第5章--湍流

第五章湍流湍流是自然界和工程领域中最常见、也是最重要的一类流动。本章介绍湍流的一些基础知识，如湍流的特性、起因和表征，描述湍流运动的Reynolds方程以及确定Reynolds应力的Prandtl混合长理论，无界固体壁面上、圆管中湍流和平板壁面上湍流边界层等湍流问题的求解，以及量纲分析在动量传递研究中的应用。第一节湍流的特性、起因和表征一、湍流的特性(1)湍流的随机性：流体质点具有沿主流方向的确定运动，同时还有在其他方向上的随机脉动。(2)湍流的三维性和有旋性：流体内部充满漩涡，漩涡除在主流方向上随流体流动，同时还在其他方向上做不规则的随机脉动。(3)湍流的连续性：最小漩涡的尺寸(≮1mm)也远大于分子运动的自由程。(4)湍流的耗散性：大尺度漩涡在时均运动中取得能量，又在漩涡分裂中传给小尺度漩涡，最后小尺度漩涡消失时通过流体的黏性作用将此机械能转变为热能而散失。湍流流动阻力要远大于层流阻力。(5)湍流的扩散性：漩涡运动引起流体微团的脉动，脉动导致不同流层的流体产生掺混，从而实现动量、质量和热量的交换(输运或扩散)。湍流扩散速率要比分子扩散速率大几个数量级。二、湍流的起因研究表明，流动由层流转变为湍流需具备两个条件：①漩涡的形成；②形成的漩涡脱离原来的流层进入相邻的流层。只有这样，才能使流体质点做规则的层状运动的层流失稳转变成流体内充满漩涡、质点作高频脉动的湍流。(1)漩涡的形成在轻微波动的流层周围，形成压力增减区域，构成横向压差力偶。在黏性流体中，具有不同速度的两相邻流层之间形成纵向剪切力偶。当压差力偶和剪切力偶足够大时，流层在横向压力差和纵向剪切力的双重作用下最终形成漩涡。除此之外，边界层的分离，以及流体流过某些尖缘处也促成漩涡的形成。(2)漩涡的迁移如图，漩涡附近的流体自左向右流动，假定所产生的漩涡沿顺时针方向旋转。漩涡顶上流层的运动方向和漩涡的旋转方向相同，流体的黏性将使该层流体被漩涡加速，导致该区域的压力降低。漩涡底下流层由于运动方向和漩涡旋转方向相反而被减速，导致该区域的压力增加。存在于漩涡顶部和底部间的这种压力差等于给漩涡施加一个垂直向上的力，即茹柯夫斯基升力。此升力与漩涡的旋转强度成正比。漩涡所受到的升力达到足以克服漩涡启动和加速上升时的惯性力以及漩涡上升过程中所受到的形体阻力和摩擦阻力相等时，漩涡才有可能脱离原流层。根据连续性原理，各流层间必然会有旋涡的交换，这种交换的不断进行就形成通常所谓的湍流。三、湍流的表征(一)时均量与脉动量湍流中任一位置上的流体质点，除了在主流方向上的运动外，还有各方向上附加的极不规则的脉动，且随时间而变。如图表示某一位置处流体质点的速度分量ux随时间的变化。ux、uy亦随时间的变化。可将任一点的瞬时速度分解成两部分，一是按时间平均而得的恒定值，称为时均速度；另一是因脉动而高于或低于时均速度的部分，成为脉动速度。cuuubuuuauuuzzzyyyxxx15............15............15............湍流中的其他物理量如温度、压力、密度等也都是脉动的，亦可采用同样的方法来表征。如压力可以写成时均值的数学定义，即θ1是能使不随时间而变得一段时间。从微观上讲，湍流流动都应是三维的、非稳态流动。稳态湍流是指各物理量的时均值不随时间变化。一维湍流是指物理量的时均值仅沿一个坐标方向变化，但其他两个方向的脉动速度仍然存在。例如，沿x方向的一维湍流的定义为25............ppp111010101d1,d135............d1zzyyxxuuuuuuzyxuuu,,zzyyxxxuuuuuuu,(二)湍流强度湍流强度的一般定义式中为湍流中任一点处流速的数值。对于沿x方向的一维流动，式(5-5)可写成若湍流各项同性，即，则有湍流强度是表征湍流特性的一个重要参数。流体在圆管中做湍流流动时，I值的范围为0.01～0.1；在尾流自由射流的高湍动情况下，I值有时可达0.4。55...........312222uuuuuuIzyxu65...........31222xzyxuuuuI222zyxuuu75...........2xxuuI第二节湍流时的运动方程Reynolds曾以时均量和脉动量之和来代替不可压缩流体的连续性方程和Navier-Stokes方程中的瞬时量，然后对各方程取时间平均，最终导出可应用于不可压缩流体湍流运动的特定方程组。将瞬时方程转换成时均方程的过程成为Reynolds转换，时均运动方程又称Reynolds方程。