第三章--投影变换——换面法

三、换面法的四个基本作图四、应用及举例一、投影变换及换面法的基本概念二、点的换面作图规则返回第三章投影变换——换面法a’abb’两点之间距离a’abb’c’c三角形实形a’abb’c’cdd’直线与平面的交点求解距离、夹角、实形、交点的最佳投影分析a’b’c’d’abcd两平面夹角返回第一节概述XOabba实长特殊位置的直线：可直接反映实长、倾角问题XOa(b)ab实长XObaac实形bcXObacbc特殊位置的平面：可直接反映实形、倾角问题正平面正垂面特殊位置的几何元素：可直接反映度量、定位问题efefa(b)badc(d)c距离mcababcm点到直线的距离一、基本概念改变空间几何元素与投影面的相对位置，使它们相互之间处于某一特殊位置的情况，从而使问题简化、得到解决——投影变换。二、投影变换的方法1.辅助投影面法（换面法）2.旋转法一.换面法的基本概念a1'c1'b1'V1c1'b1'a1'X1X1换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。V/H体系变为V1/H体系旧面新面不变面旧轴新轴返回1.点的一次变换X1V1a1'返回二、点的换面及规律a22.点的两次变换a2返回新不变旧旧新不变X2V1H2新与旧是相对的水平书写好X2a'1.把一般位置直线变为投影面平行线2.把一般位置直线变为投影面垂直线3.把一般位置平面变为投影面垂直面4.把一般位置平面变为投影面平行面三、换面法的四个基本作图返回VHABabab1.把一般位置直线变换成投影面平行线用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。X1HP1P1a1b1空间分析：换H面行吗？不行！作图：例：求直线AB的实长及与H面的夹角。ababXVH新投影轴的位置？a1●b1●与ab平行。.a1●b1●VHaaXBbbA2.把一般位置直线变换成投影面垂直线空间分析：ababXVHX1H1P1作图：X1P1a1b1X2P2二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。X2轴的位置？a2b2ax2a2b2.与a1b1垂直一次换面把直线变成投影面平行线；例1已知等腰三角形ABC的底边为AB，试用换面法求出等腰三角形ABC的正面投影。a'b'XVHcabb1'c1'a1'c'ee1´功用：可求解平面与投影面的倾角，点与平面的距离，两平行面间的距离等。3.把一般位置平面变换成投影面垂直面问题的关键：在平面上作一条投影面平行线，新轴必须垂直与该平行线反映实长的那个投影。abcabcdVHABCDXd3.把一般位置平面变换成投影面垂直面如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。P1X1c1b1a1d1空间分析：在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？能否只进行一次变换？作图方法：思考：若变换H面，需在面内取什么位置直线？正平线！αabcacbXVH例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。HP1X1作图过程：★在平面内取一条水平线AD。dd★将AD变换成新投影面的垂直线。b1●a1d1●c1●反映平面对哪个投影面的夹角？.a1b1●一次换面,把一般位置平面变换成新投影面的垂直面；二次换面，再变换成新投影面的平行面。4.把一般位置平面变换成投影面平行面abacbXVHc作图：AB是水平线空间分析：a2●c2●b2●c1●X2轴的位置？平面的实形.X1HP1.与其平行例：用换面法求出△ABC平面的实际形状。作图分析：由于△ABC平面为一铅垂面，则O1X1轴应平行于平面的积聚性投影。作图过程如图所示：例3已知直线AB与CDE平面平行，且相距20mm，求直线AB的水平投影。XVHedcd'e'c'a'b'a1b1c1e1d1bab1距离dd1X1HP1X2P1P2c2d例4：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。ccbaabXVH如下图：当直线AB垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反映实长。APBDCcabd作图:求C点到直线AB的距离，就是求垂线CD的实长。空间及投影分析：c1a1a2b2d2过c1作线平行于x2轴。...baabcd●c例5：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB为水平线，求CD及MN的投影。MN●m●d●a1≡b1≡m1●n1●c1●d1●n空间及投影分析：VHXHP1X1圆半径=MN●n●m当直线AB垂直于投影面时，MN平行于投影面，这时它的投影m1n1=MN,且m1n1⊥c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作图：请注意各点的投影如何返回？..cdbadacb●d1●c1●a1●d2●b1c2●●a2≡b2θVHXθ例6：求平面ABC和ABD的夹角。空间及投影分析：由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交时所得两交线之间的夹角。在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。..例7:求两交叉直线的公垂线.b1'距离dd1'X1HV1X2V1H2c2d例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。ccbaabXVH四、换面法的应用如下图：当直线AB垂直于投影面时，CD平行于投影面，其投影反映实长。APBDCcabd作图:求C点到直线AB的距离，就是求垂线CD的实长。空间及投影分析：c1'a1'a2b2d2过c1作线平行于x2轴。...如何确定d1点的位置？a2b2d2c2d1'c1'11'21'21b'2'1'1222例2.求两直线AB与CD的公垂线。X2V1H2返回空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。