·1p·2…p·j…pi·p1·p2·...pi·...XYx1x2...xi...y1y2...yj…p11p21...pi1...p12p22...pi2...……………p1jp2j...pij...……………1离散型,...2,1,,jipppjiij例3.已知(X,Y)的分布如下，判断X、Y是否独立。XY1231231/31/61/901/61/9001/9例4.已知X、Y独立,完成下面表格。XY12p.j123pi.1/81/81/611/241/43/41/121/31/43/81/2例5.设二维随机变量(X,Y)的分布密度为：)]2()1(21exp[121),(2222yxyxyxf求(X,Y)关于X,Y的边缘分布密度,并讨论X与Y的独立性。),1,1,0,0(~),(NYXdyyxfxfX),()(dyyxfxfX),()(dyyxyx)]2()1(21exp[1212222dyxxy])1(2)1()(exp[12122222dyxyex])1(2)(exp[121212222222221])1(2)(exp[21212xydxyexdteetx22222121txy21令2221xe2221)(,yYeyf同理)1,0(~),1,0(~NYNX.,0相互独立与当YX(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)X~N(μ1,σ12)Y~N(μ2,σ22)若(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)X与Y相互独立ρ=0例6.设(X,Y)在区域G={(x,y):0y2x+2,-1x0}上服从均匀分布，求(X,Y)关于X,Y的边缘分布密度,并判断X与Y是否独立。xy-12y=2x+2解:SG=11,(,)(,)0,xyGfxy其它其他,0,01,22)(xxxfX其他,0,20,21)(yyyfY3.3二维随机变量(X,Y)的分布随机变量Z的分布???Z=g(X,Y),...2,1,,),(jipyYxXPi