资本资产定价模型与套利定价理论

第十一章资本资产定价模型与套利定价理论第一节资本资产定价模型一、资本资产定价模型的假设二、分离理论三、资本市场线四、证券市场线第二节因子模型一、单因子模型二、多因子模型第三节套利定价模型一、套利的基本形式二、套利定价理论三、APT和CAPM的一致性目录第一节资本资产定价模型资本资产定价模型的主要特点是一种资产的预期收益率可以用这种资产的风险相对测度β值来测量。一、资本资产定价模型的假设：1.投资者通过投资组合在单一投资期内的预期收益率和标准差来评价这些投资组合；2.投资者永不满足，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较高预期收益率的那一种；3.投资者是厌恶风险的，当面临其他条件相同的两种选择时，他们将选择具有较小标准差的那一种；4.每种资产都是无限可分的；5.投资者可按相同的无风险利率借入或贷出资金；6.税收和交易费用均忽略不计；7.所有投资者的投资期限均相同；8.对于所有投资者来说，无风险利率相同；9.对于所有投资者来说，信息都是免费的并且是立即可得的；10.投资者对于各种资产的收益率、标准差、协方差等具有相同的预期。如果每个投资者都以相同的方式投资，根据这个市场中的所有投资者的集体行为，每个证券的风险和收益最终可以达到均衡。二、分离理论每个投资者根据自己的偏好在资本市场线CML上选择需要的证券组合，它是由市场证券组合M和以RF为利率的无风险证券组成。投资者可以利用利率RF自由地借入或贷放款项，但他们都选择相同的市场证券组合M。就是说，个人投资者的效用偏好与风险资产组成的证券组合无关。分离定理表示风险资产组成的最优证券组合的确定与个别投资者的风险偏好无关。最优证券组合的确定仅取决于各种可能的风险证券组合的预期收益率和标准差。二、分离理论分离理论在投资中是非常重要的。个人投资者研究投资可分为两部分：首先决定一个最优的风险证券组合，然后决定最想要的无风险证券和这个证券组合的组合。只有第二部分依赖效用曲线。正如图11.1所示，投资者可以选择CML上的任意点（投资组合）。在点M左端的点（如点O2）表示投资到利率为RF的无风险证券和风险证券组合M的组合。它适宜较保守的投资者。在点M右端的点（如点O1）表示以RF借款和自有的资金一起投资风险证券组合M。它适宜比较喜好风险的投资者。图11.1分离定理三、资本市场线与无风险收益之差。图11.2中证券组合M的风险报酬为：E（RM）-RF（11.1）通常CML线总是向上倾斜的，因为风险报酬总是正的。根据假设，投资者都不喜爱风险，除非未来的风险得到补偿才会投资。因此，风险愈大，预期收益愈大。但这不等于说永远如此，CML线有时可能向下倾斜，也就是风险报酬低于无风险收益。这表明投资者的预期收益不是总能实现，否则就不会有风险了。因此，虽然CML在事前必然向上倾斜，但事后有可能向下倾斜。CML的斜率=(11.2)资本市场线是由无风险收益为RF的证券和市场证券组合M构成的。市场证券组合M是由均衡状态的风险证券构成的有效的证券组合。同时投资者可以收益率RF任意地借款或贷款。图11.2资本市场线如果投资者准备投资风险资产，他们就需要一个风险报酬来补偿增加的风险。风险报酬是一个证券组合的收益RPRMRF0MCMLσMσP三、资本市场线CML的斜率是有效证券组合的风险市场价格，表示一个证券组合的风险每增加1%，需要增加的收益。在了解CML的斜率和截距RF后，在CML上的任意有效证券组合中的预期收益可用它的风险表示，因此CML的表达公式为：式中：E（RP）是代表CML上任意有效证券组合的预期收益率，σP代表CML上任何有效证券组合的标准差，CML根据证券组合P的不同风险水平决定它的预期收益。(11.3)例1：假设市场证券组合由两个证券A和B组成。他们的预期收益分别为10%和15%，方差为20%和28%，权重为40%和60%。