第六章基于小波变换的故障诊断方法

第六章基于小波变换的故障诊断方法小波变换的基本原理奇异性的检测基于小波变换的原油管道泄漏检测一、小波变换的基本原理小波变换是由法国理论物理学家Grossmann与法国数学家Morlet共同提出的。小波分析是近20多年来发展起来的新兴学科，其基础是平移和伸缩下的不变性，这使得能将一个信号分解成对空间和尺度的独立贡献，同时又不丢失原有信号的信息。小波的由来小波变换是一种能够在时间－频率两域对信号进行分析的方法，具有可以对信号在不同范围、不同的时间区域内进行分析，对噪声不敏感，能够分析到信号的任意细节等优点，在信号处理领域获得越来越广泛的应用，被誉为“数学显微镜”。小波分析和Fourier分析傅立叶变换是一个十分重要的工具，无论是在一般的科学研究中，还是在工程技术的应用中，它都发挥着基本工具的作用。从历史发展的角度来看，自从法国科学家J.Fourier在1807年为了得到热传导方程简便解法而首次提出著名的傅立叶分析技术以来，傅立叶变换首先在电气工程领域得到成功应用，之后，傅立叶变换迅速得到越来越广泛的应用，而且理论上也得到了深入研究。傅立叶变换最重要的意义是它引进了频率的概念，他把一个函数展开成各种频率的谐波的线性叠加，由此引出了一系列频谱分析的理论。很多在时域中看不清的问题，在频域中却能一目了然。因此，长期以来，Fourier分析理论不论在数学中还是工程科学中一直占领着极其重要的地位。傅立叶分析的实质在于将一个任意的函数f(t)表示为具有不同频率的谐波函数的线性叠加。即一族标准函数的加权求和，从而将对原来函数的研究转化为对这个叠加的权系数的研究：}{Retidegtfti)(21)(其中，权函数：dtetfgti)(21)(就是原来函数f(t)的傅里叶变换。经过以上的变换，就将对)}({)()(1gFgtf的研究，转化为对权系数，即其傅氏变换)}({)()(tfFfg的研究。从以上分析可知，经典的傅氏分析是一种纯频域分析。上式中，各符号的含义：表示频域函数；表示对原函数f(t)的傅里叶变换；表示对频域函数的傅里叶反变换。)(g)(f)(g)(g傅里叶变换是时域到频域互相转化的工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把f(t)这个波形分解成许多不同频率的正弦波的叠加和。从傅里叶变换中可以看出，这些标准基是由正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。例：假设一信号的主要频率成分是100Hz和400Hz，如下图所示，通过傅里叶变换对其频率成分进行频域分析。上图为原始信号，从图中看不出100Hz和400Hz的任何频域信息。但从下图的信号频谱分析中，可以明显看出信号的频率特性。从上例中可知，虽然傅里叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域进行观察，但却不能把两者有机地结合起来。信号的时域波形中不包含任何频域信息；而其傅里叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息。也就是说，对于傅里叶谱中的某一频率，不知道这个频率是在什么时侯产生的。这样，在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。如在故障诊断中，故障点（机械故障、控制系统故障、电力系统故障等）一般都对应于测试信号的突变点。对于这些时变信号进行分析，通常需要提取某一时间段（或瞬间）的频率信息或某一频率段所对应的时间信息。因此，需要寻求一种具有一定的时间和频率分辨率的基函数来分析时变信号。为了研究信号的局部特征，科学家们提出了一些对傅里叶变换进行改进的算法，其中短时傅里叶变换（ShortTimeFourierTransform－STFT）就是比较有代表性的一种。短时傅里叶变换是一种折衷的信号时、频信息分析方法，它是DennisGabor于1946年提出的。短时傅里叶变换的基本思想是：通过给信号加一个小窗，将信号划分为许多小的时间间隔，用傅里叶变换来对每一个时间间隔内的信号进行分析，以便确定该时间间隔内的频率信息。它假定非平稳信号在分析窗函数g(t)的这个短时间间隔内是平稳的（伪平稳），并移动分析窗函数，使f(t)g(t-τ)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。短时傅里叶变换定义如下：dtetgtffFtig)()(21),(其中，f(t)是待分析的信号；函数是的复共轭函数；g(t)是固定的紧支集函数，称为窗口函数。)(g)(g随着时间τ的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t轴上移动，使f(t)“逐渐”进行分析。短时傅里叶变换大致反映了f(t)在时刻τ时，频率为ω的“信号成分”的相对含量。),(fFg这样，信号在窗函数上的展开就可以表示为在],[],[、这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，δ和ε分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时－频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率越高。为了得到更好的时频分析效果，希望δ和ε都非常小，但是由海森堡测不准定理（HeisenbergUncertaintyPrinciple）可知，δ和ε是互相制约的，两者不可能同时都任意小。（事实上，δ·ε≥0.5，且仅当g(t)为高斯函数时，等号成立。）由此可见，短时傅里叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅里叶变换不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定了，τ和ω只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。