材料力学-第十三章压杆稳定

作者:黄孟生第十三章压杆稳定§13-1压杆稳定性的概念压杆桁架中的压杆高压输电线路保持相间距离的受压构件某杆,材料σb=130MPa;截面A=2×30mm2,长l=300mm,按强度条件，Fb=130×2×30=7.8kN.但实际上只有几牛顿的力杆就折断了，为什么？与截面形状有关，(如果Iy=Iz,且I越大，承载力就不同了）zyFFhb与杆发生弯曲关与杆的长度有关FFF1实际压杆与弯曲有关的因素还有：荷载不可避免地有一定的偏心；杆轴线有一定初曲率；材料本身的不均匀性。什么是压杆的稳定性呢？（1）当F＜Fcr时，撤去横向干扰力后，压杆仍能恢复原有的直线平衡状态。F＜Fcr(a)(b)F＜Fcr干扰力F＜Fcr(c)原有的直线平衡状态是稳定的。（2）当F≥Fcr时，在干扰力除去后，杆件不能恢复到原直线位置，在曲线状态下保持平衡。(c)F≥FcrF≥Fcr(a)(b)F≥Fcr干扰力原有的直线平衡状态是不稳定的。这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失稳定性，简称失稳.Fcr——压杆保持稳定平衡所能承受的极限压力，即临界压力（临界荷载）。压杆在外力作用下保持原有平衡形式的能力稳定性丧失原有平衡形式的现象称为失稳失稳也是一种失效形式理想中心受压细长压杆的临界力§13-2细长压杆的临界力1.两端铰支的临界压力M（x）=Fcrw（a）EIw″=-M（x）（b）得EIw″=-Fcrw令k2=Fcr/EI得w″+k2w=0（c）w=Asinkx+Bcoskx（d）FcrxxyOlwFcrM(x)Fcr=Fw一﹑Euler公式k2=Fcr/EIw=Asinkx+Bcoskx两个边界条件:（1）x=0，w=0得：B=0:w=Asinkx（2）x=l，w=0得：Asinkl=0012klnn，，，012crFnknEIl，，，012crFnknEIl，，，n=1时：w=w0sinπx/lw│x=l/2=A=w0BFw0OFcrAB′w=Asinπx/l22crEIFl----欧拉公式2、杆端约束对临界压力的影响Fcrlw=w0sinπx/l－－正弦曲线x=0，x=l:w=0,M=0,w″=0x=l/2:w=w0=wmax,且w′=0μ=1μ=2μ=0.5μ=0.7Fcr统一形式：μ——长度系数，μl——相当长度FcrlFcrl2lFcrl/2l/4l/4Fcr0.7l0.3l22()crEIFl----欧拉公式Fcrlxw0xwo1)、一端固定，另一端自由：0crMxFww0crEIwFww20wkwkw0sincoswAkxBkxw0,0;0,0:xwxw0,,cos0,,1,3,5...2nxlwwklkln000,,1cosAB222crEIFl2)、两端固定：ecrMxMFwecrEIwMFw2ecrMwkwkFsincosecrMwAkxBkxF0,0,0;,0,0xwwxlwwcos1,,2,4...klklnnMexFcrlwlx0,,1coseecrcrMMABwkxFFMeFcr220.5crEIFl3)、一端固定，另一端铰支：0crMxFwFlx0crEIwFwFlx02crFlxwkwkF0sincoscrFlxwAkxBkxF000,0,0;,0;,crcrxwwxlwFFlABkFF22tan,4.49,0.7crEIklklklFlMeFcrF0F001sincoscrFwkxlkxlxFklxwxFcr二﹑欧拉公式应用中的几个问题（1）Fcr与EI成正比，与l2成反比，且与杆端约束有关。Fcr越大，压杆稳定性越好，越不容易失稳；（2）杆端约束情况对Fcr的影响，是通过长度系数μ来实现的。要根据实际情况选择适当的μ。（3）当压杆在两个形心主惯性平面内的杆端约束情况相同时，则失稳一定发生在最小刚度平面，即I最小的纵向平面。zyFFhb（4）若压杆在两个形心主惯性平面内的杆端约束不相同时，该杆的临界力应按两个方向的(I/μl)min值计算。（5）假设压杆是均质的直杆，且只有在压杆的微弯曲状态下仍然处于弹性状态时才是成立的;实际压杆的临界力均小于理论值。轴销xzy问题的提出：能不能应用欧拉公式计算每根压杆的临界力？每根压杆是不是都会发生失稳？2l5l7l9l几根材料和直径相同，但是长度不同、约束不同的压杆:§13-3欧拉公式的适用范围与压杆的非弹性失稳一、压杆的临界应力与柔度AIlEAlEIAFcr2222）（）（AIi222ilEλ=μl/i——柔度，细长比。λ越大，压杆越细长，σcr越小，Fcr越小，越不稳定。cr22E即22crEσP——材料的比例极限PP2E——细长杆（大柔度杆）二、欧拉公式的适用范围适用条件：22crpE三、非弹性失稳的临界力当λ＜λP时，压杆为中、小柔度杆。其失稳时的临界应力σcr＞σP。压杆失稳——非弹性失稳。采用经验公式：a、b为与材料有关的常数，单位：MPa。适用范围：σP＜σcr＜σu或λP＞λ＞λu当λ≤λu时，压杆为小柔度杆或短粗杆。短粗杆的破坏是强度破坏。直线公式,crcrcrabFA令σcr=σu得：bauu显然，λu是中柔度杆与短粗杆的分界值。四、临界应力总图（3）0＜λ≤λu，小柔度杆，σcr=σu；（2）λu＜λ＜λP，中柔度杆，σcr=a-bλ；（1）λ≥λP，大柔度杆，临界应力图σuλpσpλsσcr=a-bλσ=σu22crEσλ22crE例1一TC13松木压杆，两端为球铰。