一.选择题(共6小题)1.如图,O是△ABC的两条垂直平分线的交点,∠BAC=70°,则∠BOC=()A.120°B.125°C.130°D.140°2.如图,等边△ABC中,点D、E分别为BC、CA上的两点,且BD=CE,连接AD、BE交于F点,则∠FAE+∠AEF的度数是()A.60°B.110°C.120°D.135°3.如图,等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90°,点D为BC边的中点,E、F分别在AB、AC上,且ED⊥FD,EG⊥BC于G点,FH⊥BC于H点,下列结论:①DE=DF;②AE+AF=AB;③S四边形AEDF=S△ABC;④EG+FH=BC.其中正确结论的序号是()A.只有②③B.只有①②C.只有①②③D.①②③④4.如图所示,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于R点,PS⊥AC于S点,PR=PS,则四个结论:①点P在∠A的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP,正确的结论是()A.①②③④B.只有①②,C.只有②③D.只有①③5.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.则下列结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP.其中正确的是()A.只有①②④B.只有①②③C.只有②③④D.只有①③④6.如图,∠ABC,∠ACB的平分线相交于F,过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,连接AF,那么下列结论正确的是()①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②∠BFC=90°+∠BAC;③△ADE的周长为AB+AC;④AF平分∠BAC.A.①③④B.①②C.①②③④D.②③④二.填空题(共2小题)7.如图,∠BAC=30°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF∥AB,已知AF=4cm,则DE=_________.8.如图,D为等边三角形ABC内一点,AD=BD,BP=AB,∠DBP=∠DBC,则∠BPD=_________度.三.解答题(共10小题)9.如图,已知点P是⊙O外一点,PS,PT是⊙O的两条切线,过点P作⊙O的割线PAB,交⊙O于A、B两点,并交ST于点C.求证:.10.在△ABC中,点P为BC的中点.(1)如图1,求证:AP<(AB+AC);(2)延长AB到D,使得BD=AC,延长AC到E,使得CE=AB,连接DE.①如图2,连接BE,若∠BAC=60°,请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系.写出你的结论,并加以证明;②请在图3中证明:BC≥DE.11.如图,在四边形ABCD中,已知∠BAD=60°,∠ABC=90°,∠BCD=120°,对角线AC,BD交于点S,且DS=2SB,P为AC的中点.求证:(1)∠PBD=30°;(2)AD=DC.12.如图,△ABC是等腰三角形,D,E分别是腰AB及AC延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底BC于G.求证GD=GE.13.如图,△ABC中,BD⊥AC于点D,点F为BC边上的中点,点E在AB边上,若EF=DF,判断CE与AB的位置关系,并说明理由.14.如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=CB,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且始终保持AD=CE.连接DE、DF、EF.(1)求证:△ADF≌△CEF(2)试证明△DFE是等腰直角三角形.15.如图,AB=AC,E在线段AC上,D在AB的延长线上,且有BD=CE,连DE交BC于F,过E作EG⊥BC于G,求证:FG=BF+CG.16.如图,△ABC是等边三角形,D是三角形外一动点,满足∠ADB=60°,(1)当D点在AC的垂直平分线上时,求证:DA+DC=DB;(2)当D点不在AC的垂直平分线上时,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理由;(3)当D点在如图的位置时,直接写出DA,DC,DB的数量关系,不必证明.17.已知,在△ABC中,CA=CB,CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上,M、N分别在直线AC、BC上,∠MON=∠A=45°(1)如图1,若点M、N分别在边AC、BC上,求证:CN+MN=AM;(2)如图2,若点M在边AC上,点N在BC边的延长线上,试猜想CN、MN、AM之间的数量关系,请写出你的结论(不要求证明).18.已知,如图,BD是△ABC的角平分线,AB=AC,(1)若BC=AB+AD,请你猜想∠A的度数,并证明;(2)若BC=BA+CD,求∠A的度数?(3)若∠A=100°,求证:BC=BD+DA.一.选择题(共6小题)1.如图,O是△ABC的两条垂直平分线的交点,∠BAC=70°,则∠BOC=()A.120°B.125°C.130°D.140°考点:线段垂直平分线的性质。767691专题:计算题。分析:根据线段垂直平分线性质,OA=OB=OC.根据等腰三角形性质和三角形内角和定理,先求出∠OBC+∠OCB,再求∠BOC.解答:解:∵O是△ABC的两条垂直平分线的交点,∴OA=OB=OC,∴∠OAB=∠OBA,∠OAC=∠OCA,∠OBC=∠OCB.∵∠BAC=70°,∴∠OBA+∠OCA=70°,∠OBC+∠OCB=40°.∴∠BOC=180°﹣40°=140°.故选D.点评:此题考查了线段垂直平分线性质、等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识点,渗透了整体求值的思想方法,难度不大.2.如图,等边△ABC中,点D、E分别为BC、CA上的两点,且BD=CE,连接AD、BE交于F点,则∠FAE+∠AEF的度数是()A.60°B.110°C.120°D.135°考点:等边三角形的性质。767691专几题:何图形问题。分析:∠FAE+∠AEF可转化为∠FAE+∠EBC+∠C,由∠EBC=∠BAD,所以又可转化为∠FAE+∠BAD+∠C,进而可求解.