已知A和B的相关系数为0.3，无风险利率为5%，求资本市场线的方程。解：依题意：，则，则有风险的证券组合的预期收益率为：风险证券组合的方差：CML的斜率==资本市场线方程为：E（RP）=5%+19.58%σP四、证券市场线资本市场线只用于反映有效证券组合的预期收益和标准差在均衡状态时的关系。但个别的风险证券本身可能是非有效的证券组合，因此，就要进一步测定个别证券的预期收益与总风险之间的关系。在考虑市场组合风险时，重要的不是各种证券自身的整体风险，而是其与市场组合的协方差。也就是说，自身风险较高的证券，也并不意味着其预期收益率也较高；同样，自身风险较低的证券，也并不意味着其预期收益率就较低。个别证券的预期收益率取决于其与市场组合的协方差（）。在均衡状态下，个别证券风险与收益的关系可以写成：iMiMMFMFiRRERRE2）（）（（11.4）式（11.4）所表达的就是著名的证券市场线，它反映了个别证券与市场组合的协方差和其预期收益率之间的均衡关系。用图形表示：图11.3证券市场线从图11.3中可以看出，对于等于0的风险证券而言，其预期收益率应等于无风险利率，因为这个风险证券与无风险证券一样，对市场组合的风险没有任何影响。当某种证券的0时,该证券的预期收益率甚至会低于RF。iMiME(Ri)E(RM)RF0MSMLβiM1.0四、证券市场线例2：市场证券组合的预期收益率为12%，标准差为20%，无风险预期利率为8%。求CML方程，并用图形表示。现有三种证券组合的标准差分别为14%，20%和30%，求它们的预期收益并在图上标出。图11.4三种证券CML图形解：依题意已知：)(MRE=12%，M=20%，FR=8%CML的斜率=%20%20%8%12)(MFMRRECML方程为：PPRE%20%8)(又知三种证券组合的标准差1P=14%，2P=20%，3P=30%%8.10%14%20%8)(1PRE%12%20%20%8)(2PRE%14%30%20%8)(3PRE四、证券市场线证券市场线的另一种表达式形式，可以用系数来表示。表示单一证券与市场组合的协方差，公式为：系数的一个重要特征是，一个证券组合值等于该组合中各种证券值的加权平均数，权数为各种证券在该组合中所占的比例，即：式中：表示组合的值。由于任何组合的预期收益率和值都等于该组合中各个证券预期收益率和值的加权平均数，其权数也都等于各个证券在该组合中所占比例，因此，既然每一种证券都落在证券市场线上，那么由这些证券构成的证券组合也一定落在证券市场线上。在市场组合点，值为1，预期收益率为E（RM），在无风险资产点，值为0，预期收益率为RF。证券市场线反映了在不同的值水平下，各种证券及证券组合应有的预期收益率水平，从而反映了各种证券和证券组合的系统性风险与预期收益率的均衡关系。iMiMFMFRRERRiE)()(（11.5）niiMiPMX1（11.6）PM四、证券市场线例3：一个证券组合由三种证券构成，它们的值和权重如下：表11.1证券组合资料求这个证券组合的β值。解：根据题意，由公式11.6得：因此，这个证券组合的β值为1.04。0.501.0430.301.2020.200.801权重β值证券例4：已知=0.10，=0.08，=0.06，=0.0014，=0.07，求和解：在达到均衡时，证券i的预期收益率为：四、证券市场线资本市场线用标准差衡量，反映整个市场的系统性风险；证券市场线用协方差衡量，反映个别证券对市场系统性风险的敏感程度及该证券对投资组合的贡献。12资本市场线的有效组合落在线上，非有效组合落在线下；证券市场线包括了所有证券和所有组合，无论有效组合还是非有效组合都落在线上。证券市场线与资本市场线在市场均衡时两者是一致的，但也有区别：第二节因子模型证券的价格变化受多种因素的影响，需要通过因子模型来解决，只要我们找出影响证券价格的因子，就可以构造出因子模型来估计每个证券的预期收益率。因子可以取很多，如GDP、利率、通货膨胀率等影响因素。