抛物线-巩固练习(含解析)

-1-抛物线巩固练习1．以x＝1为准线的抛物线的标准方程为()A．y2＝2xB．y2＝－2xC．y2＝4xD．y2＝－4x解析：由准线x＝1知，抛物线的方程为y2＝－2px(p0)且p2＝1，得p＝2，所以所求抛物线的标准方程为y2＝－4x.答案：D2．已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－43B．－1C．－34D．－12解析：由已知得准线方程为x＝－2，所以点F的坐标为(2，0)．又A(－2，3)，所以直线AF的斜率为k＝3－0－2－2＝－34.答案：C3．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为()A.5B．22C．23D．33解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝3(x－1)．联立得方程组y＝3（x－1），y2＝4x，解得x＝13，y＝－233，或x＝3，y＝23.因为点M在x轴的上方，所以M(3，23)．因为MN⊥l，所以N(－1，23)．所以|NF|＝（1＋1）2＋（0－23）2＝4，|MF|＝|MN|＝（3＋1）2＋（23－23）2＝4.所以△MNF是边长为4的等边三角形．所以点M到直线NF的距离为23.故选C.-2-答案：C4．已知P为抛物线y＝12x2上的动点，点P在x轴上的射影为点M，点A的坐标是6，172，则|PA|＋|PM|的最小值是()A．8B.192C．10D.212解析：依题意可知焦点F的坐标为0，12，准线方程为y＝－12，延长PM交准线于H(图略)，则|PF|＝|PH|，|PM|＝|PF|－12，|PM|＋|PA|＝|PF|＋|PA|－12，因为|PF|＋|PA|≥|FA|，又|FA|＝62＋172－122＝10.所以|PM|＋|PA|≥10－12＝192.答案：B5．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM→·FN→＝()A．5B．6C．7D．8解析：由题意知直线MN的方程为y＝23(x＋2)，联立直线与抛物线的方程，得y＝23（x＋2），y2＝4x，解得x＝1，y＝2，或x＝4，y＝4.不妨设M为(1，2)，N为(4，4)．又因为抛物线焦点为F(1，0)，所以FM→＝(0，2)，FN→＝(3，4)．所以FM→·FN→＝0×3＋2×4＝8.故选D.答案：D6．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_______________．解析：Q(－2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，l与抛物线有公共点；当k≠0时，Δ＝64(1－k2)≥0得－1≤k0或0k≤1.综上，－1≤k≤1.-3-答案：[－1，1]7．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为____________________________________________．解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4，0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.答案：y2＝16x或x2＝－8y8．已知抛物线x2＝2py(p0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝2|PF|，则y0＝________．解析：作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝2|PF|，所以在直角三角形PKM中，sin∠PKM＝|PM||PK|＝|PF||PK|＝22，所以∠PKM＝45°，所以△PMK为等腰直角三角形，所以|PM|＝|MK|＝4，又知点P在抛物线x2＝2py(p0)上，所以py0＝8，y0＋p2＝4，解得p＝4，y0＝2.答案：29．已知抛物线C：y2＝2px(p0)的焦点为F，准线为l，点M，N分别在抛物线C上，且MF→＋3NF→＝0，直线MN交l于点P，NN′⊥l，垂足为N′.若△MN′P的面积为243，则F到l的距离为()A．4B．6C．8D．12解析：作出图形如下图，作MM′⊥l，垂足为M′，设|NF|＝m(m0)，则|NN′|＝m.由MF→＋3NF→＝0，得|MF|＝3m，则|MM′|＝3m，过点N作NG⊥MM′，垂足为G，则|M′G|＝m，|MG|＝2m，所以∠NMG＝60°，所以|MP|＝6m，|NP|＝2m，|N′P|＝3m，S△MN′P＝12|MM′|·|N′P|＝12×3m×3m＝243，所以m＝4.易知F为线段MP的中点，所以F到l的距离为p＝3m2＝6.答案：B10．(多选题)若抛物线y2＝2px(p0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程可能是()A．y2＝4xB．y2＝36xC．y2＝32xD．y2＝8x解析：因为抛物线y2＝2px(p0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P，则点P的坐标为(x0，±6)．因为点P到抛物线的焦点Fp2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x0＋p2＝-4-10.①因为点P在抛物线上，所以36＝2px0.②由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，则抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x.答案：AB11．已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x－4与x轴、y轴交于M，N两点，点A(2，－4)且AP→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ的最小值为________．解析：由题意得M(2，0)，N(0，－4)，设P(x，y)，由AP→＝λAM→＋μAN→得(x－2，y＋4)＝λ(0，4)＋μ(－2，0)，所以x－2＝－2μ，y＋4＝4λ.