数形结合思想例题选讲

数形结合思想例题选讲数形结合思想是“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法；以数助形常用的有新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。例题选讲新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆类型一：集合的运算及韦恩图利用数形结合的思想解决集合问题，常用的方法有数轴法、韦恩图法等。当所给问题的数量关系比较复杂，且没有学容斥原理前，不好找线索时，用韦恩图法能达到事半功倍的效果。例1．如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是（）.AMPSB。MPS.ICMPSð.IDMPSð解：阴影部分是M与P的公共部分（转化为集合语言就是MP），且在S的外部（转化为集合语言就是CIS），故选C。通过上述例子，我们知道：当应用题中牵涉到集合的交集、并集、补集时，用韦恩图比用数轴法简便。类型二：图表信息题此类题目都有图形（或图表）作为已知条件，须联系函数的性质分析求解，解决问题的关键是从已知图形（图表）中挖掘信息.例2．直角梯形ABCD如图（1），动点P从B点出发，由ADCB沿边运动，设点P运动的路程为x，ABP的面积为)(xf．如果函数)(xfy的图象如图（2），则ABC的面积为（）A．10B．16C．18D．32解：由)(xfy图象可知,当04()0xfx由时由变最大,说明，BC4由4x及9x时)(xf不变,说明P点在DC上,即CD=5.所以AD=14-9=5,过D作DGAB则DG=BC=43AG,由此可求出AB=3+5=8.ABCDP图（1）yx1449O图（2）16482121BCDBSABC选B例3．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01A．y=2x-2B.y=21(x2-1)C.y=log2xD.y=log21x解：解法一:把表中x的数值取整数代入下列函数中逐一计算,近似估算,最接近y值的一个函数为2112yx.故选B.解法二:把表中yx,近似描点连线,对照可得最接近的函数为2112yx的图象.故选B.类型三：解析几何中直线与曲线例4．曲线y=1+24x(–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解析新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆方程y=1+24x的曲线为半圆，y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆答案新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆（43,125］类型四：方程（多指二元方程）及方程的曲线交点问题例5．已知最小正周期为2的函数y=f(x)，当x∈[-1,1]时，f(x)=x2，则函数y=f(x)（x∈R）的图象与y=|log5x|的图象交点个数为（）A.2B.3C.4D.5解：本题考查周期函数的图象和性质，对数函数的图象和性质及含有绝对的函数的图象的画法，本题考查数形结合思想.由图象可知，有5个交点,故选D.类型五：二次函数类型例6．设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解法一新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆M12-2oyxxxyy=x5logo135考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆如图两种情况新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆不等式的成立条件是新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0a∈(–2,1)(2)0)1(10gaa∈(–3,–2]，综上所述a∈(–3,1)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解法二新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆由f(x)＞ax2+2＞a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，故直线l对应的a∈(–3,1)新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆类型六：函数知识解应用题函数知解应用题的题型比较丰富,一般为中档题,其中对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本．例7．某医药研究所开发一种新药.如果成年人按规定的剂量服用，据检测，服药后每毫升血液中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系近似满足如图所示曲线.据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效.则服药一次治疗该疾病有效的时间为（）A.4小时B.478小时C.41516小时D.5小时解：由已知图象可得,01,()1(),1.2takttfxt将点(1,4)代入可得4k,3a.∴34,01,()1(),1.2tttfxt令()0.25fx可得40.25,11,0116ttt或31,151()0.25,2ttt,∴1516t,从而得服药一次治疗该疾病有效的时间为1155-41616,故应选C.类型七：创新题例8．如图,三台机器人123,,MMM和检测台M（M与123,,MMM均不能重合）位a-1oyxa-1oyx-12-1oyxy(毫克)t(小时)O1234112tayykt于一条直线上,三台机器人需把各自生产的零件送交M处进行检测,送检程序设定：当1M把零件送达Ｍ处时，2M即刻自动出发送检，当2M把零件送达M处时，3M即刻自动出发送检，设2M的送检的速度为v，且送检速度是1M的２倍、3M的３倍．（１）求三台机器人123,,MMM把各自生产的零件送达检测台M处的时间总和；（２）现要求三台机器人123,,MMM送检时间总和必须最短，请你设计出检测台M在该直线上的位置．解：（１）由已知得检测台M的位置坐标为0，则机器人123,,MMM与检测台M的距离分别为2,1,3．又2M的送检的速度为v，则1M的送检的速度为12v，3M的送检的速度为13v.故三台机器人123,,MMM按程序把各自的生产零件送达检测台Ｍ处的时间总和为213141123yvvvv.（２）设x为检测台M的位置坐标，则三台机器人123,,MMM与检测台M的距离分别为|(2)|,|1|,|3|xxx．于是三台机器人123,,MMM按程序把各自的生产零件送达检测台Ｍ处的时间总和为|(2)||1||3|1(2|2||1|3|3|)1123xxxyxxxvvvv.只要求()2|2||1|3|3|fxxxx的最小值．而66,(2),214,(21),()12,(13),66,(3),xxxxfxxxx由分段函数图象得当[1,3]x时，有min()12fx．即送检时间总和最短为12v.1MM2M3M-2-10123又检测台M与123,,MMM均不能重合，故可将检测台M设置在直线上机器人2M和3M之间的任何位置（不含23,MM的位置），