函数模型及其应用-PPT

1函数模型及其应用基本初等函数21.常见的函数模型（1）一次函数模型：；（2）反比例函数模型：；（3）二次函数模型：；（4）正比与反比和函数模型：；y=kx+b（k≠0）(0)kyckxby=ax2+bx+c（a≠0）(0)byaxabx3（5）指数函数模型：；（6）对数函数模型：.2.应用函数模型解决实际问题的一般步骤：（1）阅读题目，理解题意；（2）设置变量，建立；（3）应用函数知识和数学方法；（4）检验、.y=kax+b（k≠0）y=klogax+b（k≠0）函数关系解决问题作答41.已知f（x）是偶函数,且图象与x轴有4个交点,则方程f（x）=0的所有实根的和是（）A.0B.1C.2D.4偶函数的图象关于y轴对称，所以四个交点的横坐标之和为0，故选A.52.若a,b是正常数，且a≠b，x,y∈（0,+∞），则当且仅当时取等号.利用以上结论，函数取得最小值时，x的值为（）A.1B.C.2D.222(),ababxyxyabxy291()(0)12fxxxx15136由得当且仅当即x=时，f（x）取得最小值25.222(),ababxyxy22223(23)()25,2122(12)fxxxxx23,212xx1573.若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根（精确到0.1）为（）f（1）=－2f（1.5）=0.625f（1.25）=－0.984f（1.375）=－0.260f（1.4375）=0.162f（1.40625）=－0.0548A.1.2B.1.3C.1.4D.1.5由于f（1.4375）=0.1620,f（1.40625）=-0.0540,且|1.40625-1.4375|=0.031250.1，所以由二分法可知其根在区间（1.40625，1.4375）上，故选C.94.设函数f（x）的定义域为D，如果对于任意的实数x1∈D，存在唯一的实数x2∈D，使f（x1）+f（x2）2=C（C为常数）成立，则称函数y=f（x）在D上的均值为C.给出下列四个函数：①f（x）=x3；②f（x）=sinx；③f（x）=lgx；④f（x）=3x.则满足在其定义域内的均值为2的所有函数是.12()()2fxfxC10对于f（x）=sinx，任取x1∈R，则不存在x2∈R，使sinx1+sinx2=4成立；对于f（x）=3x，任取x1∈R，则不一定存在x2∈R，使3x1+3x2=4成立.答案：①③5.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的75%，则存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式为.y=0.25x（x∈N）111.函数方法（1）A、B两地相距20公里，甲以每小时6公里的速度从A地前往B地，设t小时后，甲离B地的距离为y公里，写出y关于t的函数表达式.（2）某人有一笔资金用于投资，第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番.设x天后回报的总金额为y（元），写出y关于x的函数表达式.y=20-6t（0≤t≤）103y=0.4·2x-1（x∈N*）12（3）某旅行社组团参加莲花山文化一日游，预测每天游客人数在50至130人之间，游客人数x（人）与游客的消费总额y（元）之间近似地满足关系：y=-x2+240x-10000.那么游客的人均消费额最高为元.（4）计算机成本不断下降，若每隔3年计算机价格降低，现在价格为8100元的计算机，则9年后的价格可降为元.40240013132.图象理解（1）已知函数y1=x2,y2=2x，当y1y2＞1时，x的取值范围是.（2）某工厂从2000年开始，近八年以来生产某种产品的情况是：前四年年产量的增长速度越来越慢，后四年年产量的增长速度保持不变，则该厂八年来这种产品的产量y可用图象表示为.（2,4）B14（3）已知函数f（x）=3ax+1-2a，在［-1,1］上存在x0，使f（x0）=0（x0≠±1），则实数a的取值范围是.（4）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示.盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半.设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是.A.h2＞h1＞h4B.h1＞h2＞h3C.h3＞h2＞h4D.h2＞h4＞h1（-∞,-1）∪（15,+∞）A15题型1一次函数模型某商人购货，进价已按原价a元扣去25%，他希望对货物订一个新价，以便按新价让利20%后仍可获得售价25%的纯利，求此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式.16设新价为b元，则售价为b（1-20%）元.因为原价为a元，所以进价为a（1-25%）元.依题意得b（1-20%）-a（1-25%）=b（1-20%）·25%，化简得b=a，故y=20%bx=x（x∈N*）.【评注】本题关键是要理清原价、进价、新价之间的关系，为此，引进了参数b，建立新价与原价的关系，从而找出了y与x的函数关系.544a17电信局为了配合客户的不同需要，设有方案A、B两种优惠方案，这两种方案的应付电话费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系如图所示，折线PMN为方案A，折线CDE为方案B，MN∥DE.（1）若通话时间为x=2小时，按方案A、B各付话费多少元？（2）方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？（3）当方案B比方案A优惠时，求x的取值范围.18（1）方案A：由M（60,98），N（500,230）.