《数学物理方程》第1章典型方程和定解条件.

物理场特点以空间+时间为自变量24),,,(个数tzyx数学物理方程—物理问题中的偏微分方程《数学物理方程》课程介绍涉及高等数学知识多：偏导,积分,F级数,常微方程作业计算量大，运算较繁分离变量法ch2行波法积分变换法ch3格林函数法ch4不介绍相关数学理论问题1研究对象2研究内容二元二阶线性偏微分方程的求解方法3课程特点微分方程最高阶数通常考试占70%，闭卷考试平时作业30%4课程成绩空间坐标x,y,z为双向，时间坐标t为单向柔软—只承受沿切线方向的张力，不产生抗弯曲力均匀—线密度ρ为常数。振动微小—振幅及切线角度很小,高阶项可忽略.横向—质点的位移和外力沿垂直方向。1.弦振动方程假设),(txu),(txF微小横振动中位移u(x,t)的方程一波动方程双曲型方程§1典型方程的建立第1章典型方程和定解条件微元分析法基本概念三种基本类型方程,三种典型定解问题l2T22xx2MsF1T11Mds1xuox1cos,sin,xutgxsTTT21有FxuuTuMxMxtt12)()(02211cosTcosTOx:受力方向tt1122sumasFsinTsinTOu:受力方向FTuuxxxtt得令0),(2txfuauxxtt线性齐次方程自由振动线性非齐次方程强迫振动,0),(,0),(txftxf),,,()(2tzyxfuuuauzzyyxxtt一维波动方程三维波动方程2.膜振动方程),,()(2tyxfuuauyyxxtt)(1zzyyxxttuuuu3.传输线方程GRvvGLRCLCvvGRiiGLRCLCiitttxxtttxx)()(基尔霍夫定律xxttxxttvLCviLCiRG110，时，当4.电磁场Maxwell方程的任一分量和可表示HEtzyxu),,,(一维波动方程二热传导方程1导热体内温度的方程),,,(tzyxu抛物型方程表示热源强度表示导热系数，用),,,(tzyxFk能量守恒定律传热Fourier定律dsnukQ时段内传热量考虑点包含任取体积],[.),,(21ttzyxMVdtdsnukQtt21)()11通过表面传入dtFdvQVtt21)()22内热源产生dvdttucQVtt21)()33内温升吸热dvukdsnukQQQ)(321和MVn控制体法Fukcukt)(,为常数若0)(),,(,],[21FukcuzyxMttVt处必然有所以在是任意取的和由于0]))(([21dtdvFukcuttt),,,()(2tzyxfuuuauzzyyxxt三维热传导方程)(0),,,(),(0),,,(齐次无热源非齐有热源tzyxftzyxf),,()(2tyxfuuauyyxxt),(2txfuauxxt二维热传导方程一维热传导方程2导热板3导热杆2静电场电位0zzyyxxuuu三Laplace方程1热传导的稳定状态若热传导趋于平衡,温度u(x,y,z,t)趋于u(x,y,z)热传导方程转化成为有当,0,tutLaplace方程),,(zyxfuuuzzyyxxPoisson方程椭圆型方程实际中很多问题都归结为上述三种类型的方程0zzyyxxuuu0§2初始条件与边界条件描述具体的弦振动问题波动方程+开始时的位移与速度+端点的状况后两者是附加条件,数学上称为定解条件偏微分方程描述某一类现象的一般规律,有无数多个解描述具体物理过程一般规律+特定附加条件初始时刻t=t0的(能量)状态)()0,(0)()0,(00),(12xxutxxutttxfuautxxtt度的初始速时刻给定的初始位移时刻给定波动方程一初始条件IC)()0,(00),(22xxutttxfuauxxt的初始温度设过程给定热传导方程2个1个不给初始条件无关的问题过程是与方程,),,(3tzyxfuuuLaplacezzyyxx0个有限远边界上的状态二边界条件BC表示外法线方向空间封闭曲面—三维平面封闭曲线—二维和两端点—一维nlxx01边界),(),(tMtMuuM界上的值在边给定未知函数2边界条件的提法第1类BC点—上是边界设M),()()()(tMunutuuuMMMxx三维一维第3类BC界上的组合值在边给定未知函数u界上的空间导数值在边给定未知函数u第2类BC),(),()(),(0tMtMnututMuMx二三维一维度的介质中去围温度是杆的热量自由发散到周Mu的边界条件给定函数齐次0:BC§3定解问题的适当提法稳定唯一存在定解问题的解必须一定解问题的适定性—无解表明“过定”—多解表明“不定”:对定解条件连续依赖2.