例3:过C点作直线CD与AB相交成60º角。dX1HV1X2V1H2abacbXVHc作图：c2●●●c1'●a'1b'1●a2●d2●d●b2●几个解？两个解！已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。（用基本法和换面法分别求解）思考：如何解？解法相同！60°D点的投影如何返回？..例4已知E点在平面ABC上，距离A、B为15，求点E的投影。dda2c2b2d215eee1e2小结本章主要介绍了投影变换的一种常用方法——换面法。一、换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。二、换面法的关键是要注意新投影面的选择条件，即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系，同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规律继续有效。三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。换面法的四个基本问题：2.把一般位置直线变成投影面垂直线1.把一般位置直线变成投影面平行线3.把一般位置平面变成投影面垂直面4.把一般位置平面变成投影面平行面变换一次投影面变换一次投影面变换两次投影面变换两次投影面需先在面内作一条投影面平行线四、解题时一般要注意下面几个问题：⒈分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几何元素（点、线、面等）。⒉根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确的解题思路与方法。⒊在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变换前后的关系，既要在新投影体系中正确无误地求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。4.涉及直线与平面垂直、两平面垂直问题，不要求掌握，可以自学。看书：P41~P47作业：3－4、8、9、10、11、12铅垂面ABC在V/H投影面上均不反映实形，如何求ABC实形？使ABC绕轴旋转到与V面平行的位置，则ABC1在V面的投影反映实形。3.3旋转法3.3.1问题的提出c1’c1C1b’a’c’a(b)cABCOOo’o’实形返回旋转法3.3.1问题的提出3.3.2旋转法的概念3.3.3绕垂直轴旋转3.3.4绕垂直轴一次旋转可解决四种作图问题3.3.5绕垂直轴二次旋转结束旋转法是保持投影面不动，将几何元素绕某一轴旋转，使它对投影面处于有利于解题的位置。旋转法五要素：O1OOAP3.3.2旋转法的概念旋转平面P、旋转轴OO、旋转中心O1旋转半径R、旋转点AR返回旋转法3.3.1问题的提出3.3.2旋转法的概念3.3.3绕垂直轴旋转3.3.4绕垂直轴一次旋转可解决四种作图问题3.3.5绕垂直轴二次旋转结束1、点的旋转规律：点A绕铅垂轴旋转；3.3.3绕垂直轴旋转a1’a1oo’aa’a1a1’aa’o返回旋转法3.3.1问题的提出3.3.2旋转法的概念3.3.3绕垂直轴旋转3.3.4绕垂直轴一次旋转可解决四种作图问题3.3.5绕垂直轴二次旋转结束投影规律：点的一个投影在垂直于旋转轴的投影面上作圆周运动，在另一投影面上的投影作与投影轴平行的直线运动。点A绕正垂轴旋转返回旋转法3.3.1问题的提出3.3.2旋转法的概念3.3.3绕垂直轴旋转3.3.4绕垂直轴一次旋转可解决四种作图问题3.3.5绕垂直轴二次旋转结束2、直线的旋转规律：直线绕某轴旋转一角度时，只要使该直线上的两个点绕同一轴，沿相同方向，旋转同一角度，然后把旋转后的两个点连接起来，即为该直线的新投影。当一直线绕铅垂轴旋转时，其水平投影长度保持不变。直线对H面的倾角不变。当一直线绕正垂轴旋转时，其正面投影长度保持不变。直线对V面的倾角不变。00RR返回旋转法3.3.1问题的提出3.3.2旋转法的概念3.3.3绕垂直轴旋转3.3.4绕垂直轴一次旋转可解决四种作图问题3.3.5绕垂直轴二次旋转结束3、平面的旋转规律：当一平面图形绕铅垂轴旋转时，其水平投影的大小和形状保持不变，该平面对H面的倾角的大小不变。当一平面图形绕正垂轴旋转时，其正面投影的大小和形状保持不变，该平面对V面的倾角的大小不变。返回旋转法3.3.1问题的提出3.3.2旋转法的概念3.3.3绕垂直轴旋转3.3.4绕垂直轴一次旋转可解决四种作图问题3.3.5绕垂直轴二次旋转结束3.3.4绕垂直轴一次旋转可解决四种作图问题1、将一般位置直线旋转成投影面平行线；(a)旋转成正平线选铅垂线为旋转轴(b)旋转成水平线选正垂线为旋转轴返回旋转法3.3.1问题的提出3.3.2旋转法的概念3.3.3绕垂直轴旋转3.3.4绕垂直轴一次旋转可解决四种作图问题3.3.5绕垂直轴二次旋转结束2、将投影面平行线旋转成投影面垂直线旋转正平线成铅垂线旋转水平线成正垂线返回旋转法3.3.1问题的提出3.3.2旋转法的概念3.3.3绕垂直轴旋转3.3.4绕垂直轴一次旋转可解决四种作图问题3.3.5绕垂直轴二次旋转结束3、将投影面垂直面旋转成投影面平行面将正垂面旋转成水平面将铅垂面旋转成正平面返回旋转法3.3.1问题的提出3.3.2旋转法的概念3.3.3绕垂直轴旋转3.3.4绕垂直轴一次旋转可解决四种作图问题3.3.5绕垂直轴二次旋转结束4、将一般位置平面旋转成投影面垂直面1)作一般位置平面上投影面平行线；2）将该投影面平行线旋转成投影面垂直线；3）以同轴、同方向、同角度将一般位置平面旋转为投影面垂直面。返回旋转法3.3.1问题的提出3.3.2旋转法的概念3.3.3绕垂直轴旋转3.3.4绕垂直轴一次旋转可解决四种作图问题3.3.5绕垂直轴二次旋转结束3.3.5绕垂直轴二次旋转（解决两种基本作图问题）旋转成铅垂线旋转成正垂线作图步骤：先将一般位置直线旋转成投影面平行线；再将平行线旋转成投影面垂直线。1、将一般位置直线旋转成投影面垂直线返回旋转法3.3.1问题的提出3.3.2旋转法的概念3.3.3绕垂直轴旋转3.3.4绕垂直轴一次旋转可解决四种作图