一、Reynolds方程(1)时均运算法则设f1和f2代表湍流流场中的两个物理量，且则有222111,ffffff00,,,,0,,212121212121111111111121212121211212111yffyffyffyffyffyffyffffzfzfyfyfxfxffffffffffffffffff(2)Reynolds转换及Reynolds方程对于不可压缩流体的稳态流动，连续性方程为上式各项取时均值，即由时均法则，可得进一步整理，可得式(5-8)表明，湍流时的时均速度仍能满足连续性方程。02..20.........zuyuxuzyx0zuyuxuzyx0zuyuxuzyx8...50.........zuyuxuzyx对于不可压缩流体的稳态流动，以应力表示的Navier-Stokes方程x方向N-S方程为由连续性方程式(2-20)，可得将式(2-35a)与式(5-9)左侧相加，可得即azyxXzuuyuuxuuzxyxxxxzxyxx352.........9..50.........zuyuxuuzyxxzuuyuuxuzuuzuuyuuyuuxuuxuuxzxyxzxxzyxxyxxxx2zyxXzuuyuuxuzxyxxxxzxyx2上式两侧各项取时均值，即依据时均运算法则，整理上式进一步整理最终可得zyxXzuuyuuxuzxyxxxxzxyx2zyxXzuuyuuxuzxyxxxxzxyx2zyxXzuuyuuxuzxyxxxxzxyx2zyxXzuuyuuxuzuyuxuuzuuyuuxuuzuuyuuxuzuuyuuxuzxyxxxxzxyxzyxxxzxyxxxzxyxxzxyx222由式(5-8),上式化简为将上式左侧含脉动量的各项移至方程右侧，得10.5..........2zyxXzuuyuuxuzuuyuuxuuzxyxxxxzxyxxzxyxx11a.5..........2xzzxxyyxxxxxzxyxxxuuzuuyuxXzuuyuuxuuDuD同理，可得到y、z方向N-S方程的Reynolds转换式式(5-11a)～式(5-11c)即为不可压缩流体做稳态湍流流动的时均Navier-Stokes方程，又称以应力表示的Reynolds方程。11b.5..........2zyzyyyyyxxyyzyyyxyuuzuyuuxYzuuyuuxuuDuD11c.5..........2zzzzyyzzxxzzzzyzxzuzuuyuuxZzuuyuuxuuDuD二、Reynolds应力由式(5-11a)～式(5-11c)可知，流体做湍流运动时所产生的总应力为由于时均速度梯度引起的黏性应力与由于流体质点脉动引起的湍流应力(又称Reynolds应力)之和。x方向的3个Reynolds应力为湍流流动中，x方向的总应力为cuubuuauzxrzxyxryxxrxx125...............125...............125.................2cbarzxzxtzxryxyxtyxrxxxxtxx135.................135................135.................三维湍流时，共有9个Reynolds应力,其中3个为法向应力，其余6个为切向应力。可用如下应力矩阵表示通过Reynolds转换，将复杂的湍流运动用时均运动方程表达，从而使问题大为简化。但是Reynolds方程中未知量数多于方程个数。因此，需确定各Reynolds应力亦即脉动速度与时均速度之间的关系。145...............rzzryzrxzrzyryyrxyrzxryxrxx同样，对不可压缩流体的Navier-Stokes方程(2-45)也可进行Reynolds变换。x方向N-S方程上式两边取时均值，即整理得azuyuxuxpXzuuyuuxuuxxxxzxyxx452..........122222222222221zuyuxuxpXzuuyuuxuzuuyuuxuuxxxxzxyxxzxyxx15..........112222222AzuuyuuxuzuyuxuxpXzuuyuuxuuDuDxzxyxxxxxzxyxxx同理，y、z方向N-S方程的Reynolds变换式如下：式(5-A1)～式(5-A3)为不可压缩流体做稳态湍流流动的另一形式的Reynolds方程。25..........112222222AzuuyuxuuzuyuxuypYzuuyuuxuuDuDyzyyxyyyyzyyyxy35..........112222222AzuyuuxuuzuyuxuzpZzuuyuuxuuDuDzzyzxzzzzzzyzxz第三节湍流的半经验理论