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概率论发展简史概率论不仅是当代科学的重要数学基础之一，而且是当代社会和人类日常生活所必需的知识之一。正如十九世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题。你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解。甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上的。因此，整个的人类知识系统是与这一理论相联系的……。”的确，我们只要浏览一下当今的报纸，看一看电视，就会发现在某种程度上概率统计的语言已经成为人类生活中重要的一部分。然而，饶有趣味的是，这门被拉普拉斯称为“人类知识的最重要的一部分”的数学却直接地起源于一种相当独特的人类行为的探索：人们对于机会性游戏的研究思考。一、机会性游戏所谓机会性游戏就是靠运气取胜一些游戏，如赌博等。这种游戏不是哪一个民族的单独发明，它几乎出现在世界各地的许多地方，如埃及、印度、中国等。在玩骰子游戏的几千年的时间里，概率理论的某些思想可能早应该出现了。但是一直没有迹象表明人们观察到赌博与数学之间的直接关系，甚至没有发现有人意识到骰子点数下落的频率的计算是可能的、有效的，或每一面会以相同的频率出现等这些最简单的概率思想的萌芽。对于概率的思想出现得如此缓慢的现象，人们提出了许多解释的原因。这些解释包括：可能是由于缺少完美平衡和“诚实”的骰子，因而阻碍了人们发现任何可察觉的规律；或者由于缺少适当的数学概念和符号而阻碍了数学的探索；还有一个更有力的原因可能是“随机”概念本身与时空观念相对：长期以来，人们一直认为：一系列的好运和坏运都是神授的。人们相信上帝或众神以某种预先确定的计划指导着世俗的事件，所以随机不但是不可能的，甚至是不可想象的。古希腊人似乎已得到这样的结论：精确和规律只存在于神的王国，而混沌和无规律则是人类世界的特征。但是他们不愿使理想化的自然规律屈从于一个不完美的物理世界的事实，因而未能发展概率的思想。还有一个解释涉及到道德的规范，赌博长期以来被视为一种不道德的行为，历史上充满了限制、制止赌博的各种尝试。既然赌博被视为不道德的，那么将机会性游戏作为科学研究的对象也就是大逆不道了。然而这些原因没有一个得到广泛的认可，人们对每一个猜测都提出了反驳的理由。二、概率的萌芽直到文艺复兴时期，随着阿拉伯数字和计算技术的广泛传播，简单代数和组合数学的发展，并且哲学的思想开始转变、拓展时，随机事件的试验和计算在本质上才有所进展，概率的思想才开始逐渐浮出水面。现在有史可查的对于赌博问题最早加以研究的是从意大利开始的。15世纪后期和16世纪早期，当一些意大利数学家开始思考在包括赌博游戏中各种存在结果的数学的比率时，开始有了对概率第一次纯数学的处理。卡尔达诺（1501—1576）是意大利数学和医学教授，他天资聪明，常常不循规蹈矩，有着有趣而丰富的经历。他的最著名的著作是1524年出版的《伟大的艺术》，其中包括了那时所有发展起来的代数规则，包括求三次和四次方程的根的解法。在他一生中超过40年的时间里，卡尔达诺几乎每天都参与赌博。作为对在不合适的活动中浪费时间的补偿，他认真地分析了这种活动中的有价值的方面——智力因素，例如，从一副牌中抽出A的概率是多少？同时掷两个骰子，出现点数的和为七的概率是多少？等等。最终，在一本名叫《机会性游戏手册》的书中，他公布了这些调查和思考的结果和他关于赌博实践的体会。这本书成书于1526年左右，但直到一百多年后的1663年才出版。在书中他提醒他的赌徒朋友：在分牌时，得到某一张牌的机会是随着前一张牌的选走而增大的。在题为“掷一个骰子”的章节里，他写到：“我能掷出2、4、6，同时也能掷出1、3、5。因此，如果骰子是‘诚实’的，那么下赌注就应依据这种等可能性；如果骰子不是“诚实的”，那么它就以一定的或大一点或小一点的比例离开这种等可能性。”这里面已包含了“把概率定义为等可能性事件的比”的思想萌芽，即一个特殊结果的概率是所有达到这个结果的可能的方法的数目被一个事件的所有可能结果的总和所除。此时是第一次，人们看到关于骰子的问题由经验向理论的概率思想的转变。从这一角度来讲，有人认为卡尔达诺可以被称为是“概率论之父”，概率论这一个数学分支应当以此作为起点。但是这种观点并未得到广泛认可。除了卡尔达诺，伟大的天文学家伽利略也早已开始对掷骰子的问题进行数学化的思考，在一篇写于1613和1623年之间、标题为《关于骰子游戏的思想》的短文中，伽利略解释了在抛掷三枚骰子时为什么会有216种同等可能的结果的问题。三、概率的产生尽管有卡尔达诺和伽利略等先驱者的一些非常重要的工作，而概率论历史学家大多赞同这样一个观点：对于数学中一个非常特别的问题的解法的探求成为数学化的概率科学产生的标志之一，这个问题被称作“点问题”。所谓“点问题”是指当游戏在完成前被终止时，怎样处理两名技能相当的游戏者的赌金分配问题，其依据是游戏者的得分数或是游戏终止时的点数。意大利的帕巧利（1445—1509）早在1494年出版的《算术书》一书中，就提到了赌博中常常遇到的“点问题”，他是最早在数学著作中提到点问题的作者。紧接着，卡尔达诺和他的对手塔尔塔利亚(1499—1557)都讨论过这个问题。然而，所有这些人，对这一问题得出的结论都不正确。直到一百多年后，在1654年，一个名为德.梅勒（1607——1684）的法国人把这个问题寄给了当时的数学天才帕斯卡，从此概率论历史上一个决定性的阶段才开始了。帕斯卡（1623——1662）在早年就表现出了超常的数学能力，在数学史中他被称作“最伟大的天才”，他曾经对微积分、射影几何、概率论等数学分支做出了巨大的贡献。他拥有如此高的数学天赋和非常敏锐的直觉能力，他理应创造更多的发现。不幸的是，在他生命的大部分时间里，他倍受敏感性神经痛和精神幻觉症的折磨。他于1662年去世时年仅39岁。