2015中考专项训练反比例函数及其图象

第1页2015中考专项训练反比例函数及其图象1．概念：函数__y＝kx(k为常数，k≠0)__叫做反比例函数；反比例函数的自变量x不能为0.2．图象：反比例函数的图象是双曲线，不与两坐标轴相交的两条双曲线．3．性质(1)当k＞0时，其图象位于__第一、三象限__，在每个象限内，y随x的增大而__减小__；(2)当k＜0时，其图象位于__第二、四象限__，在每个象限内，y随x的增大而__增大__；(3)其图象是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形．4．反比例函数y＝kx(k≠0，k为常数)中比例系数k的几何意义．(1)如图，过反比例函数上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN所得矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|x|·|y|＝|xy|，∵y＝kx，∴xy＝k，∴S＝__|k|__．(2)计算与双曲线上的点有关的图形面积S△AOP＝|k|2S矩形OAPB＝|k|S△APP1＝2|k|(P，P1关于原点对称)5.反比例函数解析式的确定(1)确定反比例函数表达式的方法是__待定系数法__．(2)用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为y＝kx(k≠0)；②根据已知条件列出含k的方程；③解方程求出待定系数k的值；④把k代入函数表达式y＝kx中即可．一个模型反比例函数关系在生产、生活、科技等方面广泛应用，解决这类问题的关键是将实际问题数学化，建立反比例函数的模型，然后利用反比例函数的性质、图象解决问题．注意：反比例函数的图象反映的变化规律明显，常利用它的图象找出解决问题的方案．一个思想数形结合思想就是把图形与数量关系巧妙、和谐地结合起来，使数学问题更直观、更容易解决．这一思想在这一讲中应用非常广泛．例如借助函数的图象比较大小等．两个防范(1)反比例函数中，y随x的大小而变化的情况，应分x＞0与x＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大”．双曲线上的点在每个象限内，y随x的变化是一致的，但在不同象限内的两个点比第2页较函数值的大小时，当k＞0时，第一象限内的点的纵坐标都为正，而第三象限内的点的纵坐标值都为负；当k＜0时，第二象限内的点的纵坐标值都为正，而第四象限内的点的纵坐标值都为负．(2)在比较大小时，不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支组成的(分别在不同的两个象限)，在不同的象限是不能用它的性质来判断的，而是要分别讨论．运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求．1．(2014·陕西)已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是同一个反比例函数图象上的两点，若x2＝x1＋2，且1y2＝1y1＋12，则这个反比例函数的表达式为__y＝4x__．2．(2013·陕西)如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数y＝6x的图象交A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么(x2－x1)(y2－y1)值为__24__．3．(2012·陕西)在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y＝－2x＋6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是__y＝18x(只要y＝kx中的k满足k＞92即可)__(只写出符合条件的一个即可)．待定系数法确定反比例函数解析式【例1】(2014·广安)如图，反比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)经过点A(1，3)．(1)求反比例函数的解析式；(2)在x轴正半轴上有一点B，若△AOB的面积为6，求直线AB的解析式．解：(1)∵反比例函数y＝kx(k为常数，且k≠0)经过点A(1，3)，∴3＝k1，解得k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝3x(2)设B(a，0)，则BO＝a，∵△AOB的面积为6，∴12·a·3＝6，解得a＝4，∴B(4，0)，设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∵经过A(1，3)、B(4，0)，∴3＝k＋b，0＝4k＋b，解得k＝－1，b＝4，∴直线AB的解析式为y＝－x＋4【点评】反比例函数表达式中只有一个待定系数，由一对已知对应值即可确定函数解析式，而一次函数中有两个待定系数，要求出其系数，需要已知两对对应值．1．(2014·襄阳)如图，一次函数y1＝－x＋2的图象与反比例函数y2＝kx的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C.已知tan∠BOC＝12，点B的坐标为(m，n)．(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．第3页解：(1)作BD⊥x轴于点D，如图，在Rt△OBD中，tan∠BOC＝BDOD＝12，∴－nm＝12，即m＝－2n，把点B(m，n)代入y1＝－x＋2得n＝－m＋2，∴n＝2n＋2，解得n＝－2，∴m＝4，∴B点坐标为(4，－2)，把B(4，－2)代入y2＝kx得k＝4×(－2)＝－8，∴反比例函数解析式为y2＝－8x(2)当x＜4，y2的取值范围为y2＞0或y2＜－2反比例函数与几何图形的综合【例2】(2014·德州)如图，双曲线y＝kx(x＞0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为(2，3)．(1)确定k的值；(2)若点D(3，m)在双曲线上，求直线AD的解析式；(3)计算△OAB的面积．解：(1)将点A(2，3)代入解析式y＝kx，得k＝6(2)将D(3，m)代入反比例解析式y＝6x，得m＝63＝2，∴点D坐标为(3，2)，设直线AD解析式为y＝kx＋b，将A(2，3)与D(3，2)代入得2k＋b＝3，3k＋b＝2，解得k＝－1，b＝5，则直线AD解析式为y＝－x＋5(3)过点C作CN⊥y轴，垂足为点N，延长BA，交y轴于点M，∵AB∥x轴，∴BM⊥y轴，∴MB∥CN，∴△OCN∽△OBM，∵C为OB的中点，即OCOB＝12，∴S△OCNS△OBM＝(12)2，∵A，C都在双曲线y＝6x上，∴S△OCN＝S△AOM＝3，由33＋S△AOB＝14，得到S△AOB＝9，则△AOB面积为9【点评】本题主要考查反比例函数知识的综合运用，关键是利用待定系数法，数形结合的思想来解决此类题目，当然要熟练掌握反比例函数的性质及图象特征．