大学物理-气体动理论-(2)

第12章气体动理论扫描隧道显微镜（STM）§12.1分子运动的基本概念分子运动的基本观点1.宏观物体由大量粒子（分子、原子等）组成，分子之间存在一定的空隙2.分子在永不停息地作无序热运动(1)气体、液体、固体的扩散水和墨水的混合相互压紧的金属板例如：(1)1cm3的空气中包含有2.7×1019个分子(2)水和酒精的混合例如：(2)布朗运动NO2OABC3.分子间存在相互作用力假定分子间的相互作用力有球对称性时，分子间的相互作用(分子力)可近似地表示为(布朗运动))(tsrrfts、式中r表示两个分子中心的距离，、、s、t都是正数，其值由实验确定。0r斥力引力r(分子力与分子间距离的关系)strr10)(0f0rr0rr分子力表现为斥力分子力表现为引力由分子力与分子距离的关系，有m10100r(平衡位置)一切宏观物体都是由大量分子组成的，分子都在永不停息地作无序热运动，分子之间有相互作用的分子力。结论§12.2气体分子的热运动气体分子运动的规律1.气体分子热运动可以看作是在惯性支配下的自由运动(1)由于气体分子间距离很大，而分子力的作用范围又很小，除分子与分子、分子与器壁相互碰撞的瞬间外，气体分子间相互作用的分子力是极其微小的。(2)由于气体分子质量一般很小，因此重力对其作用一般可以忽略。2.气体分子间的相互碰撞是非常频繁的一秒内一个分子和其它分子大约要碰撞几十亿次(109次/秒)3.气体分子热运动服从统计规律统计的方法物理量M的统计平均值NMNMNMBBAANMNMNMBBAAN)(lim状态A出现的概率)(limNNWANA归一化条件1iiW·Ni是M的测量值为Mi的次数，实验总次数为NBANNN例如平衡态下气体分子速度分量的统计平均值为NNNNNNNNiixiiixixxxvvvvv212211NNNNNNNNiiyiiiyiyyyvvvvv212211NNNNNNNNiiziiizizzzvvvvv212211气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的概率相等，故有0zyxvvvNNiii22vv222zyxvvv222zyxvvv222231vvvvzyx由于气体处于平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的概率相等，故有NNNNNNiziiiyiiixii222vvv又如平衡态下气体分子速度分量平方的统计平均值为§12.3统计规律的特征伽耳顿板实验若无小钉：必然事件若有小钉：偶然事件一个小球落在哪里有偶然性实验现象少量小球的分布每次不同大量小球的分布近似相同(1)统计规律是大量偶然事件的总体所遵从的规律(2)统计规律和涨落现象是分不开的。结论§12.4理想气体的压强公式一.理想气体的微观模型(1)不考虑分子的内部结构并忽略其大小(2)分子力的作用距离很短，可以认为气体分子之间除了碰撞的一瞬间外，其相互作用力可忽略不计。(3)碰撞为完全弹性理想气体分子好像是一个个没有大小并且除碰撞瞬间外没有相互作用的弹性球。二.平衡态气体分子的统计性假设1.每个分子的运动速度各不相同，且通过碰撞不断发生变化2.分子按位置的均匀分布（重力不计）在忽略重力情况下，分子在各处出现的概率相同,容器内各处的分子数密度相同VNVNn3.分子速度按方向的分布均匀由于碰撞,分子向各方向运动的概率相同，所以222231vvvvzyx0zyxvvv三.理想气体的压强公式气体的压强是由大量分子在和器壁碰撞中不断给器壁以力的作用所引起的。例:雨点对伞的持续作用1.从气体分子运动看气体压强的形成2.理想气体的压强公式设体积为V的容器,内贮分子总数为N，分子质量为μ，分子数密度n的平衡态理想气体速度为的分子数为,分子数密度为ivtidvivnAd在dt时间内，速度为vi的分子与面元dA碰撞的分子数为zyixvAtVNixiddv)0(ixv··yzxOiNin在dt时间内，与面元dA碰撞的所有分子所受的冲量dI为iixiixiAtVNAtVNixdddd2202vvv22xiixinNNVNvv由压强定义得tAIpddd)31(2vnn32··nn32(1)压强p是一个统计平均量。它反映的是宏观量p和微观量的关系。对大量分子，压强才有意义。说明(2)压强公式无法用实验直接验证一容积为V=1.0m3的容器内装有N1=1.0×1024个氧分子N2=3.0×1024个氮分子的混合气体，混合气体的压强p=2.58×104Pa。(1)由压强公式,有np23例求(1)分子的平均平动动能；(2)混合气体的温度解VNNp)(2321J1068.921(2)由理想气体的状态方程得kVNNpnkpT21K467一.分布的概念气体系统是由大量分子组成，而各分子的速率通过碰撞不断地改变，不可能逐个加以描述,只能给出分子数按速率的分布。·问题的提出·分布的概念例如学生人数按年龄的分布年龄15~1617~1819~2021~22人数按年龄的分布2000300040001000人数比率按年龄的分布20%30%40%10%§12.5麦克斯韦速率分布定律速率v1～v2v2～v3…vi～vi+Δv…分子数按速率的分布ΔN1ΔN2…ΔNi…分子数比率按速率的分布ΔN1/NΔN2/N…ΔNi/N…例如气体分子按速率的分布｛ΔNi｝就是分子数按速率的分布二.速率分布函数f(v)设某系统处于平衡态下，总分子数为N，则在v～v+dv区间内分子数的比率为NNd)(vfvdvvdd)(NNff(v)称为速率分布函数意义：分布在速率v附近单位速率间隔内的分子数与总分子数的比率。三.气体速率分布的实验测定1.实验装置2.测量原理(1)能通过细槽到达检测器D的分子所满足的条件LvvL通过改变角速度ω的大小，选择速率v(3)通过细槽的宽度，选择不同的速率区间vv2L(4)沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率下的分子数四.