应用统计学与随机过程第2章习题解答

湖南大学本科课程《随机过程》第2章习题及参考答案主讲教师：何松华教授1.某公共汽车站停放着两某公共汽车站停放着两某公共汽车站停放着两某公共汽车站停放着两辆辆辆辆公共汽车公共汽车公共汽车公共汽车A、、、、B，，，，从从从从t=1s开始开始开始开始，，，，每隔每隔每隔每隔1s有一名乘客到达车有一名乘客到达车有一名乘客到达车有一名乘客到达车站站站站。。。。如果每名乘客以概率如果每名乘客以概率如果每名乘客以概率如果每名乘客以概率1/2登上登上登上登上A车车车车，，，，以概率以概率以概率以概率1/2登上登上登上登上B车车车车，，，，各乘客登上哪辆车各乘客登上哪辆车各乘客登上哪辆车各乘客登上哪辆车是相互独立的是相互独立的是相互独立的是相互独立的，，，，用用用用Xj表示第表示第表示第表示第j秒到达的乘客的登车状态秒到达的乘客的登车状态秒到达的乘客的登车状态秒到达的乘客的登车状态，，，，即登上即登上即登上即登上A车则车则车则车则Xj=1，，，，登登登登上上上上B车则车则车则车则Xj=0；；；；设设设设t=n时时时时A车上的乘客数为车上的乘客数为车上的乘客数为车上的乘客数为Yn。。。。(1)求离散时间随机过程求离散时间随机过程求离散时间随机过程求离散时间随机过程Yn的一的一的一的一维概率分布率维概率分布率维概率分布率维概率分布率；；；；(2)当公共汽车当公共汽车当公共汽车当公共汽车A上的乘客达到上的乘客达到上的乘客达到上的乘客达到10个时个时个时个时，，，，A即开车即开车即开车即开车，，，，求求求求A车出发时车出发时车出发时车出发时刻刻刻刻n的概率分布的概率分布的概率分布的概率分布。。。。解解解解：：：：(1)1nnjjYX==∑根据概率论中的二项式分布理论，对于k=0，1，…，n!{}0.5(10.5)0.5!()!kknknnnnPYkCknk-==-=-[注：n个随机变量中取出k个随机变量的组合数为knC，每个组合出现的概率为0.5(10.5)knk--](2)对于k=10，11，12，…，出发时刻n=k的概率为111{}{9,1}{9}{1}()(1)!1(1)!0.50.59!(19)!29!(10)!kkkkkkPnkPYXPYPXkkkk---=======--=×=---根据独立性(注：{}{10}kPnkPY=≠=，例如：10kY=可能为2110,0kkkYXX--===)2．．．．一个正弦振荡器一个正弦振荡器一个正弦振荡器一个正弦振荡器，，，，由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响由于元器件的热噪声和电路分布参数变化的影响，，，，其输出的正弦其输出的正弦其输出的正弦其输出的正弦波可以看作一个随机过程波可以看作一个随机过程波可以看作一个随机过程波可以看作一个随机过程()cos()XtAt=Ω+Φ，，，，其中其中其中其中A、、、、ΩΩΩΩ、、、、φφφφ为相互独立的随机变为相互独立的随机变为相互独立的随机变为相互独立的随机变量量量量，，，，且且且且2002/(0,)()0AaAaAfaotherwise∈=，1/100(250,350)()0fotherwiseωωΩ∈=，1/(2)(0,2)()0fotherwiseπφπφΦ∈=求随机求随机求随机求随机过程过程过程过程X(t)的一维的一维的一维的一维概率密度分布函数概率密度分布函数概率密度分布函数概率密度分布函数。。。。