描述确定物理过程：定律+相应约束条件建立数学定解问题：方程+适当定解条件,解唯一3.定解问题适定解存在、唯一,且稳定二三种适定的定解问题各定解问题的适定性已在数学上给出了理论证明)/(:.1ICBCDE或和定解条件偏微分方程定解问题1.初值问题(柯西问题))()0,()()0,(),0(),(2xxuxxuxttxfuautxxtt无限长弦振动没有边界DE+IC)0()()0,()()0,()0()(),(),(),0()0,0(),(02lxxxuxxuttutlututulxttxfuautlxxtt2.混合问题(初边值问题)有限长弦振动(或2、3类BC)DE+IC+BC有限长杆热传导(或2、3类BC))0()()0,()0()(),(),(),0()0,0(),(02lxxxuttutlututulxttxfuaulxxt无限长杆热传导)()0,(),0(),(2xxuxttxfuauxxt3.边值问题与时间无关DE+BC),,(),,(),,(),,(zyxzyxuDzyxzyxfuuuDzzyyxx(或2、3类BC)有限值或无穷远边界不给可以混合使用三类要给满所有边界点一般的偏导阶数方程中对的数目),(.3,)(.2.1tuBCBCBCtIC注1.偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程2.阶偏微分方程中出现的偏导数的最高阶数3.微分方程的解代入偏微分方程使成为恒等式的函数解析解(含级数形式和积分形式)通常不先通解再特解DnnnddyxfnxyBnxyAyxu),,,(sin)(cos)(),(1或§4线性偏微分方程迭加原理0),(1yxyyxyxxuuu,y,x,FCu2BuAu的函数仅为、、、、)(yx,FEDCBA齐次非齐次00)(yx,f二阶拟线性0),,,(yyxyxxyxuuu,uuu,y,x,F一般形式4.二阶偏微分方程分类--线性与非线性偏导都要出现yx,)(yx,fFuuEDuCu2BuAuLuyxyyxyxx线性的函数仅为、、)(yx,CBA的函数为、、),(yxuuu,y,x,CBA特殊形式关于二阶导线性的解为则对任意常数设22112211212211,,,,fcfcLuucucuccfLufLu6.线性偏微分方程的叠加原理5.二阶线性方程类型方程—椭圆型热传导方程—抛物型波动方程—双曲型Laplace-ACB2000的解是则)()()0,()()()0,()()(),()()(),0(),(),(),(),(),(212100212xxxuxxxutwtvtlutwtvtutxftxfuautxwtxvtxutllxxtt)()0,()()0,()(),()(),0(),(,)()0,()()0,()(),()(),0(),(2202211012xxwxxwtwtlwtwtwtxfwawxxvxxvtvtlvtvtvtxfvavtlxxtttlxxtt设的通解0qyypy)sincos()()(212121121xcxceexccececxYxxrxrxr)()(dxeqCexypdxpdx7.线性常微分方程求解)()()()(*xyxYxyxfqyypy的通解的特解)(xfqyypy时当时当)sin)(cos)(()()1,0()sin)(cos)(()()()2,1,0()()(*xxQxxPexfkxxSxxRexxPexfkxQexxynnxnnxknxnxk其他，常数变易法)(xf的通解)()(xqyxpydxkfkkxCkxCxyx)](sin[)(1sincos)(021的通解)(2xfyky0)()()(22rRnrRrrRr2阶Euler方程)()(2tRntR方程为)()()(,tReRrRertt则令nnnnntnntnnrDrCeDeCrRnrDCtDCrRn)(,0ln)(,000000时当时当特解条件边界初始通解)(