抽象函数经典习题

教育VIP精品讲义第1页共11页抽象函数问题有关解法由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()fx的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。现将常见解法及意义总结如下：一、解析式问题：1.换元法：即用中间变量表示原自变量x的代数式，从而求出()fx，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。例1：已知()211xfxx,求()fx.解：设1xux,则1uxu∴2()2111uufuuu∴2()1xfxx2.凑配法：在已知(())()fgxhx的条件下，把()hx并凑成以()gu表示的代数式，再利用代换即可求()fx.此解法简洁，还能进一步复习代换法。例2：已知3311()fxxxx，求()fx解：∵22211111()()(1)()(()3)fxxxxxxxxxx又∵11||||1||xxxx∴23()(3)3fxxxxx，(|x|≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。例3．已知()fx二次实函数，且2(1)(1)fxfxx+2x+4,求()fx.解:设()fx=2axbxc，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)fxfxaxbxcaxbxc教育VIP精品讲义第2页共11页=22222()24axbxacxx比较系数得2()41321,1,2222acaabcb∴213()22fxxx4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例5．一已知()fx为偶函数，()gx为奇函数，且有()fx+1()1gxx，求()fx,()gx.解：∵()fx为偶函数，()gx为奇函数，∴()()fxfx,()()gxgx,不妨用-x代换()fx+()gx=11x………①中的x,∴1()()1fxgxx即()fx－1()1gxx……②显见①+②即可消去()gx,求出函数21()1fxx再代入①求出2()1xgxx5、方程组法：通过变量代换，构造方程组，再通过加减消元法消去无关的部分。例6.已知1()+2()1fxfxx，求()fx的表达式解：用1x代替x得到11()+2()1ffxxx（1）又1()+2()1fxfxx（2）2（1）-（2）得到23()1fxxx，于是21()333xfxx二、求值问题例7.已知定义域为R的函数()fx，同时满足下列条件：①1(2)1,(6)5ff；②(.)().()fxyfxfy，求(3),(9)ff的值。解：取2,3xy，得(6)(2)(3)fff因为1(2)1,(6)5ff，所以4(3)5f又取3xy得8(9)(3)(3)5fff教育VIP精品讲义第3页共11页评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取2,3xy，这样便把已知条件1(2)1,(6)5ff与欲求的(3)f沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。三、定义域问题例8.已知函数2()fx的定义域是［1，2］，求()fx的定义域。解：2()fx的定义域是［1，2］，是指12x，所以2()fx中的2x满足214x从而函数f(x)的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数(())fx的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于已知(())fx中x的取值范围为A，据此求()x的值域问题。五、判断函数的奇偶性：例11已知()()2()()fxyfxyfxfy,对一切实数x、y都成立，且(0)0f,求证()fx为偶函数。证明：令x=0,则已知等式变为()()2(0)()fyfyffy……①在①中令y=0则2(0)f=2(0)f∵(0)f≠0∴(0)f=1∴()()2()fyfyfy∴()()fyfy∴()fx为偶函数。六、单调性问题例12.设()fx定义于实数集上，当0x时，()1fx，且对于任意实数,xy有()()()fxyfxfy，求证：()fx在R上为增函数。证明：在()()()fxyfxfy中取0xy，得2(0)[(0)]ff若(0)0f，令0,0xy，则()0fx，与()1fx矛盾所以()0fx，即有(0)1f当0x时，()10fx；当0x时，0,()10xfx而()()(0)1fxfxf所以1()0()fxfx又当0x时，(0)10f教育VIP精品讲义第4页共11页所以对任意xR，恒有()0fx设12xx，则21210,()1xxfxx所以21211211()(()]()()()fxfxxxfxfxxfx所以()yfx在R上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。七、解抽象不等式（确定参数的取值范围）例13：奇函数()fx在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0fmfm的实数m的取值范围。解：由2(1)(1)0fmfm得2(1)(1)fmfm，∵()fx为函数，∴2(1)(1)fmfm又∵()fx在（-1，1）内递减，∴221111110111mmmmm巩固练习练习一1．