从有限维空间到无穷维空间

2010-8-111信息与系统科学研究所精勤求学敦笃励志果毅力行忠恕任事从有限维空间到无穷维空间MoveTowardsInfiniteDimensionalSpacesStartingfromFiniteDimensionalSpaces从有限维空间到无穷维空间MoveTowardsInfiniteDimensionalSpacesStartingfromFiniteDimensionalSpaces报告人：彭济根[e-mail]报告人：彭济根[e-mail]内容提要☺引言☺一维实空间☺有限维空间☺无穷维空间☺距离空间☺几个实例2010-8-11关键词一：有限维，无限维，空间---------------------------------------一、引言维数：是指用以表征对象的最少参数的个数。称一个对象是n维的，如果它可由且仅由n个有序参数“表征”。空间：是指赋予一定结构的集合。数学上的结构一般可分为三大类：拓扑结构、代数结构、序结构。其中拓扑结构（广义几何）是通过定义元素之间的“邻近方式”而构建的。相关的基本概念是开集、极限、连续等；代数结构是通过定义集合元素间的运算而构建的。例加法运算、数乘运算、乘法运算等；序结构是通过定义元素间的某种“传递”关系而构建的。2010-8-11有限维空间：如果存在某个常数n，使得空间中每个点都可以由至多n个有序参数表征，则称之为有限维空间。这样的最小n称为空间的维数，同时，该空间称为n维空间。无穷维空间：若空间中至少存在一个点不能由有限个参数表征，则称之为无穷维空间。值得注意的是，空间的维数与被用来表征的参数的选择紧密相关。例如，一个平面若以复数来表征，它是1维而若以实数来表征，它是2维的。一般地，一个以复数表征的n维空间，在实数表征下是2n维的。一、引言2010-8-11熟知，当一个空间具有（或被赋以）线性结构时（即，定义有加法和数乘运算，且满足8条运算定律，此时该空间称为线性空间），空间的维数可以通过确定最大无关向量集来定义。若最大无关向量集是有限集，则空间中每个点都可以唯一地表示为无关向量的线性组合，因而每个元素都可以这个线性组合的系数来表征。因此，由定义知，这个空间的维数就是最大无关向量集中向量的个数。线性空间是许多数学研究特别是应用研究最基本的空间结构形式。为此，本讲义将针对线性空间而展开。线性空间是许多数学研究特别是应用研究最基本的空间结构形式。为此，本讲义将针对线性空间而展开。一、引言2010-8-11维，非线性1维，非线性1维，非线性1维，非线性1维，线性1维，线性P.P(经度，纬度)P.P(x,y,z)2维，非线性2维，非线性3维，线性3维，线性一、引言2010-8-11设。易见，Pn中的每个元素都可用n元有序组（a1,a2,…,an）表征。因此，Pn是n限空间。h设。易见，Sm中的每个元素都可以用m元有序组（b1,b2,…,bm）表征。因此，Sm是m限空间。h设C[0,1]表示所有在区间[0,1]上连续的函数全体。该集合中的元素不可能由有限个参数组来表征。因此，它是无穷维的。nn1P:Rkkkkaxa=⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭∑m1Ssin:R,Rmkkkbkxbx=⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭∑一、引言2010-8-11从定义形式看，空间结构与空间维数是两个独立的概念。但在实际问题中，空间结构往往是通过空间的表征参数组来定义的。自然地，空间的维数越高，其表征的参数就越多，因此，随着维数的增大，空间结构性质就越复杂。那么，问题1：随着维数的增加，特别是“达到”无穷维时，空间结构性质将呈现出怎样的变化？值得指出的是，数学的许多领域处理的往往不是空间本身的性质，而是空间中的变换（或称算子），因此问题2:随着维数的增加，特别是在无穷维空间中，空间变换将呈现出怎样的复杂性？周知，实数是集三大数学结构于一体的最基本的空间，是数学研究的本体。为此，我们就从实数这个1维空间开始，在分析框架内，围绕空间的拓扑性质及其空间变换性质而展开讨论。一、引言2010-8-11序列的极限：2.函数（映射）的极限：二、一维实空间:实数基本概念基本概念一一2010-8-11映射（函数）的连续性：4.聚点、闭集、开集等二、一维实空间:实数极限存在的判别准则：1.单调增上有界序列必有极限；2.序列收敛当且仅当它是Cauchy列（或基本列）。3.映射的极限定义中，代替。定积分定义中的收敛性不能用序列的收敛性来刻画！定积分定义中的收敛性不能用序列的收敛性来刻画！2010-8-11线性：实数空间是线性的。2.完备性：前面有关序列收敛的第二个判定准则表明，实数是完备的。即，每个Cauchy列都有极限。3.可分性：第三个判别准则表明，实数是可分的（事实上它以有理数集这个可数集为稠密子集）。4.致密性（列紧性）：任何有界序列必有收敛子列。5.紧性：有界闭集的任何开覆盖都有有限的子覆盖。6.区间套性质：单调减的闭区间族[an,bn]的交集非空。二、一维实空间:实数实数的基本性质实数的基本性质二二周知，致密性定理、有限覆盖定理以及闭区间套定理三者是等价的。