解解解解：：：：先考虑先考虑先考虑先考虑A、、、、ΩΩΩΩ分别分别分别分别为常数为常数为常数为常数a、、、、ωωωω的情况的情况的情况的情况，，，，对于任意的时刻对于任意的时刻对于任意的时刻对于任意的时刻t，()sin()2Xtatπω=++Φ(注：转化为sin是因为sin可以在正负对称的值域区间[-π/2,π/2)唯一地定义反函数)，当当当当X(t)≥≥≥≥0时时时时，，，，存在唯一的存在唯一的存在唯一的存在唯一的整数整数整数整数n1以及两个反函数以及两个反函数以及两个反函数以及两个反函数，，，，1111[()]arcsin[()/]2(0)22hxtxtatnππφωπφ==--+≤2212[()]arcsin[()/]2()22hxtxtatnππφπωπφπ==---+≤当当当当X(t)0时时时时，，，，存在唯一的存在唯一的存在唯一的存在唯一的整数整数整数整数n2以及两个反函数以及两个反函数以及两个反函数以及两个反函数11213[()]arcsin[()/]2(2)22hxtxtatnππφωπφπ==--+≤22223[()]arcsin[()/]2()222hxtxtatnπππφπωπφ==----+≤不管不管不管不管X(t)≥≥≥≥0或或或或X(t)0，，，，都可以得到都可以得到都可以得到都可以得到12|1222221/11/1(|,)||[()]||[()]||||221(/)1(/)1(||)XAddaafxafhxfhxdxdxxaxaxaaxφφωπππΩΦΦ-=+=+--=≤-根据条件概率密度函数的关系根据条件概率密度函数的关系根据条件概率密度函数的关系根据条件概率密度函数的关系，，，，可以得到可以得到可以得到可以得到||022202(,|)(|,)()(||,(0,))XAXAAafxafxafaxaaAAaxωωπΩΩ==≤∈-A0ax阴影部分为积分区域0(||,(0,))xaaA≤∈，x变化范围为[-A0,A0],对给定的x，a只能在[|x|,A0]变化000||222||||02222002200||2(|)(,|)22(||)AAXXAxxAxafxfxadadaAaxAxaxxAAAωωπππΩΩ==---==≤∫∫由此可见，对于任意的时刻t，随机变量()Xt的概率密度分布函数与随机变量Ω的取值无关，则220|0202(,)(|)(||)XXAxfxtfxxAAωπΩ-==≤。3．．．．用一枚硬币掷用一枚硬币掷用一枚硬币掷用一枚硬币掷1次的试验定义一个随机过程次的试验定义一个随机过程次的试验定义一个随机过程次的试验定义一个随机过程cos()()2tXttπ=出现正面出现反面设“出现正面”和“出现反面”的概率各为1/2。(1)确定X(t)的一维分布函数FX(x,1/2)、FX(x,1)；(2)确定X(t)的二维分布函数FX(x1,x2;1/2,1)；(3)画出上述分布函数的图形。解：(1)显然，在t=1/2时刻，随机变量X(t)只有两种可能的取值：0，1；概率均为1/2；则根据离散型随机变量的概率分布函数特性，得到：001(,1/2){()}1/201211XxFxPXxxx=≤=≤≥(注：注意定义以及区间的开闭)X(1)只有两种可能的取值：-1，2；概率均为1/201(,1){(1)}1/21212XxFxPXxxx-=≤=-≤≥(2)由于样本函数一旦确定，则对不同的时刻t1,t2，随机变量的取值来自相同的样本函数，则X(1/2)与X(1)的取值的组合只有2种(而不是4种)，即：(0,-1)、(1,2)；每种组合出现的概率各为1/2。可以用二维的冲激函数、二维阶跃函数分别表示二维离散随机变量的概率分布函数及概率密度分布函数121212111(,;,1)(,1)(1,2)222Xfxxxxxxδδ=++--1212121212121212121211(,;,1)(',';,1)''2211[(','1)('1,'2)]''2211(,1)(1,2)22xxXXxxFxxfxxdxdxxxxxdxdxUxxUxxδδ++---∞-∞-∞-∞==++--=++--∫∫∫∫(注：当概率密度函数中有冲激函数时，积分区间采用x+与x有本质区别)其中的阶跃函数定义为：12121,(,)0xaxbUxaxbelsewhere≥≥--=。