定积分的应用(弧长和面积)

1．分割：将区间],[ba任意分成个子区间n],[1iixx),,2,1(ni，设个第i小曲边梯形的面积iA为，则niiAA1。§3.4定积分的应用3.4.1微元法用定积分表示几何量、物理量或其它的量，一般分为四步。下面来回顾求曲边梯形面积A的过程。)(xfyxyoabA4.取极限：令inix1max，则)()(lim10baniiidxxfxfA。上述四步中，第二步是关键。3.求和：niiixfA1)(；2.取近似：],[1iiixx，),,2,1()(nixfAiii则badxxfdxxfA)()(lim。于是，dxxfdAA)(，记为dxxfdA)(，为高，dx为底的矩形面积Adxxf为)(的近似值，即dxxfA)(，dxxf)(称为面积元素，为简便起见，省略i下标，用A表示任一小区间],[dxxx上的小曲边梯形的面积，则AA，取],[dxxx的左端点为x，以处点x的函数值)(xfxdxx)(xfydAxyoab)(xf一般地，若所求量xQ与变量的变化区间],[ba有关；且关于区间],[ba具有可加性，在],[ba中的任意一个小区间],[dxxx上找出所求量的部分量的近似值dxxfdQ)(，则所求量的积分表达式为badxxfQ)(，这种方法称为微元法，其中dxxfdQ)(称为的量Q微元。MAnMB设是,BA曲线弧上的两个端点，在弧上AB任取分点BMMMMMMMAnnii,,,,,,,,1121，并依次连接相邻的分点得一内接折线，此折线长为niiinMMS11，其中iiMM1表示线段iiMM1的长。⌒一、平面曲线弧长的概念3.4.2弧长1M1iMiMxyoniiinMMSS1100limlim其中表示最大线段长，这时也称AB曲线弧是可求长的。⌒如果上述折线，当分点无限增加且最大线段长趋于零时，折线SSn有极限，则称ABS为曲线弧的弧长，即⌒二、直角坐标情形设曲线弧为))((bxaxfy，其中上在],[)(baxf有一阶连续导数，取积分变量为x，在],[ba上任取小区间],[dxxx，以对应小切线段的长度代替小弧段的长度S，小切线段的长度22)()(dydxdxy21，dxdydSxdxxox)(xfyyab定理：若函数],[)(baxf在上可导，且)(xf连续，则在],[ba上的曲线)(xfy可求长，且弧长dxxfSba2)]([1。可以证明小切线段的长与S之差是关于dx高阶的无穷小。S弧长元素dxydS21，弧长dxySba21。例1．求圆222Ryx的弧长。解：)0,0(22yxxRy，,22xRxy,1222dxxRRdxydSRRxRdxxRRSR0arcsin44022.224RRoxy222RyxRR若曲线是由参数方程)(),(),(ttfytx表示，2222])([])([)()(dttfdttdydxds.)]([)]([22dttftds即dttftS22)]([)]([则弧长元素为三、参数方程情形解：)cos1()(tatx，tatysin)(，例2．计算摆线)cos1()sin(tayttax的一拱20t的长度。dttatadS22]sin[)]cos1([,2sin2)cos22(2dttadtta∴atadttaS8]2cos2[22sin22200。xyoa2四、极坐标方程情形drrdS22)]([)]([弧长元素drrS22)]([)]([弧长若曲线是由极坐标方程)(rr，)(表示，例3.求极坐标系下曲线33sinar)30,0(a的长。解：∵313cos3sin32ar,3cos3sin2a∴drrS)()(22daa3024262)3(cos)3(sin)3(sin302)3(sinda.23a3．4．3面积和体积一、面积（一）直角坐标系中的平面图形的面积（1）上若在],[ba0)(xf，则badxxfA)(。（2）上若在],[ba0)(xf，则babadxxfdxxfA)()(。（3）上若在],[ba)(xf有正有负，则badxxfA)(。1．设函数],[)(baCxf，求由直线0,,ybyax和曲线)(xfy所围成的平面图形的A面积。)(xfy)(xgyxyoabdxxgxfdA)]()([badxxgxfA)]()([dA2．设)(xf、)(xg是],[ba上的连续函数，且)()(xgxf，求由直线ax，bx，和曲线)(xfy、)(xgy所围成的平面图形的A面积。xdxx3．)(y、)(y是],[dc上的连续函数，且)()(yy，求由直线cy，dy和曲线)(yx、)(yx所围成的平面图形的A面积。dyyydA)]()([dyyyAdc)]()([)(yx)(yxoxycddAdyyy解：解方程组02222yxxy得交点为(21，1)，(2，-2)。面积微元为：,]21)211[(2dyyydA面积4921)211(122dyyyA。].1,2[积分区间为oxyxy22)1,21()2,2(022yxydyydA例4.求由抛物线xy22及直线022yx所围图形的面积。21取积分变量y为，求平面图形面积的基本步骤：（1）作曲线图形、确定积分变量及积分区间；（2）求面积微元；（3）计算定积分。21另解：为以x积分变量，oxyxy22)1,21()2,2(022yx2.49)222(22212021dxxxdxxA积分区间为[0，2]，解：解方程组22112xyxy，得两曲线的交点（-1，21），（1，21）。所围成的图形的面积。例5．求由曲线22xy、211xy与直线3x、3xxyo22xy211xy33111dxxxdxxxA223022331122112])112()211([222312102dxxxdxxx])arctan6()6[(arctan2333110xxxx).233(31xyo22xy211xy33111例6．求椭圆)2(0.sin,costtbytax的面积。解：.sin)sin(sin2tdtabdttatbydxdAdttabydxAa)sin(442002dttab202sin4.2214ababoxyaabb当曲边梯形的曲边由参数方程)()(tfytx)(21ttt，给出时，曲边梯形的面积为2121)()()]([)(ttttdtttftdtfA其中21,tt分别是曲边的起点与终点对应的参数值。解：设21)(SStS，则]1,0[)(CtS。dxtxdxxttStt)()()(212202dxtdxxdxxdxttttt121202021S2Soxy2xyt1,33103032333ttttt例7．设2xy定义在上]1,0[，上为]1,0[t任一点，问当何值时为t，图中两阴影部分的面积之和21SS具有最大值和最小值。∵31)0(S，41)21(S，32)1(S，∴21)(SStS的最大值32是，最小值41是。)12(224)(2tttttS令0)(tS，0t得，21t。1).(0,3134)(23ttttS即d)(rd(二)极坐标系中平面图形的面积xo)(rr求曲边扇形的A面积，积分变量是，],[。drdA2)]([21],[],[d，以)(r处的极径为半径，d以为圆心角的圆扇形的面积作为面积微元，即.)]([212drA图形称为曲边扇形。由曲线)(rr及两条射线，)(所围成的022)coscos21(daxo)cos1(ar02)2cos21cos223(da.23)2sin41sin223(220aa例8.求心形线)0)(cos1(aar所围成的图形的A面积。解：02]cos1([212daA得交点)3,23(A，)3,23(B。解：作出它们的草图，解方程组cos1cos3rr，由图形的对称性得例9.求由两条曲线cos3r和cos1r所围成的阴影部分的面积。)3,23(A)3,23(Boxcos3rcos1r223230cos9)coscos21(dd.45)2sin4929()2sin41sin223(2330320)cos1(212dA223)cos3(212d)3,23(A)3,23(Boxcos3rcos1r作业习题九（P198）1（2）（3）（6）；2；3（1）（2）（5）（7）(8)(9)；4；5。