与帕斯卡共同分享概率论的创始人的声誉的法国另一位数学家费马（1601—1665）的一生则充满了喜悦与和平。他的职业是一名律师，他把他大部分的空余时间都献给了数学研究。虽然他没受过什么特别的数学训练，但是在数学这一领域中，却取得了同时代其他数学家不可比拟的重大的发现。费马的众多重要的贡献丰富了数学的很多领域，所以被称为“业余数学家之王”。德.梅勒的问题的形式是：德.梅勒和他的一个朋友每人出30个金币，两人各自选取一个点数，谁选择的点数首先被掷出3次，谁就赢得全部的赌注。在游戏进行了一会儿后，德.梅勒选择的点数“5”出现了2次，而他的朋友选择的点数“3”只出现了一次。这时候，德.梅勒由于一个紧急事情必须离开，游戏不得不停止。他们该如何分配赌桌上的60个金币的赌注呢？他们对这一问题的看法和计算方法不一致，为此而争论不休。后来德.梅勒把这个问题告诉了帕斯卡，帕斯卡对此也很感兴趣，又写信告诉了费马。于是在这两位伟大的法国数学家之间开始了具有划时代意义的通信。在通信中，两人用不同的方法正确地解决了这个问题。帕斯卡和费马正确解决了“点问题”的这一事件被伊夫斯称为“数学史上的一个里程碑”。在概率论的历史上，一般的传统观点则把这一事件看作为数学概率论的起始标志。1657年，荷兰数学家惠更斯(1629-1695)发表了《论赌博中的计算》，这是最早的概率论著作。以上数学家的著述中所出现的第一批概率论概念与定理，标志着概率论的诞生。而概率论最为一门独立的数学分支，真正的奠基人是雅格布•伯努利(1654-1705)。他在遗著《猜度术》中首次提出了后来以“伯努利定理”著称的极限定理，在概率论发展史上占有重要地位。伯努利之后，法国数学家棣莫弗(1667-1754)把概率论又作了巨大推进，他提出了概率乘法法则，正态分布和正态分布率的概念，并给出了概率论的一些重要结果。之后法国数学家蒲丰(1707-1788)提出了著名的“普丰问题”，引进了几何概率。另外，拉普拉斯、高斯和泊松(1781-1840)等对概率论做出了进一步奠基性工作。特别是拉普拉斯，他是严密的、系统的科学概率论的最卓越的创建者，在1812年出版的《概率的分析理论》中，拉普拉斯以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，开辟了概率论发展的新时期。泊松则推广了大数定理，提出了著名的泊松分布。19世纪后期，极限理论的发展成为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗—拉普拉斯的极限定理。切比雪夫的成果后被其学生马尔可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程。19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要，另一方面，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。这些问题却强烈要求对概率论的逻辑基础做出更加严格的考察。4．概率论的公理化俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯•米西斯(R.vonMises,1883-1953)对概率论的严格化做了最早的尝试。但它们提出的公理理论并不完善。事实上，真正严格的公理化概率论只有在测度论和实变函数理论的基础才可能建立。测度论的奠基人，法国数学家博雷尔(E.Borel,1781-1956)首先将测度论方法引入概率论重要问题的研究，并且他的工作激起了数学家们沿这一崭新方向的一系列搜索。特别是原苏联数学家科尔莫戈罗夫的工作最为卓著。他在1926年推倒了弱大数定律成立的充分必要条件。后又对博雷尔提出的强大数定律问题给出了最一般的结果，从而解决了概率论的中心课题之一——大数定律，成为以测度论为基础的概率论公理化的前奏。1933年，科尔莫戈罗夫出版了他的著作《概率论基础》，这是概率论的一部经典性著作。其中，科尔莫戈罗夫给出了公理化概率论的一系列基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦可以从这六条公理出发建筑起来。科尔莫戈罗夫的公理体系逐渐得到数学家们的普遍认可。由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，并通过集合论与其它数学分支密切地联系者。科尔莫戈罗夫是20世纪最杰出的数学家之一，他不仅仅是公理化概率论的建立者，在数学和力学的众多领域他都做出了开创或奠基性的贡献，同时，他还是出色的教育家。由于概率论等其它许多领域的杰出贡献，科尔莫戈罗夫荣获80年的沃尔夫奖。5．进一步的发展在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破。公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点。1931年，科尔莫戈罗夫用分析的方法奠定了一类普通的随机过程——马尔可夫过程的理论基础。科尔莫戈罗夫之后，对随机过程的研究做出重大贡献而影响着整个现代概率论的重要代表人物有莱维(1886-1971)、辛钦、杜布和伊藤清等。1948年莱维出版的著作《随机过程与布朗运动》提出了独立增量过程的一般理论，并以此为基础极大地推进了作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。1934年，辛钦提出平稳过程的相关理论。1939年，维尔引进“鞅”的概念，1950年起，杜布对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支。从1942年开始，日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程，不仅开辟了随机过程研究的新道路，而且为随机分析这门数学新分支的创立和发展奠定了基础。像任何一门公理化的数学分支一样，公理化的概率论的应用范围被大大拓广。