复变函数测试题及答案

第一章复数与复变函数一、选择题1．当iiz11时，5075100zzz的值等于（）（A）i（B）i（C）1（D）12．设复数z满足3)2(zarc，65)2(zarc，那么z（）（A）i31（B）i3（C）i2321（D）i21233．复数)2(taniz的三角表示式是（）（A）)]2sin()2[cos(seci（B）)]23sin()23[cos(seci（C）)]23sin()23[cos(seci（D）)]2sin()2[cos(seci4．若z为非零复数，则22zz与zz2的关系是（）（A）zzzz222（B）zzzz222（C）zzzz222（D）不能比较大小５．设yx,为实数，yixzyixz11,1121且有1221zz，则动点),(yx的轨迹是（）（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线６．一个向量顺时针旋转3，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i31，则原向量对应的复数是（）（A）2（B）i31（C）i3（D）i3７．使得22zz成立的复数z是（）（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数８．设z为复数，则方程izz2的解是（）（A）i43（B）i43（C）i43（D）i43９．满足不等式2iziz的所有点z构成的集合是（）（A）有界区域（B）无界区域（C）有界闭区域（D）无界闭区域10．方程232iz所代表的曲线是（）（A）中心为i32，半径为2的圆周（B）中心为i32，半径为２的圆周（C）中心为i32，半径为2的圆周（D）中心为i32，半径为２的圆周11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）（A）221zz（B）433zz（C）)1(11aazaz（D）)0(0ccaazazazz12．设,5,32,1)(21izizzzf，则)(21zzf（）（A）i44（B）i44（C）i44（D）i4413．00)Im()Im(lim0zzzzxx（）（A）等于i（B）等于i（C）等于0（D）不存在14．函数),(),()(yxivyxuzf在点000iyxz处连续的充要条件是（）（A）),(yxu在),(00yx处连续（B）),(yxv在),(00yx处连续（C）),(yxu和),(yxv在),(00yx处连续（D）),(),(yxvyxu在),(00yx处连续15．设Cz且1z，则函数zzzzf1)(2的最小值为（）（A）3（B）2（C）1（D）1二、填空题1．设)2)(3()3)(2)(1(iiiiiz，则z2．设)2)(32(iiz，则zarg3．设43)arg(,5izz，则z4．复数22)3sin3(cos)5sin5(cosii的指数表示式为5．以方程iz1576的根的对应点为顶点的多边形的面积为６．不等式522zz所表示的区域是曲线的内部７．方程1)1(212ziiz所表示曲线的直角坐标方程为８．方程iziz221所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线９．对于映射zi，圆周1)1(22yx的像曲线为10．)21(lim421zziz三、若复数z满足03)21()21(zizizz，试求2z的取值范围．四、设0a，在复数集C中解方程azz22.五、设复数iz，试证21zz是实数的充要条件为1z或0)(zIM.六、对于映射)1(21zz，求出圆周4z的像.七、试证１.)0(0221zzz的充要条件为2121zzzz；２.)),,2,1,,,0(021njkjkzzzj的充要条件为nnzzzzzz2121.八、若0)(lim0Azfxx，则存在0，使得当00zz时有Azf21)(.九、设iyxz，试证yxzyx2.十、设iyxz，试讨论下列函数的连续性：1.0,00,2)(22zzyxxyzf2.0,00,)(223zzyxyxzf第二章解析函数一、选择题：1．函数23)(zzf在点0z处是()（A）解析的（B）可导的（C）不可导的（D）既不解析也不可导2．函数)(zf在点z可导是)(zf在点z解析的()（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件3．下列命题中，正确的是()（A）设yx,为实数，则1)cos(iyx（B）若0z是函数)(zf的奇点，则)(zf在点0z不可导（C）若vu,在区域D内满足柯西-黎曼方程，则ivuzf)(在D内解析（D）若)(zf在区域D内解析，则)(zif在D内也解析4．下列函数中，为解析函数的是()（A）xyiyx222（B）xyix2（C）)2()1(222xxyiyx（D）33iyx5．函数)Im()(2zzzf在0z处的导数()（A）等于0（B）等于1（C）等于1（D）不存在6．若函数)(2)(2222xaxyyiyxyxzf在复平面内处处解析，那么实常数a()（A）0（B）1（C）2（D）27．如果)(zf在单位圆1z内处处为零，且1)0(f，那么在1z内)(zf()（A）0（B）1（C）1（D）任意常数8．设函数)(zf在区域D内有定义，则下列命题中，正确的是（A）若)(zf在D内是一常数，则)(zf在D内是一常数（B）若))(Re(zf在D内是一常数，则)(zf在D内是一常数（C）若)(zf与)(zf在D内解析，则)(zf在D内是一常数（D）若)(argzf在D内是一常数，则)(zf在D内是一常数9．