第十四章-光学

1第十四章光学14-1一根直径为8.0cm的长玻璃棒的一端被磨成半径为4.0cm的光滑凸状球面，已知玻璃的折射率为1.50。如果将物体放于棒轴上距此端面分别为无限远、16.0cm和4.0cm处，求像的位置。已知：4.0Rcm，11.00n，21.50n，1,16.0,4.0lcmcm求：2l解：将已知数据代入单球面折射公式：212121nnnnllR中。当1l时，求得：212lcm，表示像在玻璃棒内距端面12cm处；当116.0lcm时，求得：224lcm，表示像在玻璃棒内距端面24cm处；当14.0lcm时，求得：212lcm，表示像在玻璃棒外距端面12cm处。14-2将上题中的玻璃棒浸在某种液体里，在棒轴上离棒的端面60.0cm处放一物体，发现像呈现在玻璃棒内距端面100.0cm处。求液体的折射率。已知：4.0Rcm，160lcm，2100lcm和21.50n求：1n解：将已知数据代入单球面折射公式，得：111.501.50100604.0nn从中解得：10.361.350.267n14-3折射率为1.50、直径为10.0em的长玻璃棒，端面被磨成半径为5.0cm的光滑凸状球面。有一长为1.0mm的细棒，垂直地放于玻璃棒轴上距端面20.0cm处。求细棒的像的位置和横向放大率。已知：5.0Rcm，11.00n，21.50n，120.0lcm和11.0ymm，求：像距2l和横向放大率m解：将已知数据代人单球面折射公式，得：21.501.001.501.0020.05.0l从中解得：230.0lcm所以像在棒内距端面30．0cm处。2横向放大率为：12211.00nlmnl这表示，像是与物等大的倒立实像。14-4有一曲率半径为20.0她的凹面镜，先后放在空气(折射率为1.00)和水(折射率为1.33)中，求在这两种情况下的焦距。解：反射镜的焦距之取决于镜面的曲率半径，与介质的性质无关。20.010.022Rfcm14-5高度为2.0cm的纫捧，放于曲率半径为16.0cm的凹面镜之前，如果细棒垂直地处于主光轴上，并分别距离顶点4.0cm、16.0cm和24.ocm。(1)求在三种情况下像的位置、大小、正倒和虚实；(2)用作图法求像。已知：16.0Rcm，12.0ycm，14.0lcm、16.0cm和24.0cm解：(1)在14.0lcm的情况下：将已知量代入球面镜公式：12112llR得：21124.016.0l从中解得：28.0lcm横向放大率为：218.02.04.0lml此结果表示，像处于球面镜之后距离顶点8.0cm处，是物的2倍，是正立的虚像在116.0lcm的情况下：将已知量代人球面镜公式，可求得：216.0lcm横向放大率为：1.0m此结果表示，像处于球面镜之前距离顶点16．0cm处，与物等大，是倒立的实像。在124.0lcm的情况下：将已知量代人球面镜公式，可求得：212.0lcm横向放大率为：0.50m此结果表示，像处于球面镜之前距离顶点12.0cm处，是物的1／2，是倒立的实像。3(2)题意要求的三种情形分别用图(a)、图(b)和图(c)表示。图中：凹面镜右侧光线射不到，故用阴影表示；物用11AB表示，像用22AB表示。由物点1B发出的平行于主光袖的光线到达凹面镜的D点，反射后必定通过焦点F，这就是光线DH夕；由物点1B发出的通过焦点F的光线到达凹面镜的E点，反射后必定平行于主光轴，这就是光线EG。光线DH和光线EG的交点(或反向延长线的交点)，就是像点2B。14-6有一曲率半径为20．0cm的凹面镜，在距顶点10．0cm处垂直于主光轴放置一高度为20mm的细棒，计算像的位置和横向放大率，然后作图。解：已知：20.0Rcm，12.0ymm，110.0lcm。将已知量代入球面镜公式：12112llR解得：211210.020.0l从中解得：2l横向放大率为：2110.0lml以上结果表示，像处于球面镜之后距离顶点无限远处，是无限大的、正立的虚像。作图示。图中，凹面镜右侧光线射不到，故用阴影表示，物用11AB，表示，根据题意，11AB垂直于主光轴，并且1A与焦点相重合。由物点1B发出的平行于主光轴的光线到达凹面镜的D点，反射后必定通过焦点多(即1A点)，这就是光线DH，其反向延长线就是DH’；由物点1B发出的通过曲率中心O的光线到达凹面镜的E点，反射后必定按原路径返回，这就是光线EG，其反向延长线是EG’。容易证明，''DHEG，它们必定相交于无限远处，也就是说，像点2B必定在无限远处。414-7试证明：当凸面镜对物体成像时，无论物体放于何处，像总是缩小的虚像。解：根据球面镜的高斯公式：12111llf可以得到：121flllf将上式代入球面反射的横向放大率公式，得：211lfmllf对于凸面镜，总有0f，10l也就是说，上式分子总为正值，分母总为负值，并且分母的绝对值总是大于分子的，所以，由上式决定的横向放大率总是小于l的正值。这表示，凸面镜所成的像总是缩小的虚假，并且是正立的。14-8一个人身高1．70m，头顶到眼睛的距离为0．10m。如果此人能够从铅直放置的平面镜中看到自己的全身，这个平面镜应至少多高?它应放置在什么位置?解由图可以看出，这个平面镜的最小高度为：min11101608522hcmcmcm应铅直放置，下端距地面80cm。14-9会聚透镜的焦距为10.0cm，当物点处于主光轴上并距光心分别为20.0cm和5.0cm时，试确定像的位置、大小、正倒和虚实。