一、单因子模型单因子模型的基本思想是认为证券收益率只与一个影响因素有关。假定每种证券或多或少地受股价指数的影响，当投资者观察证券市场时可以发现，当股价指数上升时大部分股票的价格也上升；当股价指数下跌时，大部分股票的价格也下跌。这说明，各种证券对市场变化有共同的反映。因此，可以用一种证券的收益率和股价指数的收益率的相关关系得出以下模型：式中：代表第i种证券的收益率；(11.7)代表股票市场股价指数收益率；代表证券收益率中独立于市场代表证券收益率对股价既定变化情况下预期代表剩余收益，它与平均敏感程度，即的部分；股价指数收益率的测定变化的常数；是一个随机变量，测度收益率之间的偏差，也叫残差。一、单因子模型其二为微观因素的影响，具体表现为股份公司内部环境的变化，如新产品的开发、公司内部的人事变动等，它只对个别证券产生影响，而没有普遍作用。在一定时间内，在股价指数一定的条件下，微观因素的影响能使证券收益率高于正常水平，它引起ai和的变动，也是产生残差的主要原因。其一为宏观经济环境的变化，如通货膨胀、存款利率的变化等。宏观经济变化会影响市场股价指数的变化，并通过市场的驱动影响到每一个证券收益率的变化。证券的不同预期收益率是市场不同时期不同影响所形成的。单因素模型假设两种类型的因素造成证券收益率各个时期之间的差异一、单因子模型需要指出，这里我们假设微观因素的变动对其他证券没有影响。同时其他类型的影响因素也不予考虑，因为它们不至于广泛得足以影响经济系统或整个证券市场的股价指数。但这类因素也会引起残差。单因素模型中两个基本假设1i)(iEijji0),cov(ji的均值=0，且对于一切，（不相关，即）（11.8）2市场股票指数和独立的证券收益率不相关，即协方差等于0一、单因子模型单因子模型中某种证券的预期收益率、方差和协方差可以这样推导出来：（1）某种证券的预期收益率公式：由于随机变量的期望值等于期望值的和，故所以，（11.9）（2）任何证券收益率的方差公式：（11.10）（3）任何两种证券间的协方差公式：根据假设，上式的最后三项等于0，所以（11.11）由上式可知，协方差只取决于市场风险。一、单因子模型例5：假设股票收益率和市场股票指数收益率如表11.2所示，其中=8，=2.8。股票收益率市场指数收益率03010402040合计1023035-29296941122158153-2323232262104101（6）（5）（4）（3）（2）（1）(甲)月份iMibRaR表11.2单因子模型中的相关数据的期望值等于0，所以的和也等于0。5个月的收益是40，其中30个与市场相关，独立部分的和等于10。因为是常数，所以每个月的=10/5=2。剩下的就是能使单因子模型等式两侧相等的数值，如第（6）栏所示。设=1.5，则第（5）栏的值可由第（2）栏乘上1.5求得。由此可见，单因子模型中所有的值都来自于b，b把收益分为与市场相关和与市场独立的两部分。当b确定为1.5时，市场收益率独立于剩余收益。如果b的值取得低，部分市场收益就进入，与市场的协方差取正值；b的值取得高,市场收益去掉太多，就会导致与市场的协方差取负值。因此，b值恰好把市场收益与独立收益分离开来。一、单因子模型如果一种证券的单因子模型成立，那么证券组合的预期收益率为：(11.12)式中：，分别为，的加权平均，即则公式（11.12）又可以写成：证券组合的方差可以写成：（11.13）iaib2i)(MRE2M如果我们估计出每股股票的，，以及市场预期收益率和方差出任何证券组合的预期收益率的方差。这比用马柯维茨方法选择最佳证券组合是大大简化了。，我们就能估计二、多因子模型影响证券收益的因子不只一个，它是由多种因子共同影响的结果，这些因素的变动会引起证券价格的不同变化。根据其影响程度的不同，可以得出证券收益率与这些因素的关系式，从而得到最佳证券组合。双因子模型与通货膨在现实生活中，假设影响证券收益率的因素分别）和通货膨胀率