高考卷 07 普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）全解全析

2007年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科数学（必修+选修Ⅱ）全解全析注意事项：ZXXK.COM1.本试卷分第一部分和第二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题。ZXXK.COM2.考生领到试卷后，须按规定在试卷上填写姓名、准考证号、并在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点。Z3.所有答案必须在答题卡上指定区域内作答。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。ZXXK.COM第一部分（共60分）ZXXK.COM一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.ZXXK.COM1.在复平面内，复数z=i21对应的点位于ZM（A）第一象限（B）第二象限（C）第在象限（D）第四象限解析：Z=ii515252，选D2.已知全信U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝23Zxx,则集合CuA等于ZXXK.COM（A）4,3,2,1（B）4,3,2(C)5,1(D)5Z解析：A={2，3，4}，CuA={1，5}，选C3.抛物线y=x2的准线方程是ZXXK.COM（A）4y+1=0(B)4x+1=0(C)2y+1=0(D)2x+1=0ZXXK.COM解析：P=21，准线方程为y=412P，即014y，选A4.已知sinα=55，则sin4α-cos4α的值为ZXXK.COM（A）-51(B)-53(C)51(D)53解析：sin4α-cos4α=22cossin=1sin22=-53，选B5.各项均为正数的等比数列na的前n项和为Sn，若Sn=2,S30=14,则S40等于ZXXK.COM（A）80（B）30(C)26(D)16ZX解析：选B6.一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是ZXXK.COM（A）433(B)33(C)43(D)123ZXXK.COM解析：正三棱锥的高为1，由平面几何知识知底面边长为3，体积为431)3(43312，选C7.已知双曲线C：12222byca(a＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的浙近线相切的圆的半径是ZXXK.COMA.abB.22baC.aD.bZXXK.COM解析：：圆的半径是（C，0）到渐近线xaby的距离，所以R=bcbcababc22|0|，选D8.若函数f(x)的反函数为f)(1x,则函数f(x-1)与f)1(1x的图象可能是ZXXK.COMZXXK.COM解析：函数f(x-1)与f)1(1x的图象是f（x）与f)(1x的图象向右平移一个单位得到。选A9.给出如下三个命题：ZXXK.COM①四个非零实数a、b、c、d依次成等比数列的充要条件是ad=bc;ZXXK.COM②设a,b∈R，则ab≠0若ba＜1，则ab＞1；ZXXK.COM③若f(x)=log22x=x,则f（|x|）是偶函数.ZXXK.COM其中不正确命题的序号是ZXXK.COMA.①②③B.①②C.②③D.①③ZXXK.COM解析：①ad=bc不一定使a、b、c、d依次成等比数列，如取a=d=-1，b=c=1；②a、b异号时不正确，选B10.已知平面α∥平面β，直线mα，直线nβ，点A∈m,点B∈n，记点A、B之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则ZXXK.COMA.b≤a≤cB.a≤c≤bC.c≤a≤bD.c≤b≤aZXXK.COM解析：由图知c最小，a最大，选D11.f(x)是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf‘(x)-f(x)≤0,对任意正数a、b,若a＜b，则必有ZXXK.COMA.af(b)≤bf(a)B.bf(a)≤af(b)ZXXK.COMC.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)ZXXK.COM解析：设F（x）=xxf)(，则0)()()(2''xxfxxfxF，故F（x）=xxf)(为减函数，由a＜b有)()()()(abfbafbbfaaf，选A12.设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算为：AiAj=Ak,其中k为I+j被4除的余数，i、j=0,1,2,3.满足关系式=（xx）A2=A0的x(x∈S)的个数为ZXXK.COMA.4B.3C.2D.1解析：由定义A1A1=A2，A2A2=A0，x=A1能满足关系式，同理x=A3满足关系式，选C第二部分（共90分）ZXXK.COM二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题4分，共16分）.ZXXK.COM13.11212lim21xxxxx.ZXXK.COM解析：3121)2)(1(21211212limlimlim1121xxxxxxxxxxxx14.已知实数x、y满足条件,033,022,042yxyxyx，则z=x+2y的最大值为.ZXXK.COM解析：画出可行域知Z在直线x-2y+4=0与3x-y-3=0的交点（2，3）处取得最大值815.如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中与OA与OB的夹角为120°，OA与OC的夹角为30°,且|OA|＝|OB|＝1，|OC|＝32，若OC＝λOA+μOB（λ，μ∈R）,则λ+μ的值为.ZXXK.COM解析：过C作OA与OC的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，OC=32得平行四边形的边长为2和4，2+4=616.