世界名画陈列馆问题(回溯法)

算法设计与分析课程设计题目：世界名画陈列馆问题(回溯法)专业：班级：学号：姓名：计算机工程系2012年11月16日一、算法问题描述世界名画陈列馆问题。世界名画陈列馆由m×n个排列成矩形阵列的陈列室组成。为了防止名画被盗，需要在陈列室中设置警卫机器人哨位。每个警卫机器人除了监视它所在的陈列室外，还可以监视与它所在的陈列室相邻的上、下、左、右4个陈列室。试设计一个安排警卫机器人哨位的算法，使得名画陈列馆中每一个陈列室都在警卫机器人的监视之下，且所用的警卫机器人数最少。二、算法问题形式化表示本问题的m*n的陈列室的解可表示如下图所示。其中1代表在该陈列室设置警卫机器人哨位，0表示未在该陈列室设置警卫机器人哨位。01001001000100101000010000100001010010000001001010100101m*n陈列室的可能解最为极端的情况是所有元素的值为1。那什么情况下是最优解呢？就是设置警卫机器人哨位数最少即为最优。因为每个矩阵中的值都可以为1或0，有m*n个元素，有nm*2种可能满足约束条件的矩阵，要从nm*2种可能中遍历找到满足约束条件的1的个数最小的矩阵。由此可见这是一个NP问题。这里的约束条件就是当某一个元素为1时，相邻的4个方向上的元素值可以为0。三、期望输入与输出输入:第一行有2个正整数m和n(1≤m,n≤20)输出：将计算出的警卫机器人数及其最佳哨位安排输出。第一行是警卫机器人数；接下来的m行中每行n个数，0表示无哨位，1表示哨位。样例输入：44样例输出：40010100000010100四、算法分析与步骤描述从上到下、从左到右的顺序依次考查每一个陈列室设置警卫机器人哨位的情况，以及该陈列室受到监视的情况，用[i,j]表示陈列室的位置，用x[i][j]表示陈列室[i,j]当前设置警卫机器人哨位的状态。当x[i][j]=1时，表示陈列室[i,j]设置了警卫机器人，当x[i][j]=0时，表示陈列室[i,j]没有设置了警卫机器人。用y[i][j]表示陈列室[i,j]当前受到监视的的警卫机器人的数量。当y[i][j]0时，表示陈列室[i,j]受到监视的警卫机器人的数量，当y[i][j]=0时，表示陈列室[i,j]没有受到监视。设当前已经设置的警卫机器人的哨位数为k，已经受到监视的陈列室的数量为t，当前最优警卫机器人哨位数为bestc。设回溯搜索时，当前关注的陈列室是[i,j]，假设该陈列室已经受到监视，即y[i][j]==1，此时在陈列室[i,j]处设置一个警卫机器人哨位，即x[i][j]==1，相应于解空间树的一个节点q，在陈列室[i+1,j]处设置一个机器人哨位，x[i+1][j]==1，相应于解空间树的另一个节点p。容易看出，以q为根的子树的解，不优于以p为根的子树的解，以q为根的子树可以剪去。因此，在以从上到下，从左到右的顺序依次考察每一个陈列室时，已受监视的陈列室不必设置警卫机器人哨位。设陈列室[i,j]是从上到下、从左到右搜索到的第一个未受监视的陈列室，为了使陈列室[i,j]受到监视，可在陈列室[i+1,j]、[i,j]、[i,j+1]处设置警卫机器人哨位，在这3处设置哨位的解空间树中的结点分别为p、q、r。当y[i][j+1]==1时，以q为根的子树的解，不优于以p为根的子树的解，当y[i][j+1]==1且y[i][j+2]==1时，以r为根的子树的解，不优于以p为根的子树的解。搜索时应按照p、q、r的顺序来扩展结点，并检测节点p对节点q和节点r的控制条件。int[][]bestx=newint[MAX][MAX];//x用来设置当前警卫，y用来表示监控//情况，bestx返回最终结果intn,m,best,k=0,t=0;//当前已设置的警卫数为k，受监视的陈列室//数为t，当前最少警卫数为bestvoidchange(inti,intj){//在(i,j)处设置一个警卫，并改变其周围受//监控情况x[i][j]=1;k++;for(intr=1;r=5;r++){//在自己本身跟上下左右五个地方设置受控intp=i+d[r][1];intq=j+d[r][2];y[p][q]++;if(y[p][q]==1)t++;}}voidrestore(inti,intj){}//撤销在(i,j)处设置的警卫，并改变其周围//受监控情况voidsearch(inti,intj){}//回溯搜索,从上到下、从左至右搜索没被监控的//位置五、问题实例及算法运算步骤首先先说一下监控安置的策略,本思想是安置监控的数量由少到多的策略。然后用一维数组来记录监控的安装位置4*4矩阵相应的一维数组就是array[16]一共16个空间，转换成矩阵坐标也比较简单如在array数组中坐标array[8]则对应的矩阵坐标是Matrix[8%4][8/4]所以完全可以用一维数组来替代矩阵；再根据一维数组来计算所有安置的可能情况如2*3矩阵共6个空间，假如我要在6个空间安置3个监控则相当于离散数学中组合的概念即C(6,3)=20;设陈列馆由m*n个陈列室组成,因为不存在重复监视，所以很多情况下都无解，我们采用的做法是根据m和n的值进行分类讨论。首先，先比较m、n大小，使m始终大于n，方面程序书写。分三种情况讨论：n＝1这时可以直接写出最优解：当mmod3＝1时，将哨位置于（1，3k＋1）；当mmod3＝0或2时，将哨位置于（2，3k＋2），其中k＝0、1、…、m/3。n＝2这种情形下必须2端分别设置2个哨位，他们各监视三个陈列室。那么当m为偶数时问题就无解了。当m为奇数时，将哨位分别至于（1，4k＋3）和（2，4k＋1），k＝0、1、…、m/4。n2容易验证当n＝3，m＝3和n＝3，m＝4时无解，n＝4，m＝4有解。设置哨位时，允许在的n＋1行和m＋1列设置哨位，但不要求的第n＋1行和m＋1列陈列室受到监视，那么当n=3且m=5时在不重复监视下有解那么n＝3，m＝5的不可重复监视问题一定有解。但是通过验证n＝3，m＝5的不可重复监视哨位设置问题无解，那么当n=3且m=5时在不重复监视下无解。通过以上讨论就将所有情况分析完全了，简单写一个包含多个条件判断的程序就可以实现该算法。六、算法运行截图七、算法复杂度分析回溯法需要为问题定义一个解空间，这个解空间必须至少包含问题的一个解（可能是最优的）。使用递归回溯法解决问题的优点在于它算法思想简单，而且它能完全便利搜索空间，肯定能找到问题的最优解；但是由于此问题解的总组合数有n2个，因此，随着物件数n的增大，其解的空间将以n2级增长，因此时间复杂度为：O(nn2)。