应用随机过程4-更新过程

2010-9-2理学院施三支第4章更新过程4.1更新过程的定义及若干分布4.2更新方程及其应用4.3更新定理4.4Lundberger-Cramer破产论4.5更新过程的推广2010-9-2理学院施三支4.1更新过程的定义及若干分布一、更新过程的定义定义4.1.1设{nX,,2,1n}是独立同分布的非负随机变量列，分布函数为F(x)，F(0)=P{Xn=0}1，(为避免平凡情形)更新的次数），（],0(}:sup{)().2(ttTntNn个事件到达的时间）（第nXTTniin,,0).1(10则称{)(tN,Tt}为一个更新过程。通常称nX为N的第n个更新间隔，或第n个更新的等待时间，称nT为第n次更新时刻。2010-9-2理学院施三支注:Poisson过程是更新过程的特例。(1).)(tN，a.s.即有限时间内昀多有有穷次更新；二、N(t)的分布及EN(t)的一些性质1、先考虑N(t)的分布事实上，由于，tTntNn)((2).).()(})({1tFtFntNPnn这里FFFFn***为nT的分布。所以}1)({})({})({ntNPntNPntNP}{}{1tTPtTPnn}{}{111tXPtXPniinii2010-9-2理学院施三支考虑一个时间离散的更新过程},2,1,{jNj，在每个时点独力地做贝努力实验，设成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，以试验成功作为事件(更新)，求此过程的更新函数。定理4.1.11)()(nntFtM)(tM是t的不减函数，且对)(,0tMt。2、EN(t)的性质记M(t)=EN(t),则称之为更新函数。定理4.1.2例4.1.12010-9-2理学院施三支如果更新函数)(tM的导数存在，记为)(tm，称为更新密度4.2更新方程及其应用一、更新方程的密度。是这里)()(,)()(1tFtftftmnnnn定理4.2.1)(tM和)(tm分别满足下面的积分方程tsdFstMtFtM0)()()()(dssfstmtftmt0)()()()(。其中)()(tFtf定义4.2.1其中)()(tFtH，为已知，且当。时，0)()(0tFtHt当)(tH有上界时，称之为适定的。称积分方程tsdFstKtHtK0)()()()(为更新方程2010-9-2理学院施三支例4.2.1（Wald等式）设,2,1)(iXEi，，证明：)1)(()(][][11)(211)(tNEXEXXXETEtNtN二*、更新方程在人口学中的一个应用设)(tB为t时刻女婴的出生率，已知过去的0)(ttB，，要预测未来的0)(ttB，。定理4.2.2设更新方程tsdFstKtHtK0)()()()(中)(tH为有界函数，则方程存在唯一的有界区间内的解其中1)()(nntFtM是分布函数)(tF的更新函数。tsdMstHtHtK0)()()()(2010-9-2理学院施三支强度为的Poisson过程}0),({ttN的时间间隔{Xn}是参数为的指数分布，其更新函数ttNEtM)]([)(，于是4.3更新定理)(1)(nXEttM定理4.3.1记)(nXE，则(Feller初等更新定理)01),(1)(，若tttM格点分布，称满足上述条件的昀大的d为此格点的周期。若存在0d，使得1}{0nndXP，称随机变量X服从定义4.3.1(格点分布)2010-9-2理学院施三支dndP}{处发生更新在定理4.3.2(Blackwell更新定理)记)(nXE，atMatM)()((1).若F不是格点的，则对一切0a，当t时(2).若F是格点的，周期为d，则当n时注：Feller初等更新定理是Blackwell更新定理的特殊情形。2010-9-2理学院施三支定理4.3.3(关键更新定理)记)(nXE，设函数],0[),(tth，满足,0,)(1)(lim0dxxhtHt(1).若F不是格点的，(2).若F是格点的，对于dc0(1).)(th非负不增；(2).0)(dtth。)(tH是更新方程txdFxththtH0)()()()(的解，那么,0,)()(lim0nnndchdndcH2010-9-2理学院施三支例4.3.1(剩余寿命与年龄的极限分布)以tTtrtN1)()(表示时刻t的剩余寿命，即从t开始到下次更新的时间，)()(tNTtts为t时刻的年龄。求)(tr和)(ts的极限分布。2010-9-2理学院施三支4.4Lundberger-Cramer破产论假定1保险公司在时刻t的盈余为L-C经典破产模型其中是初始资本，c是保险公司单位时间征收的保险费，,kX1k表示第k次索赔额，)(tN表示到时刻t时发生的索赔额次数)(10,)(tNkktXctutU}1,{kXk是恒正的、独立同分布的随机变量列，)(xF是1X分布函数，是1X的期望；}0),({ttN是参数为，且与}1,{kXk独立的泊松过程。2010-9-2理学院施三支到t时刻为止的索赔总额：假设2)(10,)(tNkktXtS)1(c其中0称为相对安全负载。到t时刻为止的索赔总额：为齐次的独立增量过程。盈余过程}0),({ttSct..,)(limsatUt当盈余过程取负值时，称保险公司“破产”。}0)(:inf{tUtT为破产时刻。保险公司的昀终破产概率：0},)0(|{)(uuUTPu假设3（调节系数存在唯一性）个体索赔额的矩母函数00)](1[1)()(dxxFerxdFerrxrxX至少在包含原点的某个邻域内存在，且方程rcrX1)(有正解2010-9-2理学院施三支注：定理4.4.10,)(ueuRu若假定1~3成立，则有（2）Lundberger不等式(1)11)0()(,~)(uCeuRu（3）Lundberger-Gramèr近似；存在正常数C，使得1)(limRuuCeu即)(rX在其收敛域内是严格增加凸函数，故方程rcrX1)(若有正解，则必是唯一的，记为R，称之为调节系数。2010-9-2理学院施三支则它表示初始盈余为u时，保险公司永不破产的概率，称为生存概率记})0(|0)({)(1)(uUtUPuuR2010-9-2理学院施三支4.5更新过程的推广二、更新回报过程设)(1)(tNiiRtR，其中}0),({ttN是一个更新过程，,2,1,nRn独立同分布且与}0),({ttN独立，则称)(tR是一个更新回报过程。更新过程要求时间间隔是独立同分布的序列，如果放宽第一个时间间隔X1，允许其分布不同，则由X1，X2，…确定的计数过程为延迟更新过程。一、延迟更新过程2010-9-2理学院施三支定理4.5.1（更新回报定理）若更新更新间隔,,21XX满足1EX，每次得到的回报}{nR满足1ER，则(1)11)(1limEXERtRtt以概率1成立(2)11)]([1limEXERtREtt。例4.5.1产品保修策略设某公司所售出商品采取如下更换策略：若产品售出后，在期限内损坏，则免费更换产品。若在],(T期间损坏，则按使用时间折价更换新产品。并对在],0(内更换的新产品执行原来的更换期，而对],(T内折价更换新产品，从更换时刻重新计算更换期。讨论长期执行此策略对厂家的影响。2010-9-2理学院施三支定理4.5.2设H是nZ的分布，G是nY的分布，F是nnYZ的分布，并记}{)(时刻系统是开的tPtP，设][nnYZE，且F不是格点的，则nnntEYEZEZtP)(lim。更新过程中，如果考虑更换时间，即考虑机器“开”与“关”两种状态的更新过程，称作交替更新过程。设系统昀初是开的，持续时间是Z1,而后关闭，时间为Y1，之后再打开，时间为Z2，又关闭，时间为Y2，……，交替进行。假设(Zn,Yn)，n≥1是独立同分布的。三、交替更新过程作业：1.P661,3,42.写本章小结