求二面角平面角的方法

第1页共14页OABOABl寻找二面角的平面角的方法二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型．1.1二面角的相关概念新教材]1[在二面角中给出的定义如下：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.定义只给出二面角的定性描述，关于二面角的定量刻画还必须放到二面角的平面角中去研究.教材如下给出了二面角的平面角的概念：二面角的平面角是指在二面角l的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线lBOlAO,，则AOB为二面角l的平面角.2.二面角的求解方法对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍：一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角三、“算”：计算出该平面角由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍.2.1定位二面角的平面角，求解二面角二面角常见题型中根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角.对于前者的二面角的定位通常采用找点、连线或平移等手段来定位出二面角的平面角；而对于无棱二面角我们还必须通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其有“无棱”而“现棱”再进一步定位二面角的平面角.一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1在60的二面角--a的两个面内，分别有A和B两点．已知A和B到棱的距离分别为2和4，且线段10AB，试求：（1）直线AB与棱a所构成的角的正弦值；（2）直线AB与平面所构成的角的正弦值．分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出60角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．根据题意，在平面内作aAD；在平面内作BE，EBCD//，连结BC、AC．可以证明aCD，则由二面角的平面角的定义，可知ADC为二面角--a的平面角．以下求解略．例1正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的大小为.例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC图1第2页共14页中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连接A1B、A1P.(Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的余弦值tan∠COC1=2分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP的中点Q，连接EQ，则在正三角形ABC中，很容易证得△BEQ≌△PEQ≌△PEF≌△AEF，那么在图2(2)中，有A1Q=A1F.作FM⊥A1P于M，连接QH、QF，则易得△A1QP≌△A1FP，△QMP≌△FMP，所以∠PMQ=∠PMF=90o，∠QMF为二面角B-A1P-F的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A1P=5，QM=FM=552，在△QMF中，由余弦定理得cos∠QMF=87。2011广东高考理18.(本小题满分13分)如图5.在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，2PAPD,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.(1)证明：AD平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.解：(2)由（1）知PGB为二面角PADB的平面角，在RtPGA中，222172()24PG；在RtBGA中，222131()24BG；在PGB中，22221cos27PGBGPBPGBPGBG.例2在如图3所示的三棱锥P-ABC中，AB=AC=PB=PC=2,BC=22,PA=2.求二面角P-BC-A的大小.解：作BC中点D，连接PD,AD.因PB=PC=AB=AC，知PDBC,ADBC,又有面PBC与面ABC共棱可得∠PDA为二面角.P-BC-A的平面角.而AB=2,BC=22,易知AD=PD=2,在RT∆PAD中，212cos222ADPDPAADPDPDA所以二面角P-BC-A的大小为60.二、根据三垂线定理找出二面角的平面角此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角l，过面内一点P作PA⊥于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB⊥l，则∠PBA为二面角l的平面角，故称此法为三垂线法.MAFA1QPBCECBPEF图2(2)图2(1)QA图3PBlPAＳBＳCＳDＳFGPAＳBＳCＳDＳFEPBADC图3第3页共14页图4B1AA1BlEF例2如图，在平面内有一条直线AC与平面成30，AC与棱BD成45，求平面与平面的二面角的大小．分析：找二面角的平面角，可过A作BDAF；AE平面，连结FE．由三垂线定理可证EFBD，则AFE为二面角的平面角．总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作BDAF”、“连结EF”、“证明BDEF”．