因此λ＋μ＝y＋44－x－22＝x24－x2＋2＝x2－122＋74≥74，故λ＋μ的最小值为74.答案：7412、在平面直角坐标系xOy中，双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：法一设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由抛物线定义可得|AF|＋|BF|＝yA＋p2＋yB＋p2＝4×p2⇒yA＋yB＝p，由x2a2－y2b2＝1，x2＝2py，可得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以yA＋yB＝2pb2a2＝p，解得a＝2b，故该双曲线的渐近线方程为y＝±22x.法二(点差法)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋p2，|BF|＝y2＋p2，|OF|＝p2，由|AF|＋|BF|＝y1＋p2＋y2＋p2＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.易知直线AB的斜率kAB＝y2－y1x2－x1＝x222p－x212px2－x1＝x2＋x12p.由x21a2－y21b2＝1，x22a2－y22b2＝1，得kAB＝y2－y1x2－x1＝b2（x1＋x2）a2（y1＋y2）＝b2a2·x1＋x2p，则b2a2·x1＋x2p＝x2＋x12p，所以b2a2＝12⇒ba＝22，-5-所以双曲线的渐近线方程为y＝±22x.答案：y＝±22x13、△ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2，2)，△ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为________________．解析：设B(x1，y1)，C(x2，y2)，边BC的中点为M(x0，y0)，易知G12，0，则x1＋x2＋23＝12，y1＋y2＋23＝0，从而x0＝x1＋x22＝－14，y0＝y1＋y22＝－1，即M－14，－1，又y21＝2x1，y22＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝y1－y2x1－x2＝2y1＋y2＝22y0＝1y0＝－1，故直线BC的方程为y－(－1)＝－x＋14，即x＋y＋54＝0.14、抛物线E：y2＝2x上存在两点关于直线y＝k(x－2)对称，则k的取值范围是________．解析：当k＝0时，显然成立．当k≠0时，设两对称点为B(x1，y1)，C(x2，y2)，BC的中点为M(x0，y0)，由y21＝2x1，y22＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝y1－y2x1－x2＝2y1＋y2＝22y0＝1y0，由对称性知kBC＝－1k，点M在直线y＝k(x－2)上，所以y0＝－k，y0＝k(x0－2)，所以x0＝1.由点M在抛物线内，得y202x0，即(－k)22，所以－2k2，且k≠0.综上，k的取值范围为(－2，2)．答案：(1)x＋y＋54＝0(2)(－2，2)15、已知双曲线x2－y22＝1，过点P(1，1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？解：假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1≠x2，由x21－y212＝1，x22－y222＝1，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－（y1＋y2）（y1－y2）2＝0，-6-又x1＋x22＝1，y1＋y22＝1，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0，所以kAB＝y1－y2x1－x2＝2，故直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.由y＝2x－1，x2－y22＝1，消去y得2x2－4x＋3＝0，因为Δ＝16－24＝－80，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．16、已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．解析：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F12，0，不妨设l1的斜率为k，则l1：y＝kx－12，l2：y＝－1kx－12.由y2＝2x，y＝kx－12消去y，得k2x2－(k2＋2)x＋k24＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1＋2k2.由抛物线的定义知，|AB|＝x1＋x2＋1＝1＋2k2＋1＝2＋2k2.同理可得，用－1k替换|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2，所以|AB|＋|DE|＝2＋2k2＋2＋2k2＝4＋2k2＋2k2≥4＋4＝8，当且仅当2k2＝2k2，即k＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.答案：817．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－p2，于是4＋p2＝5，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.(2)由(1)知点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)．-7-又因为F(1，0)，所以kFA＝43.因为MN⊥FA，所以kMN＝－34，所以FA的方程为y＝43(x－1)，①MN的方程为y＝－34x＋2，②由①②联立得x＝85，y＝45，所以点N的坐标为85，45.18．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