周知，致密性定理、有限覆盖定理以及闭区间套定理三者是等价的。2010-8-11线性函数的表征：映射F(x)为线性的，当且仅当存在常数a使F(x)=ax。2.连续函数在有界闭区间（闭集）上必取到极值。3.连续函数在有界闭区间（闭集）上是一致连续的。4.闭区间（闭集）在连续映射下的原像是闭集。5.区间上的凸函数一定连续。6.可微函数是凸的当且仅当它的导函数是单调增的。二、一维实空间:实数连续映射的性质连续映射的性质三三回想，函数f单调增当且仅当,对任意x,y∈R,皆有(f(x)-f(y))(x-y)≥0。回想，函数f单调增当且仅当,对任意x,y∈R,皆有(f(x)-f(y))(x-y)≥0。2010-8-11二、一维实空间:实数线性系统的可解性线性系统的可解性四四1.线性系统的解为：2.线性系统零解稳定的必要条件是a≤0。3.线性系统零解渐近稳定（指数稳定）的充分必要条件是a0。4.函数T(t)（t≥0）是指数函数的充分必要条件是:(1)T(0)=I，T(t+s)=T(t)T(s);(2)T(t)在[0,∞)上连续。0),()()(≥+=′ttbutaxtx0,)()0()(0)(≥∫+=−tdrrbuexetxtrtaat0),()(≥=′ttaxtx0),()(≥=′ttaxtx2010-8-11孰知，实数是数学研究的本源，绝大多数数学研究的分支领域都可以在实数中找到其源头。但无论是数学研究内在驱动，还是应用需求，仅限于一维实数的研究是远不够的。许多问题需要多个变量进行描述，需要置于多维空间中进行研究。因此，有必要发展多维空间理论。二、一维实空间:实数问题：典型的多维空间，如平面，立体空间等，在这些空间中，点的表示与坐标的建立密不可分。那么，坐标系的建立其本质意义是什么？2010-8-11世纪末几何学的发展。由前面的定义知，本讲义所指的多维空间具有更为广泛的意义，它可以包括诸如由红、黄、蓝三种基色复合而成的“颜色空间”，也可以包括由压力、浓度、温度为参数的气体状态空间，等等。在n维空间中，每个点都可以用n个有序参数组a2,…,an）表征，即每个n维空间都与Rn一一对应，因此，下面我们就以Rn为例探讨多维空间拓扑结构的建立与相关性质。三、有限维实空间2010-8-11空间的结构多是通过与实数作类比而建立起来的。以下设a=(a1,a2,…,an)，b=(b1,b2,…,bn)∈Rn。1.实数的绝对值→向量的“模”：2.实数的乘积→向量的内积：基本概念基本概念一一1,nkkkabab==∑1221nkkaa=⎛⎞=⎜⎟⎝⎠∑距离夹角,=arccosababϕ⋅(,):dabab=−三、有限维实空间易见，‖a‖2=a,a易见，‖a‖2=a,a2010-8-11（一维情形）二项式展开式：多维情形的二项式展开（平行四边形准则）：2222,Rabaabbab−=+⋅+∀∈，222n1212=2,(,,,),(,,,)Rnnabaabbaaaabbbb−++∀==∈LL，以上通过类比而引进的概念在很大程度上延续了实数的性质。例如，二项式展开可在形式上推广到多维情形：以上通过类比而引进的概念在很大程度上延续了实数的性质。例如，二项式展开可在形式上推广到多维情形：三、有限维实空间内积是实数乘积的一种推广！内积是实数乘积的一种推广！2010-8-11序列的极限：2.映射的极限：3.映射（函数）的连续性：三、有限维实空间2010-8-11→Rm的可微性：若每个分量函数Fi对每个分量的偏导数存在，则称F可微，并称m×n阶矩阵为F在x处的导数，记为F’(x)。5.函数f:Rn→Rn的单调性：若对任意x,y∈Rn,则称f是单调的。nmjixxFxA×⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂=)()(0),()(≥−−yxyfxf三、有限维实空间内积是实数乘积的一种推广！后面我们将看到，内积又是“共轭内积”的一种特殊情形，因而，单调性可以进一步推广。内积是实数乘积的一种推广！后面我们将看到，内积又是“共轭内积”的一种特殊情形，因而，单调性可以进一步推广。2010-8-11开球、闭球、7.领域、内点、开集、闭集x称为集合A的内点，若存在r0,使得U(x,r)包含于A。若A的每个点都是其内点，则称A为开集。开集的余集称为闭集。开集（闭集）的公理特征：1.全空间Rn和空集既是开集也是闭集；2.任意多个开集(闭集)的并(交)仍是开集(闭集)；3.有限多个开集(闭集)的交(并)仍是开集(闭集)。三、有限维实空间2010-8-11单调增有界序列必有极限；2.任何Cauchy列（或称基本列）必有极限；3.映射的极限定义中，可用代替；4.Rm中的序列｛xn｝收敛当且仅当每个分量数列｛xni｝收敛，即，赋予“大小”关系：a≤b当且仅当ai≤bi赋予“大小”关系：a≤b当且仅当ai≤bimmnmnnnininnnxxxxxxxxxxmixxR),,,(),,,,(,lim,,,2,1lim0020102100∈====∀⇔=∞→∞→LLL其中三、有限维实空间事实上，可以证明：序列xn收敛的充分必要条件是，对任意a,数列a,xn收敛。事实上，可以证明：序列xn收敛的充分必要条件是，对任意a,数列a,xn收敛。2010-8-11Ht