2020年中考数学压轴题-专题27-几何证明综合复习(判定四边形形状-矩形)(解析版)

专题27几何证明综合复习（判定四边形形状-矩形）教学重难点1.培养学生通过探索和证明，发展推理意识和能力2.通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，并掌握规范表达的格式；了解证明之前进行分析的基本思路；3.体会用“分析综合法”探求解题思路；4.学习添置辅助线的基本方法，会添置常见的辅助线；5.会用文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言进行证明说理。【说明】：本部分为知识点方法总结性梳理，目的在于让学生能从题目条件和所证明结论，去寻找证明思路，用时大概5-8分钟左右。【知识点、方法总结】：中考几何题证明思路总结几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的因为、所以逻辑将条件一步步转化为所要证明的结论。这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出固定题型的固定解法，而更看重的是对重要模型的总结、常见思路的总结。所以本文对中考中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。一、证明两线段相等1.两全等三角形中对应边相等。2.同一三角形中等角对等边。3.等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4.平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。5.直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。6.线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。7.角平分线上任一点到角的两边距离相等。8.过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。9.同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。10.两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。11.等于同一线段的两条线段相等。二、证明两角相等1.两全等三角形的对应角相等。2.同一三角形中等边对等角。3.等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。4.两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。5.同角（或等角）的余角（或补角）相等。6.同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等；7.相似三角形的对应角相等；8.等于同一角的两个角相等。三、证明两直线平行1.垂直于同一直线的各直线平行。2.同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3.平行四边形的对边平行。4.三角形的中位线平行于第三边。5.梯形的中位线平行于两底。6.平行于同一直线的两直线平行。7.一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这条直线平行于第三边。四、证明两直线互相垂直1.等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂直于底边。2.三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3.在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4.邻补角的平分线互相垂直。5.一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6.两条直线相交成直角则两直线垂直。7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的对角线互相垂直。10.在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。11.利用半圆上的圆周角是直角。五、证明线段的和、差、倍、分1.作两条线段的和，证明与第三条线段相等。2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3.延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4.取长线段的中点，再证其一半等于短线段。5.利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等）。六、证明角的和、差、倍、分1.作两个角的和，证明与第三角相等。2.作两个角的差，证明余下部分等于第三角。3.利用角平分线的定义。4.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。七、证明两线段不等1.同一三角形中，大角对大边。2.垂线段最短。3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。5.同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。八、证明两角不等1.同一三角形中，大边对大角。2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。3.在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。4.同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。九、证明比例式或等积式1.利用相似三角形对应线段成比例。2.利用内外角平分线定理。3.平行线截线段成比例。4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。5.与圆有关的比例定理--相交弦定理、切割线定理及其推论。6.利用比利式或等积式化得。以上九项是中考几何证明题中最常出现的内容，只要掌握了对应的方法，再根据题目中的条件进行合理选择，攻克难题不再是梦想！1.（2018•金山区二模）如图，已知AD是ABC的中线，M是AD的中点，过A点作//AEBC，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）如果3ACAF，求证四边形AEBD是矩形．【整体分析】（1）先判定AEMDCM，可得AECD，再根据AD是ABC的中线，即可得到ADCDBD，依据//AEBD，即可得出四边形AEBD是平行四边形；（2）先判定AEFBCF∽，即可得到3ABAF，依据3ACAF，可得ABAC，根据AD是ABC的中线，可得ADBC，进而得出四边形AEBD是矩形．【满分解答】证明：（1）M是AD的中点，AMDM，//AEBC，AEMDCM，又AMEDMC，AEMDCM，AECD，又AD是ABC的中线，ADCDBD，又//AEBD，四边形AEBD是平行四边形；（2）//AEBC，AEFBCF∽，12AFAEBFBC，即2BFAF，3ABAF，又3ACAF，ABAC，又AD是ABC的中线，ADBC，又四边形AEBD是平行四边形，四边形AEBD是矩形．2.（2019•普陀区二模）如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，顺次连接ABCD各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①ACBD；②ABOCBOCC；③DAOCBO；④DAOBAO，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个【整体分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．【满分解答】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①ACBD，新的四边形成为矩形，符合条件；②四边形ABCD是平行四边形，AOOC，BODO．ABOCBOCC，ABBC．根据等腰三角形的性质可知BOAC，BDAC．所以新的四边形成为矩形，符合条件；③四边形ABCD是平行四边形，CBOADO．DAOCBO，ADODAO．AOOD．ACBD，四边形ABCD是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④DAOBAO，BODO，AOBD，即平行四边形ABCD的对角线互相垂直，新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：C．3.（2018•上海）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1)，那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该图形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是矩形的宽的23，那么矩形的宽的值是．【整体分析】先根据要求画图，设矩形的宽AFx，则23CFx，根据勾股定理列方程可得结论．【满分解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC，设AFx，则23CFx，在RtCBF中，1CB，1BFx，由勾股定理得：222BCBFCF，22221(1)()3xx，解得：1813x或0（舍)，即它的宽的值是1813，故答案为：1813．4.（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是()A．ABB．ACC．ACBDD．ABBC【整体分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【满分解答】解：A、AB，180AB，所以90AB，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；B、AC不能判定这个平行四边形为矩形，错误；C、ACBD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；D、ABBC，所以90B，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；故选：B．5.已知：如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、BC的中点，点F、G是边AC的三等分点，DF、EG的延长线相交于点H。求证：（1）四边形FBGH是平行四边形；（2）四边形ABCH是平行四边形。【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题一.寻找题目中的已知量和特殊条件：1.边的关系：ADDB、BEEC、AFFGGC二.证明四边形FBGH是平行四边形：用边之比证明DF//BG和GH//BF可得。三.证明四边形ABCH是平行四边形：联结BH，交FG于点O；证明OB=OH和OA=OC可得。【满分解答】证明：（1）∵点F、G是边AC的三等分点，∴F、G分别是AG、CF的中点，∵点D是AB的中点，∴DF//BG，即FH//BG．同理：GH//BF．∴四边形FBGH是平行四边形．（2）联结BH，交FG于点O，∵四边形FBGH是平行四边形，∴OB=OH，OF=OG．∵AF=CG，∴OA=OC．∴四边形ABCH是平行四边形．6.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连结BF。（1）求证：BD=CD；（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论。【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题一.寻找题目中的已知量和特殊条件：1.边的关系：AEED，AFBC∥，AF=BD。二.求证BD=CD：证明△AEF≌△DEC得到AFCD即可。三.判断四边形AFBD的形状：1.由AFBD，四边形是平行四边形；2.结合AB=AC得，则四边形是矩形。【满分解答】证明：（1），是的中点，．又∵∠AEF=∠DEC，∴△AEF≌△DEC（2）四边形是矩形，是的中点，，四边形是平行四边形又四边形是矩形AFBC∥AFBD90ADB∠AFBDAFBC∥AFEDCE∠∠EADAEDEAFDCAFBDBDCDAFBDABACDBCADBC90ADB∠AFBDAFBC∥AFBD90ADB∠AFBD7.如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF。（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形。【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题一.寻找题目中的已知量和特殊条件：1.边的关系：AE=CG，AH=CF。二.求证四边形EFGH是平行四边形：1.由△AEH≌△CGF得EHGF，由△BEF≌△DGH得GHEF；2.所以四边形EFGH是平行四边形。三.证明四边形EFGH是矩形：利用角度关系证明∠EHG=180DHG∠AHE90可得。【满分解答】证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．∴EHGF．在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴ABAECDCG，ADAHBCCF，即BEDG，DHBF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．∴GHEF．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）解法一：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设A，则180D．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=1809022