2.6-对数与对数函数

§2.6对数与对数函数第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.对数的概念一般地，如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中___叫做对数的底数，___叫做真数.2.对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：①loga(MN)＝；②loga＝；③logaMn＝(n∈R).知识梳理ax＝logaNlogaM＋logaNNMNlogaM－logaNnlogaM(2)对数的性质①＝____；②logaaN＝___(a0，且a≠1).(3)对数的换底公式logab＝(a0，且a≠1；c0，且c≠1；b0).NNlogcblogcalogaNa3.对数函数的图象与性质y＝logaxa10a1图象定义域(1)_________值域(2)_____性质(3)过定点，即x＝1时，y＝0(4)当x1时，；当0x1时，____(5)当x1时，；当0x1时，____(6)在(0，＋∞)上是________(7)在(0，＋∞)上是________(0，＋∞)R(1,0)y0y0y0y0增函数减函数几何画板展示4.反函数指数函数y＝ax(a0且a≠1)与对数函数(a0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称.y＝xy＝logax1.换底公式的两个重要结论【知识拓展】(1)logab＝1logba；(2)＝nmlogab.其中a0且a≠1，b0且b≠1，m，n∈R.logmnab2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.()(2)对数函数y＝logax(a0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.()(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.()(4)对数函数y＝logax(a0且a≠1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，，函数图象只在第一、四象限.()基础自测××√√1234561＋x1－x1a，－17题组二教材改编2.[P68T4]log29·log34·log45·log52＝___.答案2cab解析1234563.[P82A组T6]已知a＝，b＝log2，c＝，则a，b，c的大小关系为________.132121log313解析∵0a1，b0，c＝＝log231.∴cab.121log374.[P74A组T7]函数y＝的定义域是______.解析由≥0，得02x－1≤1.解析123456答案23log(21)x12，123log(21)x∴12x≤1.∴函数y＝的定义域是12，1.23log(21)x7123456答案题组三易错自纠5.已知b0，log5b＝a，lgb＝c,5d＝10，则下列等式一定成立的是A.d＝acB.a＝cdC.c＝adD.d＝a＋c√76.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是A.a1，c1B.a1,0c1C.0a1，c1D.0a1,0c1123456解析由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，∴0a1，∵图象与x轴的交点在区间(0,1)之间，∴该函数的图象是由函数y＝logax的图象向左平移不到1个单位后得到的，∴0c1.√解析答案77.若loga1(a0且a≠1)，则实数a的取值范围是__________________.123456解析答案340，34∪(1，＋∞)解析当0a1时，loga34logaa＝1，∴0a34；当a1时，loga34logaa＝1，∴a1.∴实数a的取值范围是0，34∪(1，＋∞).7题型分类深度剖析题型一对数的运算自主演练1.设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m等于A.10B.10C.20D.100则1a＋1b＝1log2m＋1log5m＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解析答案√解析由已知，得a＝log2m，b＝log5m，解得m＝10.2.计算：lg14－lg25÷＝________.解析原式＝(lg2－2－lg52)×＝lg122×52×10＝lg10－2×10＝－2×10＝－20.12100答案－20解析121003.计算：1－log632＋log62·log618log64＝____.1解析原式＝1－2log63＋log632＋log663·log66×3log64＝1－2log63＋log632＋1－log632log64＝21－log632log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.答案解析对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并.(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.思维升华解析答案题型二对数函数的图象及应用师生共研典例(1)若函数y＝logax(a0且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是√解析(2)当0x≤12时，4xlogax，则a的取值范围是A.0，22B.22，1C.(1，2)D.(2，2)答案√若本例(2)变为方程4x＝logax在上有解，则实数a的取值范围为__________.解析引申探究0，12答案0，22解析若方程4x＝logax在0，12上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax在0，12上有交点，由图象知0a1，loga12≤2，解得0a≤22.(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.思维升华答案跟踪训练(1)函数y＝2log4(1－x)的图象大致是√解析函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1)，排除A，B；又函数y＝2log4(1－x)在定义域内单调递减，排除D.故选C.解析(2)(2017·衡水调研)已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是___________.解析如图，在同一坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距.由图可知，当a1时，直线y＝－x＋a与y＝log2x只有一个交点.解析log2x，x0，3x，x≤0，答案(1，＋∞)命题点1对数函数的单调性题型三对数函数的性质及应用多维探究典例(1)(2018届河南信阳高中大考)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则A.abcB.bcaC.acbD.cba解析a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43log53log63，∴abc.解析答案√(2)(2017·江西九江七校联考)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是A.(－∞，4)B.(－4,4]C.(－∞，－4)∪[－2，＋∞)D.[－4,4)解析由题意得x2－ax－3a0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，解析答案√则a2≥－2且(－2)2－(－2)a－3a0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，故选D.命题点2和对数函数有关的复合函数典例已知函数f(x)＝loga(3－ax)(a0且a≠1).(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；解∵a0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，x∈[0,2]时，t(x)的最小值为3－2a，当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax0恒成立.解答∴3－2a0.∴a32.又a0且a≠1，∴a的取值范围为(0,1)∪1，32.(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由.解假设存在这样的实数a.t(x)＝3－ax，∵a0，∴函数t(x)为减函数.∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝logat为增函数，∴a1，x∈[1,2]时，t(x)的最小值为3－2a，f(x)的最大值为f(1)＝loga(3－a)，∴3－2a0，loga3－a＝1，即a32，a＝32.故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.解答(1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响.(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题.思维升华解析答案跟踪训练(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则A.acbB.bcaC.cbaD.cab√解析a＝log32log33＝1，b＝log52log55＝1.又c＝log23log22＝1，所以c最大.由1log23log25，得1log231log25，即ab，所以cab.(2)已知函数f(x)＝loga(8－ax)(a0，且a≠1)，若f(x)1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________.解析答案1，83比较指数式、对数式的大小高频小考点比较大小问题是每年高考的必考内容之一.(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.考点分析典例(1)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则A.abcB.acbC.bacD.bca解析答案√32解析因为a＝log3πlog33＝1，b＝log23log22＝1，所以ab，又bc＝12log2312log32＝(log23)21，c0，所以bc，故abc.(2)(2017·新乡二模)设a＝60.4，b＝log0.40.5，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是A.abcB.cbaC.cabD.bca解析答案√解析∵a＝60.41，b＝log0.40.5∈(0,1)，c＝log80.40，∴abc.故选B.(3)若实数a，b，c满足loga2logb2logc2，则下列关系中不可能成立的是A.abcB.bacC.cbaD.acb解析由loga2logb2logc2的大小关系，可知a，b，c有如下四种可能：①1cba；②0a1cb；③0ba1c；④0cba1.对照选项可知A中关系不可能成立.解析答案√(4)(2017·石家庄一模)已知函数y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝，c＝f(2)，则a，b，c的大小关系是A.abcB.ba