解答:解:在等边△ABC中,∴∠ABC=∠C=60°,AB=BC,又BD=CE,∴△ABD≌△BCE,∴∠BAD=∠CBE,∠FAE+∠AEF=∠FAE+∠EBC+∠C=∠FAE+∠BAD+∠C=60°+60°=120°,故选C.点评:题中重点在于由∠BAD=∠CBE而得∠FAE+∠EBC+∠C=∠FAE+∠BAD+∠C的过程,即角的转化.3.如图,等腰Rt△ABC中,AB=AC,∠A=90°,点D为BC边的中点,E、F分别在AB、AC上,且ED⊥FD,EG⊥BC于G点,FH⊥BC于H点,下列结论:①DE=DF;②AE+AF=AB;③S四边形AEDF=S△ABC;④EG+FH=BC.其中正确结论的序号是()A.只有②③B.只有①②C.只有①②③D.①②③④考点:等腰三角形的性质;全等三角形的判定与性质。767691分析:考查直角三角形及等腰三角形的性质及判定问题,利用全等三角形判断线段相等,例如在①中,可求解Rt△EGD≌Rt△DHF,同样后面几问也都可用全等解答.解答:解:如图所示,∵DE⊥DF,∴∠EDG+∠FDH=90°∵∠EDG+∠GED=90°∴∠GED=∠FDH,∴Rt△EGD≌Rt△DHF,∴DE=DF,①正确;连接AD,由①得,DE=DF,∵DC=AD,∠FDC=∠ADE,∴可证△AED≌△CFD,∴FC=AE,∴AE+AF=AB,②正确,∵BE=AF,∠CAD=∠B=45°,AD为公共边,∴△ADF≌△DEB,又△AED≌△CFD,∴③也正确,④中由①得GD=FH,又∠B=45°∴BG=EG,EG+FH=BC,④正确∴①②③④都正确,故选D.点评:熟练掌握等腰三角形及直角三角形的性质,能够通过全等求角相等,线段相等.4.如图所示,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于R点,PS⊥AC于S点,PR=PS,则四个结论:①点P在∠A的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;④△BRP≌△QSP,正确的结论是()A.①②③④B.只有①②,C.只有②③D.只有①③考点:等边三角形的性质;全等三角形的判定与性质。767691分析:考查等边三角形的性质,在等边三角形中,角平分线即为中线,也为垂线,然后再利用全等,角相等进行判断.解答:解:∵△ABC是等边三角形,PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,∴P在∠A的平分线上,∴①正确;由①可知,PB=PC,∠B=∠C,PS=PR,∴△BPR≌△CPS,∴AS=AR,②正确;∵AQ=PQ,∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC,∴PQ∥AR,③正确;由③得,△PQC是等边三角形,∴△PQS≌△PCS,又由②可知,④△BRP≌△QSP,④也正确∵①②③④都正确,故选A.点评:熟练掌握等边三角形的性质.5.如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.则下列结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP.其中正确的是()A.只有①②④B.只有①②③C.只有②③④D.只有①③④考点:全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质。767691专题:动点型。分析:利用三角形全等,得到结论,利用排除法即可求解.解答:解:∵等边△ABC和等边△CDE,∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,∴△ACD≌△BCE(SAS),∴AD=BE①成立,排除C,由(1)中的全等得∠CBE=∠DAC,又∠ACB=∠DCE=60°,∴∠BCD=60°,即∠ACP=∠BCQ,又AC=BC,∴△CQB≌△CPA(ASA),∴CP=CQ,又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形,∴∠PQC=∠DCE=60°,∴PQ∥AE②成立,排除D,由△CQB≌△CPA得AP=BQ③成立,排除A.故选B.点评:作为选择题出现,应掌握这类型题基本的做题思路,判断出两对三角形全等,中间的三角形为等边三角形等.6.如图,∠ABC,∠ACB的平分线相交于F,过点F作DE∥BC,交AB于D,交AC于E,连接AF,那么下列结论正确的是()①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②∠BFC=90°+∠BAC;③△ADE的周长为AB+AC;④AF平分∠BAC.A.①③④B.①②C.①②③④D.②③④考点:等腰三角形的性质;三角形内角和定理;角平分线的性质。767691分析:①根据平分线的性质、平行线的性质,借助于等量代换可求出∠DBF=∠DFB,即△BDF是等腰三角形,同理△CEF都是等腰三角形;②利用两次三角形的内角和,以及平分线的性质,进行等量代换,可求的∠BFC和∠BAC之间的关系式;③由①可得△ADE的周长为AB+AC;④三角形的三条角平分线交于一点,可知AF平分∠BAC.解答:解:①∵BF是∠ABC的角平分线,∴∠ABF=∠CBF,又∵DE∥BC,∴∠CBF=∠DFB,∴DB=DF即△BDF是等腰三角形,同理∠ECF=∠EFC,∴EF=EC,∴△BDF,△CEF都是等腰三角形;②在△ABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°﹣﹣﹣﹣﹣(1)在△BFC中∠CFB+∠FBC+∠FCB=180°即∠CFB+∠ABC+∠ACB=180°﹣﹣﹣﹣(2)(2)×2﹣(1)得②∠BFC=90°+∠BAC;③∵①△BDF,△CEF都是等腰三角形∴BD=DF,EF=EC,△ADE的周长=AD+DF+EF+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC;④∵F是∠ABC,∠ACB的平分线的交点∴第三条平分线必过其点,即AF平分∠BAC.故选C.点评:本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质,以及三角形内角和定理解答,涉及面较广,需同学们仔细解答.二.填空题(共2小题)7.如图,∠BAC=30°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF∥AB,已知AF=4cm,则DE=2cm.考点:全等三角形的判定与性质;平行线的性质;角平分线的性质;等腰三角形的判定。767691专题:计算题。分析:由角平分线的定义和平行线的性质易得DF=AF=4m,∠