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“一线三等角”模型在初中数学中的应用一、“一线三等角”模型的提炼例1、（2015年山东·德州卷）(1)问题：如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.(2)探究：如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.(3)应用：请利用(1)、(2)获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值.变式1(2012年烟台)(1)问题探究如图6，分别以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1．作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分别为点M、N．试探究线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证明．(2)拓展延伸1如图7，若将“问题探究”中的正方形改为正三角形，过点C作直线K1H1，K2H2，分别交直线AB于点H1、H2，使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1．作D1M⊥K1H1，D2N⊥K2H2，垂足分别为点M、N．D1M=D2N是否仍成立?若成立，给出证明;若不成立，说明理由．2如图8，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变．D1M=D2N是否仍成立?(要求:在图8中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证明)二、添加辅助线后运用基本图形例1、在△ABC中，AB=2，∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰Ｒt△ADE，点D在BC上，点E在AC上，若CE=5，求CD的长。例2、(2013年海淀区一模22题最后一问)如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行线，l1、l2之间的距离是21/5，l2、l3之间的距离是21/10，等边△ABC的三个顶点分别在l1、l2、l3上，求△ABC的边长．例3、 如图，在矩形纸片AＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＢＣ＝４，在ＡＢ边上取点Ｇ，现将纸片沿ＥＧ翻折，使点Ａ落在ＣＤ边上的点Ｆ处，当ＡＥ＝３时，求ＢＧ的长。三、应用举例1、等腰三角形底边上的一线三等角例1、如图5，在三角形ABC中，AB=AC,D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B.(1)如图5，当射线DN经过A时，DM交AC边于点E,不添加辅助线，写出图中所有与三角形ADE相似的三角形。(2)如图6，将∠MDN绕点D逆时针方向旋转，DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点，（E和A点不重合），不添加辅助线，写出图中所有相似的三角形，并证明。(3)在图6中，若AB=AC=10，BC=12，当三角形DEF的面积等于三角形面积的1/4时，求线段EF的长。例2、如图8，在Rt⊿ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，现取一块等腰直角三角板，将45°角的顶点放在BC中点O处，三角板的直角边与线段AB、AC分别交于点E、F，设BE=x，CF=y，∠BOE=α(45°≤α≤90°)．(1)试求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围;(2)试判断∠BEO与∠OEF的大小关系?并说明理由;(3)在三角板绕O点旋转的过程中，⊿OEF能否成为等腰三角形?若能，求出对应x的值;若不能，请说明理由．【例3】（2012四川·成都卷）如图，△ABC和△DEF两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=9a/2时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）6、（东城一模24.）等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.2、四边形中的一线三等角例1、如图，正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，设BM的长为xcm，CN的长为ycm.求点M在BC上的运动过程中y的最大值例2例3、如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=42，∠B=45°，点E、F分别在边BC、CD上移动，且∠AEF=45°，则点E移动过程中，线段AF长的最小值是（）例4．如图,在梯形中，，，，点分别在线段上（点与点不重合），且，设，．⑴ 求与的函数表达式；ＡＥＤＦＣＢＡＥＤＦＣＢ⑵ 当为何值时，有最大值，最大值是多少？例4、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，，CA=CD，E、F分别是线段AD、AC上的动点（点E与点A、D不重合），且∠FEC=∠ACB，设DE=x，CF=y.（1）求AC和AD的长；（2）求y与x的函数关系式；（3）当△EFC为等腰三角形时，求x的值.Image3、函数问题中的一线三等角．例1、在直角坐标系中，点A是抛物线y=x2在第二象限上的点，连结OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．如图，当点A的横坐标为－1/2时，求点B的坐标．例2、如图，已知直线y=kx与抛物线y=－4/27x2+22/3交于点A(3，6)．若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上(与点O、A不重合)，点D(m，0)是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．试探究:m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个?