安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有种.（用数字作答）ZXXK.COM解析：分两类，（1）每校1人：12036A；（2）1校1人，1校2人：902623AC，不同的分配方案共有120+90=210三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共74分）.ZXXK.COM17.（本小题满分12分）设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点2,4，ZXXK.COM（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.ZXXK解：（Ⅰ）()(1sin2)cos2fxmxxab，由已知πππ1sincos2422fm，得1m．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin2cos212sin24fxxxx，当πsin214x时，()fx的最小值为12，由πsin214x，得x值的集合为3ππ8xxkkZ，．.COM18.（本小题满分12分）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；ZXXK.COM（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数数期望.（注：本小题结果可用分数表示）ZXX解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为(123)iAi，，，则14()5PA，23()5PA，32()5PA，该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()PPAAAAAAPAPAPAPAPAPA142433101555555125．（Ⅱ）的可能值为123，，，11(1)()5PPA，1212428(2)()()()5525PPAAPAPA，12124312(3)()()()5525PPAAPAPA．的分布列为123P1582512251812571235252525E．解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为(123)iAi，，，则14()5PA，23()5PA，32()5PA．该选手被淘汰的概率1231231()1()()()PPAAAPAPAPA4321011555125．（Ⅱ）同解法一．K.COM19.(本小题满分12分)Z如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BCADABCDP中,90ABC平面PAABCDZXXK.COM32,2,4ABADPA,BC=6.ZXXK.COM(Ⅰ)求证:BD;PACBD平面ZXXK.COM(Ⅱ)求二面角DBDP的大小.ZXX解法一：（Ⅰ）PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD．BDPA⊥．又3tan3ADABDAB，tan3BCBACAB．30ABD∠，60BAC∠，90AEB∠，即BDAC⊥．又PAACA．BD⊥平面PAC．（Ⅱ）过E作EFPC⊥，垂足为F，连接DF．DE⊥平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PCDF⊥，EFD∠为二面角APCD的平面角．又9030DACBAC∠∠，sin1DEADDAC，sin3AEABABE，又43AC，33EC，8PC．由RtRtEFCPAC△∽△得332PAECEFPC．在RtEFD△中，23tan9DEEFDEF，23arctan9EFD∠．二面角APCD的大小为23arctan9．解法二：（Ⅰ）如图，建立坐标系，则(000)A，，，(2300)B，，，(2360)C，，，(020)D，，，(004)P，，，AEDPCBF(004)AP，，，(2360)AC，，，(2320)BD，，，0BDAP，0BDAC．BDAP⊥，BDAC⊥，又PAACA，BD⊥平面PAC．（Ⅱ）设平面PCD的法向量为(1)xy，，n，则0CDn，0PDn，又(2340)CD，，，(024)PD，，，2340240xyy，，解得4332xy，，43213，，n平面PAC的法向量取为2320BD，，m，cosm，39331mnnmn．二面角APCD的大小为393arccos31．K.COM20.(本小题满分12分)Z设函数f(x)=,22aaxxc其中a为实数.ZXXK.COM(Ⅰ)若f(x)的定义域为R,求a的取值范围;ZXXK.COM(Ⅱ)当f(x)的定义域为R时，求f(x)的单减区间.ZX解：（Ⅰ）()fx的定义域为R，20xaxa恒成立，240aa，04a，即当04a时()fx的定义域为R．（Ⅱ）22(2)e()()xxxafxxaxa，令()0fx≤，得(2)0xxa≤．由()0fx，得0x或2xa，又04a，02a时，由()0fx得02xa；当2a时，()0fx≥；当24a时，由()0fx得20ax，AEDPCByzx即当02a时，()fx的单调减区间为(02)a，；当24a时，()fx的单调减区间为(20)a，．XK.COM21.(本小题满分14分)Z已知椭圆C:12222byax（a＞b＞0）的离心率为,36短轴一个端点到右焦点的距离为3.ZXXK.COM(Ⅰ)求椭圆C的方程;ZX(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为23，求△AOB面积的最大值.ZXX解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意633caa，，1b，所求椭圆方程为2213xy．（Ⅱ）设11()Axy，，22()Bxy，．（1）当ABx⊥轴时，3AB．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为ykxm．由已知2321mk，得223(1)4mk．把yk