高一函数-知识点大全

函数一、函数的相关概念1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一的确定的数)(xf和它对应，那么就称BAf:为从集合A到集合B的一个函数，记作)(xfy，Ax2、函数的三要素：定义域、值域、解析式（对应关系）注意：若两函数相等，则其“定义域”和“对应关系”必须相等。3、函数的表示法：解析法、图像法、列表法二、函数的基本性质：（单调性、奇偶性、周期性）1、函数的单调性：（增函数、减函数）（1）增函数：在函数定义域I某个区间D内任意两个自变量的值1x，2x，对于任意21xx，都有)()(21xfxf，则称：函数)(xf在区间D上是增函数。（2）减函数：在函数定义域I某个区间D内任意两个自变量的值1x，2x，对于任意21xx，都有)()(21xfxf，则称：函数)(xf在区间D上是减函数。（3）单调函数的性质：增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数；)(uf和)(ug单调性相同，))((ugf和))((ufg为增函数；)(uf和)(ug单调性不同，))((ugf和))((ugf为减函数；（4）判定函数单调性的方法：定义法、性质法、导数法（5）定义证明单调性的步骤：在函数定义域内取任意1x、2x，且1x2x作差)()(12xfxf判断)()(12xfxf正负结论（6）最大值、最小值：最大值：设函数)(xfy的定义域为I，若存在实数M满足：对于任意的Ix，都有Mxf)(，且存在Ix0，使得Mxf)(0最小值：设函数)(xfy的定义域为I，若存在实数M满足：对于任意的Ix，都有Mxf)(，且存在Ix0，使得Mxf)(02、函数的奇偶性：（奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数）（1）奇函数：在函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，则函数)(xf就称为奇函数，函数图像关于原点对称。（2）偶函数：在函数定义域内任意一个x，都有)()(xfxf，则函数)(xf就称为偶函数，图像关于Y轴对称。（3）奇偶函数的性质：奇函数×奇函数偶函数；奇函数÷奇函数偶函数；偶函数×偶函数偶函数；偶函数÷偶函数偶函数；奇函数×偶函数奇函数；奇函数÷偶函数奇函数；（4）判断函数奇偶性的方法：定义法、图像法、性质法（5）特别的，若0)(xf，则函数既为奇函数又为偶函数3、函数的周期性：对于函数)(xf，若存在不为零的常数T，对定义域内任意x都有)(Txf=)(xf，则称)(xf为周期函数，T为此函数的周期。（1）若奇函数)(xf的图像关于直线ax对称，则)(xf是周期函数，且a4为其周期；若偶函数)(xf的图像关于ax对称，则a2为)(xf的一个周期。（2）若函数)(xf满足)()(xafxaf，则)(xf的图像关于直线ax对称。若函数)(xf满足)()(axfxaf，则)(xf的图像关于y轴对称。若函数)(xf满足)()(axfaxf，则)(xf的周期为a2。函数)(axfy与函数)(xafy的图像关于直线ax对称。（3）抽象函数的描述抽象函数关系式相应的模型函数)()()(yfxfyxfkxy)()()(yfxfyxfxay（0a，1a）)()()(yfxfyxfxyalog（0a，1a）)()(1)()()(afxfafxfaxfxytan)()(2)()(yfxfyxfyxfxycos二、指数与指数函数1、指数：0的奇次方根及偶次方根都为0，负数没有偶次方根运算性质：sa×ta=tsa；tsa)(=sta；sab)(=sasb；（0a；0b；s、tQ）2、指数函数及其性质：函数xay（0a且1a）叫做指数函数；指数函数的性质10a1a定义域：RR值域：（0，）（0，）范围：0x1y0x10y0x10y0x1y定点：（0，1）（0，1）单调性：递减递增三、对数和对数函数1、对数：如果a(0a且1a)的b次幂等于N，即Nab，那么就称b是以a为底N的对数，记作bNalog（a为底数，N为真数）注意：负数和零没有对数。（1）常用对数：NNlglog10；NNelnlog（17.2e）（2）对数的性质：01loga；1logaa；NaNalog；NaNalog；abbalog1logbmnbanamloglog；NNNbbalogloglog（换底公式）；（3）对数的运算法则：NMMNaaaloglog)(log；NMNMaaaloglog)(log2、对数函数：函数xyalog（0a且1a）叫做对数函数。对数函数的性质10a1a定义域：（0，）（0，）值域：RR范围：10x0[，）10x(，0]1x(，0)1x(0，）定点：(1,0)(1,0)单调性：递减递增四、幂函数：函数xy，其中x是自变量，是常数(对于幂函数，我们只讨论1、2、3、21、-1的情况)幂函数的性质00定点：(1,1)(0,0)(1,1)单调性：在0[，）递增在0[，）递减注意：幂函数的图像一定不经过第四象限。五、函数的图像作图：描点法、转化法（恒等变形、变换法——借助基本函数图像、利用图像变换作图）1、描点法：（1）研究函数定义域、值域、确定图像范围（2）研究函数的奇偶性、确定图像对称关系（3）研究函数单调性、确定函数的升降趋势（4）取值、列表、描点并连线2、转化法：（1）恒等变形（2）变换法：平移变换（左加又减、上加下减）对称变换（x轴对称、y轴对称、原点对称、xy对称、ay对称）3、伸缩变换：)(xfy与)(xfy（1：缩短1；10：伸长1）)(xfy与)(xAfy（1A：伸长A倍；10A:缩短A倍）