己知：10.0fcm，1l分别为20.0cm和5.0cm，求：像的位置和性质。解：在120.0lcm的情况下，将已知量代入薄透镜成像公式：21111llf得：211120.010.0l从中解得：220.0lcm此时横向放大率为：2120.01.0020.0lml以上结果表示，像处于薄透镜之后距离光心20.0cm处，与物等大，是倒立的实像。在15.0lcm的情况下，将已知量代人薄透镜成像公式，得：210.0lcm此时横向放大率为：2110.02.005.0lml上面结果表示，像处于薄透镜之前距离光心10.0cm处，像是物的2倍，是正立的虚像。14-10一发散透镜的两个球面的曲率半径分别为10.0cm和30.0cm，其折射率为1.50。现有高度为2.0cm5的细棒处于主光轴上并与主光轴相垂直，与光心相距40.0cm。求像的位置和高度。已知：发散透镜的曲率半径分别为10.0cm和30.0cm，1.50n，12.0ycm，以及140.0lcm求：像的位置和高度。解：根据薄透镜的焦距公式，可以求得该发散透镜的焦距为：130.0fcm将已知量代人薄透镜成像的高斯公式：21111llf得：211140.030.0l可以求得：217.1lcm横向放大率为：2117.10.42740.0lml像的大小为：210.4272.00.86ymycm上面结果表示，像处于薄透镜之前距离光心17.1cm处，像是高度为0.86cm，是正立的虚像。14-11把两个焦距分别为1f和2f的薄透镜相接触组成共铀光学系统。证明此透镜组的焦距f与1f和2f有如下关系：12111fff证：设'l为由第一个透镜所成像的像距，当然对于第二个透镜来说，就是物距。因为两个透镜是相接触的，'l的量值对于两个透镜是相同的。对于第一个透镜：设两球面的半径分别为1R和2R，透镜介质的折射率为n，将这些值代入薄透镜的成像公式，得：12111111'nllRR将上式改写为：12111111'nllRR（1）对于第二个透镜：设两球面的半径分别为AR和BR，透镜介质的折射率为n，将这些值代入薄透镜的成像公式，得：211111'ABnllRR将式(1)代人上式，得：212111111111ABnnllRRRR整理后为：212111111111ABnnllRRRR（2）6根据薄透镜成像的高斯公式，式(2)的等号有端应该是该光学系统的焦距的倒数，即：21111llf所以，211111111ABnnfRRRR（3）根据薄透镜的焦距公式，第一个薄透镜和第二个薄透镜的焦距分别为：1211111nfRR和21111ABnfRR将上式代人式(3)，得：12111fff证毕。14-12有两个薄透镜相距5.0cm，组成共轴系统：第一个薄透镜是焦距为10.0cm的会聚透镜，第二个薄透镜是焦距为-10.0cm的发散透镜。现有一物点放于会聚透镜前方20.0cm处，试确定像的位置和虚实。解：对于第一个透镜(会聚透镜)：根据薄透镜成像的高斯公式，有：11120.010.0l求得像距为：20.0lcm对于第二个透镜(发散透镜)：根据薄透镜成像的高斯公式，有：211120.05.010.0l求得像距为：230.0lcm这表示，像处于发散透镜前30.0cm处，即处于会聚透镜前25.0cm处，在物的左侧5.0cm处，是虚像。14-13有一焦距为10.0cm的放大镜，可以看作为薄透镜。如果像呈现在观察者的明视距离，即在眼前方25.0cm处，那么应把被观察的物体放在什么位置?若物体高度为1.0mm，像的高度多大?已知：10.0fcm，125.0lcm，11.0ymm求：2y解：将已知数据代入薄透镜成像的高斯公式，有：111125.010.0l求得物距为17.1lcm，被观察物体应放在镜前7.1cm处。像的高度为：2211125.01.03.57.1lymyymml14-14试由相干叠加探讨光波的相干条件。答：两列光波相干的条件：（1）频率相同；（2）存在互相平行的振动分量；（3）具有固定的相位关系。若7两列光波的相干条件不能满足，则称为非相干光。因为它们的干涉项将为零。14-15光源S1和S2在真空中发出的光都是波长为l的单色光，现将它们分别放于折射率为n1和n2的介质中，如图13-5所示。界面上一点P到两光源的距离分别为r1和r2。(1)两束光的波长各为多大？(2)两束光到达点P的相位变化各为多大？(3)假如S1和S2为相干光源，并且初相位相同，求点P干涉加强和干涉减弱的条件。解：(1)已知光在真空中的波长为，那么它在折射率为n的介质中的波长'可以表示为：'n所以，在折射率为1n和2n的介质中的波长可分别表示为：11n和22n(2)光传播r的距离，所引起的相位的变化为：2r所以，第一束光到达点P相位的变化为：1111122rnr第二束光到达点P相位的变化为：2222222rnr(3)由于两光源的初相位相同，则两光相遇时的相位差是由光程差决定的，所以，点P干涉加强的条件是：112220,1,2,2nrnrkk点P干涉减弱的条件是：1122210,1,2,2nrnrkk14-16若用两根细灯丝代替杨氏实验中的两个狭缝，能否观察到干涉条纹？为什么？答：观察不到干涉条纹，因为它们不是相干光源。814-17在杨氏干涉实验中，双缝的间距为0.30mm，以单色光照射狭缝光源，在离开双缝1.2m处的光屏上，从中央向两侧数两个第5条暗条纹之间的间隔为22.8mm。求所用单色光的波长。解：在双缝干涉实验中，暗条纹满足：210,1,2,22Dxkka第5条暗条纹的级次为