已知:σp=9MPa,σb=13MPa,E＝1×104MPa。压杆截面为如下两种：（1）h=120mm,b=90mm的矩形；（2）h=b=104mm的正方形（同面积）试比较二者的临界力。解：（1）矩形：3min131090/12li1154.ppE21047.p该杆为细长杆。210312222111012090101213crEIFl（）799kN.（2）正方形100bauu858.该杆为中长杆。σcr=10.3MPaFcr=111.5kNzy3mFcr例2.一压杆长l=2m，截面为10号工字钢，材料为Q235钢，σs=235MPa，E=206GPa，σp=200MPa。压杆两端为柱形铰，试求压杆的Fcr。轴销xzy轴销xzy解：xy面内，两端视作铰支，μ=1，iz=4.14cm48.3zzli65.8yylizy60100sup，而轴销xzyxz面内，两端视作固定端，μ=0.5，查表iy=1.52cm压杆将在xz平面内失稳显然up3041.1265.8230.3MPacrab64230.31014.310329.3kNcrcrFA----中长杆§13-4压杆的稳定计算一、压杆的稳定条件nst---稳定安全因素其中:[Fst]---稳定容许压力F---压杆的工作压力[σst]---稳定容许应力crststFFFncrststFAn安全因素的选取：除考虑选取强度安全因素的那些因素外，还要考虑初曲率、材料不均匀性和荷载偏心等因素。二、压杆的稳定计算1、安全因数法（nst)稳定较核；截面设计；求容许荷载。或crststFFFncrststFAn2、折减因数法ststcrnststcrstunn01与材料有关，不同的材料不同----折减因数FA例3千斤顶，Q235钢，l=800mm,d=40mm,E=210GPa,稳定安全因素nst=3.0。试求[F]。NstFFF20.81600.044pli解：229422210100.04/64102kN(20.8)crEIFl34kNcrststFFFnFl例4：厂房钢柱长7m，由两根16b号Q235槽钢组成。截面为b类。截面上有四个直径为30mm的螺栓孔。μ=1.3，F=270kN，[σ]=170MPa。（1）求两槽钢间距h；（2）校核钢柱的稳定性和强度。解（1）求h∵钢柱各方向的约束均相同。∴合理的设计应使Iy=Iz。查单根16b号槽钢，得：A=25.15cm2，Iz0=934.5cm4。Iy0=83.4cm4z0=1.75cm，δ=10mm由平行移轴公式Iy=2[Iy0+A(z0+h/2)2]=2Iz0h=8.23cmz0dy0hzy(2)校核钢柱的稳定性和强度.61cm1492zIli..Ai，σ=F/Amin=70.5MPa＜[σ]故满足强度条件.σ=F/A=53.7MPa查13-1表,=0.311,[σ]=52.9MPa,σ虽大于[σ],但不超过5%,故满足稳定性要求.例5：图示梁杆结构，材料均为Q235钢。AB梁为14号工字钢，BC杆为d＝20mm的圆杆。已知：F=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m，E=206GPa，p=200MPa，s=235MPa，n=1.4，nst=1.8。求校核该结构是否安全。300ABCDFl2l1l1dxNO.14zAB杆：0cos3021.65kNNFF0max1sin3015.63kNmMFlmax163MPa168MPaNszFMAWn300ABCDFl2l1l1dxNO.14zCD杆：02sin3025kNNFF310.551101002010/4pli229422206100.002/6452.8kN()0.55crEIFl25kN29.3kNcrNstFFn如果CD杆为矩形截面，应如何计算？300ABCDFl2l1l1dxNO.14z§13-5提高压杆稳定性的措施一、选择合理的截面形式1、当y、z方向约束相同,使Iy=Iz，得：λy=λz2、当Iy=Iz时，尽可能在面积一定的情况下，增大惯性矩I。3、当y、z方向约束不同，λy=λz使得：Iy≠Iz，4、使每个分支和整体具有相同的稳定性。λ分支=λ整体二、减少相当长度和增强杆端约束1、增强约束；2、设置中间支撑。三、合理选用材料选用弹性模量较大的材料，可提高杆的稳定性。§13-6纵横弯曲问题当梁的弯曲刚度EI很大时，－－压弯组合当梁的弯曲刚度EI很小时，必须考虑轴向力在横向变形上产生的附加弯矩－－纵横弯曲问题ABql/2Cl/2FFxwyxwmax222qlqMxxxFw222qlqEIwxFwx222()22kqlqwkwxxF0,0,,0;xwxlw22(tansincos1)()2qqwukxkxlxxFkF2/kFEIFql/2M(x)Fwxq令/2ukl=22tan,qqAuBFkFk==22sincos22qlqFwAkxBkxxxqFFk42max512.2(1....)38430qlwuEI22max5(1....)812qlMu2max222max(sec1)82(sec1)8qqlwukEIkEIqluMumaxmaxzMFAWx=l/2:u=π/2Secu级数展开当/2ukl22EIFlsecumaxmax,wM可见:只要轴向力趋于临界力时,无论横向力多小,杆将发生失稳破坏§13-7大柔度杆在小偏心距下的偏心压缩EI很大—偏心压缩。EI很小叠加原