如下图所示：两次阶跃发生在二维坐标位置(0，-1)，(1，2)；则二维平面上①区的概率分布函数值为0，②区的概率分布函数值为1/2；③区的概率分布函数值为1；其中边界属于取值较大的区域。4．．．．设随机过程设随机过程设随机过程设随机过程()cos()sin()(-)ZtXtYttωω=+∞∞，，，，其中其中其中其中ωωωω0为常数为常数为常数为常数，，，，X、、、、Y为相互为相互为相互为相互独立的随机变量独立的随机变量独立的随机变量独立的随机变量，，，，概率密度分布函数分别为标准正态分布概率密度分布函数分别为标准正态分布概率密度分布函数分别为标准正态分布概率密度分布函数分别为标准正态分布(即均值为均值为均值为均值为0，，，，标准差为标准差为标准差为标准差为1)。。。。若将若将若将若将Z(t)写成写成写成写成()cos()ZtVtω=+Φ，(1)求随机变量V、Φ的概率密度分布函数及联合概率密度分布函数，问二者是否统计独立？(2)求随机过程的一维概率密度分布函数。解解解解：：：：(1)()cos()cos()cos()sin()sin()ZtVtVtVtωωω=+Φ=Φ-Φ，得到cos()XV=Φ，sin()YV=-Φ反函数1(,)cos()xhvvφφ==，2(,)sin()yhvvφφ==-；22vxy=+，v的取值范围为2-11x2x111132220v≤∞；显然，φ可以在0到2π范围内任意取值[注：为了使得二维函数关系为一一对应关系，只能在一个2π的区间内定义φ的值域]。根据多维随机变量函数的概率密度关系得到22212[cos()][sin()]222(,)[(,),(,)](||)cos()sin()11sin()cos()22(0;02)2VXYvvvxxvfvfhvhvyyvveevvevφφφφφφφφφφφππφππΦ----∂∂∂∂=∂∂∂∂-=--=≤∞≤用两层分别表示行列式、绝对值22222200()(,)=(0)2vvVVvfvfvdedvevππφφφπ--Φ==≤∞∫∫22001()(,)=(02)22vVvffvdvedvφφφπππ∞∞-ΦΦ==≤∫∫(,)()()VVfvfvfφφΦΦ=即随机变量V、Φ相互独立。(3)对于任意的时刻t，Z(t)为高斯随机变量X、Y的线性组合，必然服从高斯分布；根据数学期望与方差的性质，得到[()][cos()sin()]cos()[]sin()[]cos()0sin()00EZtEXtYttEXtEYttωωωωωω=+=+=×+×=222222222[()][()]([()]){[cos()sin()]}cos()[]2cos()sin()[]sin()[]cos()12cos()sin()0sin()11DZtEZtEZtEXtYttEXttEXYtEYttttωωωωωωωωωω=-=+=++=×+×+×=221(,)(-)2zZfztezπ-=∞∞5．．．．求求求求4题所给出的随机过程的均值及相关函数题所给出的随机过程的均值及相关函数题所给出的随机过程的均值及相关函数题所给出的随机过程的均值及相关函数，，，，并判断该随机过程是否为广义平稳随并判断该随机过程是否为广义平稳随并判断该随机过程是否为广义平稳随并判断该随机过程是否为广义平稳随机过程机过程机过程机过程。。。。解解解解：：：：显然显然显然显然，，，，该随机过程该随机过程该随机过程该随机过程Z(t)的一维概率密度分布函数的一维概率密度分布函数的一维概率密度分布函数的一维概率密度分布函数(标准正态分布标准正态分布标准正态分布标准正态分布)与时间与时间与时间与时间t无关无关无关无关，，，，且且且且其均值为常数其均值为常数其均值为常数其均值为常数0。。。。1212112221212122121212(,)[()()]{[cos()sin()][cos()sin()]}cos()cos()[][cos()sin()sin()cos()][]sin()sin()[]cos()cos()sin()co