给出四个函数，分别满足①()()()fxyfxfy；②()()()gxygxgy；③()()()hxyhxhy；④()()()txytxty，又给出四个函数图象教育VIP精品讲义第5页共11页正确的匹配方案是（）（A）①—丁②—乙③—丙④—甲（B）①—乙②—丙③—甲④—丁（C）①—丙②—甲③—乙④—丁（D）①—丁②—甲③—乙④—丙2．定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，当x0时，,f(x)0，则函数f(x)在[a,b]上()A有最小值f(a)B有最大值f(b)C有最小值f(b)D有最大值f(2ba)3．设函数fx的定义域为Ｒ，且对,,xyR恒有,fxyfxfy若83,2ff则（）Ａ．12Ｂ．１Ｃ．12Ｄ．144．若偶函数)(xf在1,上是增函数，则下列关系式中成立的是（）A．)2()1()23(fffB．)2()23()1(fffC．)23()1()2(fffD．)1()23()2(fff5．定义在R上的函数fx满足：对任意实数,mn，总有fmnfmfn，且当0x丁教育VIP精品讲义第6页共11页时，01fx．（1）试举出一个满足条件的函数fx；（2）试求0f的值；（3）判断fx的单调性并证明你的结论；（4）若,21)1(f解不等式.81)12(xf1-4DCCD5．（1）如12xfx，（2）在fmnfmfn中，令1,0mn．得：110fff．因为10f，所以，01f．（3）要判断fx的单调性，可任取12,xxR，且设12xx．在已知条件fmnfmfn中，若取21,mnxmx，则已知条件可化为：2121fxfxfxx．由于210xx，所以2110fxx．为比较21fxfx、的大小，只需考虑1fx的正负即可．在fmnfmfn中，令mx，nx，则得1fxfx．∵0x时，01fx，当0x时，110fxfx．又01f，所以，综上，可知，对于任意1xR，均有10fx．∴2112110fxfxfxfxx．∴函数fx在R上单调递减，（4）若,21)1(f则81)3(f，则不等式)3()12(81)12(fxfxf，由函数fx在R上单调递减，则312x，则不等式的解集为}2|{xx。练习二1.若奇函数()()fxxR，满足(2)1,(2)()(2)ffxfxf，则(1)f等于（）A．0B．1C．12D．122.设对任意实数1x、2x，函数)(xfy)0,(xRx满足)()()(211xxfxfxf。教育VIP精品讲义第7页共11页（1）求证：0)1()1(ff；（2）求证：)(xfy为偶函数。3.已知函数)(xf是定义在),0(上的增函数，且满足对于任意的正实数x、y，都有)()()(yfxfyxf，且.1)2(f（1）求)8(f的值；（2）解不等式.3)2()(xfxf4.已知函数)(xf对于任意的正实数x、y，都有)()()(yfxfyxf，若0)2(f，则下列结论中不正确的是（）A．0)1(fB．)4()3(ffC．0)21()2(ffD．0)51()4(ff5.设定义在R上的函数()fx对于任意,xy都有()()()fxyfxfy成立，且(1)2f，当0x时，()0fx。（1）判断f(x)的奇偶性，并加以证明；（2）试问：当-3≤x≤3时，)(xf是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由。6.若函数f(x)为奇函数，且在（0，+）内是增函数，又f(2)=0，则0)()(xxfxf的解集为（）A．（-2，0）（0，2）B．（-，-2）（0，2）C．（-，-2）（2，+）D．（-2，0）（2，+）7.设对满足0,1xx的所有实数x，函数()fx满足1()+()1xfxfxx，求()fx的解析式。8.已知函数()(,0)fxxRx对任意不等于零的实数12,xx都有1212(.)()()fxxfxfx，试判断函数()fx的奇偶性。教育VIP精品讲义第8页共11页9.（09年东城区示范校质检一）（本小题满分14分）设函数()yfx的定义域为全体R，当0x时，()1fx，且对任意的实数,xyR，有()()()fxyfxfy成立，数列{}na满足1(0)af，且11()()()21nnnfanNafa（Ⅰ）求证：()yfx是R上的减函数；（Ⅱ）求数列{}na的通项公式；10.（09届华南师大附中综合测试题）设函数()fx满足(0)1f，且对任意,xyR，都有(1)().()()2fxyfxfyfyx.（Ⅰ）求()fx的解析式；（Ⅱ）若数列{}na满足：13()1,nnafanN且11a,求数列{}na的通项；1.解析：对于)2()()2(fxfxf，令1x，得)2()1()1(fff即1)1()1(ff，从而1)1(2f，所以21)1(f，选D。2.解析：（1）令121xx，得)1()11()1()1(ffff，所以0)1(f。令121xx，得0)1()1()1(fff，所以0)1(f。（2）令xxx21，得)()(22xfxf，令xxx21，得)()(22xfxf，从而我们有：)()(xfxf，所以，)(xfy为偶函数。教育VIP精品讲义第9页共11页3.解析：（1）3)8(2)4(1)2(fff（2）)]2(8[)()8()2()(3)2()(xfxffxfxfxfxf由函数)(xf是定义在),0(上的增函数，则)2(8xx即716x，依题设，有020xx，2x，从而不等式的解集为)716,2(。4.解析：满