方案B：由MN∥DE，得当x=120时，fA（120）=×120+80=116,fB（120）=168.98(060)().380(60)10Axfxxx得168(0500)().318(500)10Bxfxxx31019（2）因为fB（n+1）-fB（n）=（n+1）+18-310n-18=0.3，所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元.（3）由图可知，MN与CD的交点为（,168），所以，当0x≤时，fAfB；当x时，fAfB.故所求x的取值范围是（,+∞）.310310880388038803880320题型2二次函数模型某型号的电视机每台降价x成（1成为10%），售出的数量就增加mx成，m∈R+.（1）若某商场现定价为每台a元，售出量是b台，试建立降价后的营业额y与x的函数关系.问当m=时，营业额增加1.25%，每台降价多少元？（2）为使营业额增加，当x=x0（0x010）时，求m应满足的条件.5421（1）每台降价x成后的价格为a（1-）元，降价后售出量为b（1+）台，则y=a（1-）·b（1+）=ab（x2+m-11x+1）.当m=时，y=ab（++1）.因为营业额增加1.25%，所以1.25%ab=++1，即x2-2x+1=0，得x=1，即每台降价1成（10%）.10x10mx10x10mx100m110m280x40x280x40x22（2）为使营业额ab增加，当x=x0时，y=ab（++1）.依题意得y-ab0，即解得m（0x010），这就是m应满足的条件.【评注】本题的关键是弄清关系式：销售额=销售量×价格，建立降价前与降价后销售额的等量关系，找出未知的等量关系是解决函数应用题的基本思路和规律.20010,10100mmxx0110mx20100mx01010x23某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格P（吨/元）之间的函数关系为P=24200-x2，且生产x吨的成本为R=50000+200x元，问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？设生产x吨产品，利润为y元，1524则y=Px-R=（24200-x2）·x-（50000+200x）=-x3+24000x-50000.令y′=-x2+24000=0，得x=200.所以当每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润是315万元.15153525题型3分段函数模型某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂价不能低于51元.设销售商需要一次性订购这种零件x（0x≤600）个，已知这种零件的实际出厂单价为P元.（1）写出函数P=f（x）的表达式；（2）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？（3）当x为多少时，厂家获得的利润最大？26（1）当0x≤100时，P=60.当100x550时，P=60-0.02（x-100）=62-;当550≤x≤600时，P=51.所以50x60(0100)62(100550)(N).5051(550600)xxPxxx27（2）由（1）知，当销售商一次订购500个零件时，出厂价为52元，获得的利润是（52-40）×500=6000（元）.故一次性订购600个时，利润最大.202000(0100)(40)(226050(100550).50(5140)6600(550600)xxxyPxxxxx（3）利润28【评注】现实中这一类问题应用较多，如手机收费问题，上网收费问题，计程车收费问题等优惠方案都与分段函数有关.正确理解题意，把握好对自变量的分段是解题的关键.29某地居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨水1.8元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元，又已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨和3x吨.（1）求y关于x的函数；（2）若甲、乙两户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.30（1）甲户用水量不超过4吨时，自然乙的用水量也不超过4吨，即5x≤4，即x≤,则y=（5x+3x）×1.8=14.4x;当甲户用水量超过4吨，乙用水量不超过4吨，即x≤时，则y=（4+3x）×1.8+（5x-4）×3=20.4x-4.8；当乙户用水量超过4吨，即x时，4543434531则y=（4+4）×1.8+（5x-4+3x-4）×3=24x-9.6.于是（2）由于函数在各段上都是增函数，414.4(0)544()20.44.8().534249.6()3xxyfxxxxx32当x∈［0,］时，y≤f（）26.4；当x∈（,］时，ymax=f（）26.4;当x∈（,+∞）时，由y=24x-9.6=26.4，得x=1.5.所以，甲户：用水量为5x=7.5吨；付水费为4×1.8+3.5×3=17.7（元）；乙户：用水量为3x=4.5（吨）；付水费为4×1.8+0.5×3=8.7（元）.43454545434333题型4分式函数模型某公司欲建连成片的网球场数座，用128万元购买土地10000平方米，该球场每座的建筑面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建筑费用与球场数有关.当该球场建n个时，每平方米的平均建筑费用记为f（n），且f（n）=f（m）（1+）（其中n＞m，n∈N），又知建五座球场时，每平方米的平均建筑费用为400元.为了使该球场每平方米的综合费用最省（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应建几个球场？20nm34设建成x个球场，则每平方米的购地费用为元，即元.由题意知f（5）=400，f（x）=f（5）（1+）=400（1+），从而每平方米的综合费用为y=f（x）+，所以y=20（x+）+300≥20×+300=620（元），当且仅当x=8时等号成立.故当建成8