设22)(iyxzf，则)1(if()（A）2（B）i2（C）i1（D）i2210．ii的主值为()（A）0（B）1（C）2e（D）2e11．ze在复平面上()（A）无可导点（B）有可导点，但不解析（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析12．设zzfsin)(，则下列命题中，不正确的是()（A）)(zf在复平面上处处解析（B）)(zf以2为周期（C）2)(izizeezf（D）)(zf是无界的13．设为任意实数，则1()（A）无定义（B）等于1（C）是复数，其实部等于1（D）是复数，其模等于114．下列数中，为实数的是()（A）3)1(i（B）icos（C）iln（D）ie2315．设是复数，则()（A）z在复平面上处处解析（B）z的模为z（C）z一般是多值函数（D）z的辐角为z的辐角的倍二、填空题1．设iff1)0(,1)0(，则zzfz1)(lim02．设ivuzf)(在区域D内是解析的，如果vu是实常数，那么)(zf在D内是3．导函数xvixuzf)(在区域D内解析的充要条件为4．设2233)(yixyxzf，则)2323(if5．若解析函数ivuzf)(的实部22yxu，那么)(zf6．函数)Re()Im()(zzzzf仅在点z处可导7．设zizzf)1(51)(5，则方程0)(zf的所有根为8．复数ii的模为9．)}43Im{ln(i10．方程01ze的全部解为三、设),(),()(yxivyxuzf为iyxz的解析函数，若记)2,2()2,2(),(izzzzivizzzzuzzw，则0zw．四、试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数1．;sinhsincoshcos)(yxiyxzf2．);sincos()sincos()(yixyyieyyyxezfxx五、设023zezww，求22,dzwddzdw.六、设0,00,)()(422zzyxiyxxyzf试证)(zf在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.七、已知22yxvu，试确定解析函数ivuzf)(.八、设s和n为平面向量，将s按逆时针方向旋转2即得n.如果ivuzf)(为解析函数，则有svnunvsu,（s与n分别表示沿s,n的方向导数）.九、若函数)(zf在上半平面内解析，试证函数)(zf在下半平面内解析.十、解方程iziz4cossin.第三章复变函数的积分一、选择题：1．设c为从原点沿xy2至i1的弧段，则cdziyx)(2()（A）i6561（B）i6561（C）i6561（D）i65612．设c为不经过点1与1的正向简单闭曲线，则dzzzzc2)1)(1(为()（A）2i（B）2i（C）0（D）(A)(B)(C)都有可能3．设1:1zc为负向，3:2zc正向，则dzzzccc212sin()（A）i2（B）0（C）i2（D）i44．设c为正向圆周2z，则dzzzc2)1(cos()（A）1sin（B）1sin（C）1sin2i（D）1sin2i5．设c为正向圆周21z，则dzzzzc23)1(21cos()（A）)1sin1cos3(2i（B）0（C）1cos6i（D）1sin2i6．设dzezf4)(，其中4z，则）if(()（A）i2（B）1（C）i2（D）17．设)(zf在单连通域B内处处解析且不为零，c为B内任何一条简单闭曲线，则积分dzzfzfzfzfc)()()(2)(()（A）于i2（B）等于i2（C）等于0（D）不能确定8．设c是从0到i21的直线段，则积分czdzze（）（A）21e(B)21e(C)ie21(D)ie219．设c为正向圆周0222xyx，则dzzzc1)4sin(2()（A）i22（B）i2（C）0（D）i2210．设c为正向圆周iaiz,1，则cdziazz2)(cos()（A）ie2（B）ei2（C）0（D）iicos11．设)(zf在区域D内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D．如果)(zf在c上的值为2，那么对c内任一点0z,)(0zf()（A）等于0（B）等于1（C）等于2（D）不能确定12．下列命题中，不正确的是()（A）积分razdzaz1的值与半径)0(rr的大小无关（B）2)(22cdziyx,其中c为连接i到i的线段（C）若在区域D内有)()(zgzf，则在D内)(zg存在且解析（D）若)(zf在10z内解析，且沿任何圆周)10(:rrzc的积分等于零，则)(zf在0z处解析13．设c为任意实常数，那么由调和函数22yxu确定的解析函数ivuzf)(是()(A)ciz2（B）iciz2（C）cz2（D）icz214．下列命题中，正确的是()（A）设21,vv在区域D内均为u的共轭调和函数，则必有21vv（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数（C）若ivuzf)(在区域D内解析，则xu为D内的调和函数（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数15．设),(yxv在区域D内为),(yxu的共轭调和函数，则下列函数中为D内解析函数的是()（A）),(),(yxiuyxv（B）),(),(yxiuyxv（C）),(),(yxivyxu（D）xvixu二、填空题1．设c为沿原点0z到点iz1的直线段，则cdzz22．设c为正向圆周14z，则cdz