第4页2．(1)(2014·深圳)如图，双曲线y＝kx经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足AOAB＝23，与BC交于点D，S△BOD＝21，求k＝__8__．(2)(2014·玉林)如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y＝k1x和y＝k2x的一支上，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点M和N，则有以下的结论：①AMCN＝|k1||k2|；②阴影部分面积是12(k1＋k2)；③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的是①④．(把所有正确的结论的序号都填上)试题已知y＝y1＋y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x＝1时，y＝3；x＝－1时，y＝1.求x＝－12时，y的值．错解解：设y1＝kx2，y2＝kx.∵y＝y1＋y2，∴y＝kx2＋kx.∴把x＝1，y＝3代入上式，得3＝k＋k，∴k＝32.∴y＝32x2＋32x.当x＝－12时，y＝32×(－12)2＋32×（－12）＝38－3＝－218.答：当x＝－12时，y的值是－218.剖析(1)错解错在设y1＝kx，y2＝kx时取了相同的比例系数k，由于这是两种不同的比例，其比例系数未必相同，应分别设y1＝k1x，y2＝k2x，用两个不同字母k1，k2来表示两个不同的比例系数．(2)在同一问题中，相同的字母只能表示同一个未知量．两个或多个不同的未知量需要用两个或多个不同的字母来表示，以免混淆，从而导致错误．正解解：设y1＝k1x2，y2＝k2x，∵y＝y1＋y2，∴y＝k1x2＋k2x.把x＝1，y＝3；x＝－1，y＝1分别代入上式，得3＝k1＋k2，1＝k1－k2，解得k1＝2，k2＝1，∴y＝2x2＋1x.当x＝－12时，y＝2×(－12)2＋1－12＝12－2＝－32.答：当x＝－12时，y的值是－32.第5页考点跟踪突破12反比例函数及其图象一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2013·安顺)若y＝(a＋1)xa2－2是反比例函数，则a的取值为(A)A．1B．－1C．±1D．任意实数2．(2014·扬州)若反比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过P(－2，3)，则该函数的图象不经过的点是(D)A．(3，－2)B．(1，－6)C．(－1，6)D．(－1，－6)3.(2014·随州)关于反比例函数y＝2x的图象，下列说法正确的是(D)A．图象经过点(1，1)B．两个分支分布在第二、四象限C．两个分支关于x轴成轴对称D．当x＜0时，y随x的增大而减小4．(2014·潍坊)已知一次函数y1＝kx＋b(k＜0)与反比例函数y2＝mx(m≠0)的图象相交于A，B两点，其横坐标分别是－1和3，当y1＞y2时，实数x的取值范围是(A)A．x＜－1或0＜x＜3B．－1＜x＜0或0＜x＜3C．－1＜x＜0或x＞3D．0＜x＜35．(2014·鄂州)点A为双曲线y＝kx(k≠0)上一点，B为x轴上一点，且△AOB为等边三角形，△AOB的边长为2，则k的值为(D)A．23B．±23C.3D．±3二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·莱芜)已知一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝kx的图象相交于A(4，2)，B(－2，m)两点，则一次函数的表达式为__y＝x－2__．7．(2014·长安一中模拟)反比例函数y＝4x与y＝1x的图象在同一坐标系中如图所示，P为y＝4x上任一点，过P作PQ平行于y轴，交y＝1x于点Q，M为y轴上一点，则S△PMQ＝__32__．8．(2013·德州)函数y＝1x与y＝x－2图象交点的横坐标分别为a，b，则1a＋1b的值为__－2__．9．(2014·湖州)如图，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝kx(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD.若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为__y＝2x__．10．(2013·绍兴)在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双第6页曲线y＝3x上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是__2或－2__．三、解答题(共40分)11．(10分)(2014·白银)如图，在直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线y＝nx相交于A(－1，a)，B两点，BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.(1)求m，n的值；(2)求直线AC的解析式．解：(1)∵直线y＝mx与双曲线y＝nx相交于A(－1，a)，B两点，∴B点横坐标为1，即C(1，0)，∵△AOC的面积为1，∴A(－1，2)，将A(－1，2)代入y＝mx，y＝nx得m＝－2，n＝－2(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b，∵y＝kx＋b经过点A(－1，2)，C(1，0)∴－k＋b＝2，k＋b＝0，解得k＝－1，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝－x＋112．(10分)(2013·嘉兴)如图，一次函数y＝kx＋1(k≠0)与反比例函数y＝mx(m≠0)的图象有公共点A(1，2)．直线l⊥x轴于点N(3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求△ABC的面积．解：(1)将A(1，2)代入一次函数解析式得：k＋1＝2，即k＝1，∴一次函数解析式为y＝x＋1；将A(1，2)代入反比例解析式得：m＝2，∴反比例解析式为y＝2x(2)设一次函数与x轴交于D点，令y＝0，求出x＝－1，即OD＝1，过A作AE垂直于x轴，垂足为E，则有AE＝2，OE＝1，∵N(3，0)，∴点B横坐标为3，将x＝3代入一次函数得：y＝4，将x＝3代入反比例解析式得：y＝23，∴B(3，4)，即ON＝3，BN＝4，C(3，23)，即CN＝23，则S△ABC＝S△BDN－S△ADE－S梯形AECN＝12×4×4－12×2×2－12×(23＋2)×2＝103