高考卷 06届 普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ.理）含详解

2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷1至2页。第Ⅱ卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果时间A、B互斥，那么()()()PABPAPB如果时间A、B相互独立，那么()()()PABPAPB如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率1nkkknnPkCPP球的表面积公式24SR，其中R表示球的半径球的体积公式343VR，其中R表示球的半径一、选择题⑴、设集合20Mxxx，2Nxx，则A．MNB．MNMC．MNMD．MNR⑵、已知函数xye的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，则A．22()xfxexRB．2ln2ln(0)fxxxC．22()xfxexRD．2lnln2(0)fxxx⑶、双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2倍，则mA．14B．4C．4D．14⑷、如果复数2()(1)mimi是实数，则实数mA．1B．1C．2D．2⑸、函数tan4fxx的单调增区间为A．,,22kkkZB．,1,kkkZC．3,,44kkkZD．3,,44kkkZ⑹、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且2ca，则cosBA．14B．34C．24D．23⑺、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A．16B．20C．24D．32⑻、抛物线2yx上的点到直线4380xy距离的最小值是A．43B．75C．85D．3⑼、设平面向量1a、2a、3a的和1230aaa。如果向量1b、2b、3b，满足2iiba，且ia顺时针旋转30o后与ib同向，其中1,2,3i，则A．1230bbbB．1230bbbC．1230bbbD．1230bbb⑽、设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则111213aaaA．120B．105C．90D．75⑾、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为A．285cmB．2610cmC．2355cmD．220cm⑿、设集合1,2,3,4,5I。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A．50种B．49种C．48种D．47种2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅱ卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2．第Ⅱ卷共2页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3．本卷共10小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。⒀、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角等于_______________。⒁、设2zyx，式中变量xy、满足下列条件21xy3223xy1y则z的最大值为_____________。⒂、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有__________种。（用数字作答）⒃、设函数cos30fxx。若/fxfx是奇函数，则__________。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。⒄、（本小题满分12分）ABC的三个内角为ABC、、，求当A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。⒅、（本小题满分12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为23，服用B有效的概率为12。（Ⅰ）求一个试验组为甲类组的概率；（Ⅱ）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。⒆、（本小题满分12分）如图，1l、2l是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在1l上，C在2l上，AMMBMN。（Ⅰ）证明AB⊥NB；（Ⅱ）若60OACB，求NB与平面ABC所成角的余弦值。⒇、（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，有一个以10,3F和20,3F为焦点、离心率为32的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与xy、轴的交点分别为A、B，且向量OMOAOB。求：（Ⅰ）点M的轨迹方程；（Ⅱ）OM的最小值。（21）、（本小题满分14分）已知函数11axxfxex。（Ⅰ）设0a，讨论yfx的单调性；（Ⅱ）若对任意0,1x恒有1fx，求a的取值范围。（22）、（本小题满分12分）设数列na的前n项的和14122333nnnSa，1,2,3,n（Ⅰ）求首项1a与通项na；（Ⅱ）设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT一、选择题:1.B2.D3.A4.B5.C6.B7.C8.A9.D10.B11.B12.B二、填空题:13.π314.1115.240016.π6一、选择题题号123456789101112答案BDABCBCADBBB1．解：20Mxxx={|01}xx，2Nxx={|22}xx，∴MNM，选B.2．解：函数xye的图象与函数yfx的图象关于直线yx对称，所以()fx是xye的反函数，即()fx=lnx，∴2ln2lnln2(0)fxxxx，选D.3．双曲线221mxy的虚轴长是实轴长的2倍，∴m0，且双曲线方程为2214xy，∴m=14，选A.4．复数2()(1)mimi=(m2－m)+(1+m3)i是实数，∴1+m3=0，m=－1，选B.5．函数tan4fxx的单调增区间满足242kxk，∴单调增区间为3,,44kkkZ，选C.6．ABC中，a、b、c成等比数列，且2ca，则b=2a，222cos2acbBac=222242344aaaa，选B.7．正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为26，∴球的半径为6，球的表面积是24，选C.8．设抛物线2yx上一点为(m，－m2)，该点到直线4380xy的距离为2|438|5mm，当m=32时，取得最小值为43，选A.9．向量1a、2a、3a的和1230aaa。向量1a、2a、3a顺时针旋转30后与1b、2b、3b同向，且2iiba，∴1230bbb，选D.10．na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380aaa，则25a，13(5)(5)16aadd，∴d=3，1221035aad，111213aaa105，选B.11．用2、5连接，3、4连接各为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为2610cm，选B.12．若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有25C=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有35C=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有45C=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有55C=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有35C=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有45C=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有55C=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有45C=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有55C=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有55C=1种；总计有49种，选B.解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有25C=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有35C=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有45C=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有55C=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法。选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。13.π314.1115.240016.π613．正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，底面边长为23，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tanα=3,∴二面角等于3。14．2132231xyxyy，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在△ABC中满足2zyx的最大值是点C，代入得最大值等于11.15．先安排甲、乙两人在后5天值班，有25A=20种排法，其余5人再进行排列，有55A=120种排法，所以共有20×120=2400种安排方法。16．'()3sin(3)fxx，则/fxfx=cos(3)3sin(3)2sin(3)6xxx，为奇yxOCBA函数，∴φ=6.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.解:由A+B+C=π,得B+C2=π2－A2,所以有cosB+C2=sinA2.cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=1－2sin2A2+2sinA2=－2(sinA2－12)2+32当sinA2=12,即A=π3时,cosA+2cosB+C2取得最大值为3218.解:(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只,i=0,1,2,Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只,i=0,1,2,依题意有:P(A1)=2×13×23=49,P(A2)=23×23=49.P(B0)=12×12=14,P(B1)=2×12×12=12,所求概率为:P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)=14×49+14×49+12×49=49(Ⅱ)ξ的可能值为0,1,2,3且ξ~B(3,49).P(ξ=0)=(59)3=125729,P(ξ=1)=C31×49×(59)2=100243,P(ξ=2)=C32×(49)2×59=80243,P(ξ=3)=(49)3=64729ξ的分布列为:数学期望:Eξ=3×49=