例3(2006年陕西试题)如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：(Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A1－AB－B1的大小.分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.作A1E⊥AB1于AB1于E，则可证A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B=2，A1B=3，A1E=22，A1F=23，则在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=A1EA1F=63例2．(2009山东卷理)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分别是棱AD、AA1、AB的中点。（1）证明：直线EE1//平面FCC1；（2）求二面角B-FC1-C的余弦值。证（1）略解（2）因为AB=4,BC=CD=2,、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC1-C的一个平面角,在△BCF为正三角形中,3OB,在Rt△CC1F中,△OPF∽△CC1F,∵11OPOFCCCF∴22122222OP,在Rt△OPF中,22114322BPOPOB,EABCFE1A1B1C1D1DF1OPEABCFE1A1B1C1D1D第4页共14页272cos7142OPOPBBP,所以二面角B-FC1-C的余弦值为77.练习2（2008天津）如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形．已知60,22,2,2,3PABPDPAADAB．（Ⅰ）证明AD平面PAB；（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角ABDP的大小．分析：本题是一道典型的利用三垂线定理求二面角问题，在证明AD⊥平面PAB后，容易发现平面PAB⊥平面ABCD，点P就是二面角P-BD-A的半平面上的一个点，于是可过点P作棱BD的垂线，再作平面ABCD的垂线，于是可形成三垂线定理中的斜线与射影内容，从而可得本解法。（答案：二面角ABDP的大小为439arctan）例3在正方体1111DCBAABCD中，1O为面1111DCBA中心，求二面角111DACO的大小.解：在正方体1111DCBAABCD中1111CADB,且1111DBCA,11DB面1111DCBA,故11DB1AC，1111CADB又111,ACCA面11AAC,可知11DB11AAC过1D作11ACMD于M，连接MO1则由三垂线（逆）定理可知11MOD为二面角111DACO的平面角.不妨令21AA，于是，有6321MD,21OO,361MO，可得21cos1111MDMOMOD所以二面角111DACO的大小为60三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3如图1，已知P为--CD内的一点，PA于A点，PB于B点，如果nAPB，试求二面角--CD的平面角．分析：CDCDPBPBCDPAPA平面PAB．因此只要把平面PAB与平面、的交线画出来即可．证明AEB为--CD的平面角，1A1D1C1BADCB1OM图5第5页共14页nAEB180（如图2）．注意：这种类型的题，如果过A作CDAE，垂足为E，连结EB，我们还必须证明CDEB，及AEBP为平面图形，这样做起来比较麻烦．例4已知斜三棱柱111-CBAABC中，平面1AB与平面1AC构成的二面角的平面角为30，平面1AB与平面1BC构成的二面角为70．试求平面1AC与平面1BC构成的二面角的大小．分析：作三棱柱的直截面，可得△DEF，其三个内角分别为斜三棱柱的三个侧面两两构成的二面角的平面角．总结：对棱柱而言，其直截面与各个侧棱的交点所形成的多边形的各个内角，分别为棱柱相邻侧面构成的二面角的平面角．例4空间的点P到二面角l的面、及棱l的距离分别为4、3、3392，求二面角l的大小.分析与略解：如图5，分别作PA⊥于A，PB⊥于B，则易知l⊥平面PAB，设l∩平面PAB=C，连接PC，则l⊥PC.分别在Rt△PAC、Rt△PBC中，PC=3392，PA=4，PB=3，则AC=332，BC=335.因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PC=2R，二面角l的大小为.分别在△PAB、△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2-2·PA·PBcos()，则可解得cos=21，=120o，二面角l的大小为120o.例5如图7,在正三棱柱111CBAABC中,截面ECA1侧面1AC,若111BAAA,求平面ECA1与平面111CBA所成二面角（锐角）的大小.解:设GACCA11.因为面GCA11与面1AC重合,由题意面GCA11面ECA1，而1A为面ECA1与面111CBA相交于棱上一点且GCAA111面，所以面GCA11为所求二面角的一垂面，11CGA为所求二面角的平面角.在正三棱柱111CBAABC中,111BAAA,可知4511CGA故所求二面角的大小为45.四、平移平面法（无棱的一种）P图5lCBA1A1C1BACGEB图7第6页共14页例5如图，正方体1111-DCBAABCD中，E为1AA的中点，H为1CC上的点，且211：：HCCH．设正方体的棱长为a，求平面EHD1与底面1111DCBA构成的锐角的正切．分析：本题中，仅仅知道二面角棱上的一点1D，在这种情况下，寻找二面角的平面角较困难．根据平面平移不改变它与