麦克斯韦速率分布定律理想气体在平衡态下分子的速率分布函数kTekTf2/22/32)π2(4)(vvv(麦克斯韦速率分布函数)式中μ为分子质量，T为气体热力学温度，k为玻耳兹曼常量k=1.38×10-23J/K1.麦克斯韦速率分布定律说明(1)从统计的概念来看讲速率恰好等于某一值的分子数多少，是没有意义的。(2)麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的各组分分别适用。(3)在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率分布能很好的符合。vvvvvd)π2(π4d)(d2/22/32kTekTfNN理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+dv区间内的分子数与总分子数的比率为这一规律称为麦克斯韦速率分布定律2.麦克斯韦速率分布曲线f(v)vOv(速率分布曲线)·由图可见，气体中速率很小、速率很大的分子数都很少。NNdvvd)(f·在dv间隔内,曲线下的面积表示速率分布在v～v+dv中的分子数与总分子数的比率v＋dv···在v1~v2区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2之间的分子数与总分子数的比率NNf21d)(vvvvv1v2TvOT(速率分布曲线)·曲线下面的总面积，等于分布在整个速率范围内所有各个速率间隔中的分子数与总分子数的比率的总和01d)(vvf最概然速率vpf(v)出现极大值时,所对应的速率称为最概然速率·pv(归一化条件)f(v)不同气体,不同温度下的速率分布曲线的关系·①μ一定,T越大,这时曲线向右移动②T一定,μ越大,这时曲线向左移动vp越大,vp越小,T1f(v)vOT2(T1)1pv2pvμ1f(v)vOμ2(μ1)1pv2pv由于曲线下的面积不变,由此可见五.分子速率的三种统计平均值1.平均速率MRTkT59.1π80d)(1dNNfNNNvvvvJ/K1038.1106.0228.3123230NRk0d)(Nfvvv式中M为气体的摩尔质量，R为摩尔气体常量21d)(vvvvvf思考：是否表示在v1~v2区间内的平均速率？MRTμkT73.132v3.最概然速率2.方均根速率μkTf3)d(022vvvv0d(dpvvvv)fMRTMRTμkTp41.122vT(1)一般三种速率用途各不相同讨论分子的碰撞次数用说明v讨论分子的平均平动动能用2v讨论速率分布一般用pvpvv2vpvvv2f(v)vO(2)同一种气体分子的三种速率的大小关系:···氦气的速率分布曲线如图所示.解例求(2)氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率1000He2Hm/s10001023RT3H10)(2RTpvm/s1041.13MRT3)(2H2vm/s1073.13MRT2pv)(vf)m/s(vO(1)试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，(2)0va有N个粒子，其速率分布函数为00000202)(0vvvvvvvvvvafa(1)作速率分布曲线并求常数a(2)速率大于v0和速率小于v0的粒子数解例求)(vf02v032va12100aavv(1)由归一化条件得1dd000200vvvvvvvaavO(2)因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分与总分子数的比率，所以323200vv因此，vv0的分子数为(2N/3)同理vv0的分子数为(N/3)a0vNN0vvNN32的分子数与总分子数的比率为根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值。)1(v根据平均值的定义，速率倒数的平均值为0d)(1)1(vvvvfvvvd)π2(π4022/32kTekT)2(d)()π2(π42022/32vvkTekTkTkTvπ4π48ππ2kTμkT解例根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率vp~vp+Δv区间内的分子数与温度成反比(设Δv很小)T22/2/32)π2(π4)(vvvkTekTf2/322π4vvvvpep11π4)(efppvv将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有例证vvv12π4)(ekTNNfNpTN1金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的气体分子很类似。设金属中共有N个电子，其中电子的最大速率为vm，设电子速率在v~v+dv之间的几率为式中A为常数vvd2ANNdmvv0mvv0解例求该电子气的平均速率NNm)d(0vvvmAvvv03d44mAv因为仅在（0，vm）区间分布有电子，所以五.气体分子按平动动能的分布规律vvvkTekTNN2/22/32)π2(π4麦克斯韦速率分布定律221vvvkTekTfNN/2123)π2(π24)(上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在~+区间内的分子数与总分子数的比率。意义：代入上式得思考最概然平动动能是否等于最概然速率所对应的平动动能?两边微分§12.6温度的微观本质一.理想气体温度与分子平均平动动能的关系221vkTkT23321理想气体分子的平均平动动能为每个分子平均平动动能只与温度有关，与气体的种类无关。说明(1)温