可以说，短时傅里叶变换是具有单一分辨率的分析，这对分析信号来说是很不利的。因为，一般来说高频信号持续的时间比较短，低频信号持续的时间比较长。为了更好地分析信号，信号的高频成分需要窄的时间窗，而信号的低频成分需要宽的时间窗。而单一分辨率无法满足这种要求。正是由于傅立叶分析理论存在上述缺陷，人们一直在寻找更好的基来展开和描绘任意函数，经过多年的探索和总结，逐渐发展成为小波分析理论。小波变换继承和发展了短时傅里叶变换的局部化思想，并且克服了其窗口大小和形状固定不变的缺点。它不但可以同时从时域和频域观测信号的局部特征，而且时间分辨率和频率分辨率都是可以变化的，是一种比较理想的信号处理方法。1984年，法国地球物理学家Morlet在分析地震波的局部性质时，发现传统的Fourier变换难以达到要求，因而引入小波概念用于对信号进行分解。小波变换理论发展过程中的重要阶段1985年，Meyer构造了具有一定衰减性质的光滑函数ψ，它的二进制伸缩与平移构成了L2(R)的规范正交基，这一发展标志着小波热的开始。1986年，Lemarie和Battle分别提出了具有指数衰减的小波函数。1987年，法国马赛召开第一次有关小波的国际会议。1990年，崔锦泰和王建忠构造了基于样条函数的单正交小波函数。1988年，Mallat与Meyer合作提出了多分辨分析的框架。1988年，Daubechies构造了具有有限支集的正交小波基。在美国Pure＆Appl.Math.发表一篇长达87页的论文，被公认是小波分析的经典文献。1989年，Mallat在多分辨率分析基础上，构造了Mallat算法。为此，Mallat于1989年荣获IEEE论文奖。1990年，Meyer等出版第一部小波系统性专著《小波与算子》，共三卷。尤众、王耀东、邓东皋等译校成中文本（共两册）。这套书详细研究了各种小波基的构造，小波基与函数空间的关系，小波分析在复分析、算子论、偏微分方程与分线性分析等方面的应用。1991年，邓东皋等在《数学进展》上发表“小波分析”－国内第一篇小波论文。对国内小波的研究和应用起了很大的推动作用。1992年，Daubechies的《小波10讲》系统论述了正交小波的紧支性、正则性、对称性及时频特性，介绍了离散小波变换和连续小波变换等。到此，经典小波理论已基本成熟，1992年以后，在国际上，重点转向小波的推广和应用。在国内，由于对小波的研究起步较晚，20世纪90年代以来，可以说小波的理论研究和应用研究几乎同时开始。1994年，形成国内的小波高潮。近十年来，小波理论一直在各个不同研究领域扮演着重要的角色。主要集中在数学物理（如分形、混沌、求解方程等）、图像与数据压缩、信号处理、神经网络、故障诊断与检测、石油地质勘探等方面。定义1：称满足的函数f(x)为平方可积函数，并把这类函数的集合记为L2(R)。其中，R表示实数集合。dxxf2)(若f(x)，g(x)∈L2(R)，α，β为常数，则αf(x)＋βg(x)∈L2(R)。因此，L2(R)构成了一个线性空间。我们称其为平方可积函数空间。预备知识定义2：在L2(R)空间中的内积f，g定义为：dxxgxfgf)()(,其中，表示g(x)的共扼。)(xg定义3：在L2(R)空间，函数f(x)的范数‖f(x)‖定义为：dxxfdxxfxfxf22)()()()(定义4：在L2(R)空间，若：内积f，g＝0，则称函数f与函数g正交。定义5：在L2(R)空间，两个函数f(x)与g(x)的卷积定义为：duuxgufxgf)()()(定义6：函数f(x)的傅里叶变换定义为：dxexffxi)()(ˆ)(ˆf定义7：对任意函数f(x)，其扩张函数fs(x)定义为：)(1)(sxfsxfs其中，s为尺度因子（scalefactor），或简称为尺度。定义8：把希尔伯特空间（Hilbertspace）中的可测的、平方可积的两维函数构成的子空间记作：L2(R2)。函数f(x，y)∈L2(R2)的经典范数‖f(x，y)‖定义为：定义9：dydxyxff22),(f(x，y)∈L2(R2)的傅里叶变换‖f(x，y)‖定义为：定义10：dydxeyxffyxiyxyx)(),(),(ˆ定义11：设f(t)为在R上定义的函数，我们称集合为函数f(t)的支集（即f(t)≠0的点所构成的集合的闭包）。具有紧支集的函数就是在有限区间外恒等于零的函数。}0)({tft小波与小波变换我们称满足条件定义12：Cdd0202)(ˆ)(ˆ的平方可积函数ψ(x)（即ψ(x)∈L2(R)）为基本小波，或小波母函数。函数f(x)∈L2(R)的连续小波变换定义为：定义13：dusuxufsxfxsWsf)()(1)(),(其中，*表示卷积。因此，Wf(s，x)关于x的傅里叶变换可以表示为：)(ˆ)(ˆ),(ˆsfsWf由定义13可知，小波变换Wf（s，x）是尺度s与空间位置x的函数。小波变换通过ψ(x)在尺度上的伸缩和空间域（时域）上的平移来分析信号。尺度s增大时，ψs在空间域（时域）上伸展，小波变换的空间域分辨率降低；ψs(ω)在频域上收缩，其中心频率降低，变换的频域分辨率升高。反之，尺度s减小时，ψs在空间域（时域）上收缩，小波变换的空间域分辨率升高；ψs(ω)在频域上伸展，其中心频率升高，变换的频域分辨率降低。连续小波变换的定义也即：当检测低频信号时（即对于大的s0），时间窗会自动变宽，以便在低频域用低频对信号进行轮廓分析。反之，当检测高频信息时，（即对于小的s0），时间窗会自动变窄，以便在频率域用较高的频率对信号进行细节分析。因而，小波分析具有“数学显微镜”的美誉。图小波变换的时－频窗口例：图联合时频分析小波变换可以对信号做联合时-频域分析得到其特征。最下面的图是信号在时域的波形，右上图为该信号的频谱，左上的大图为联合时频分析一种算法的结果，前后两个400Hz的频率成分通过联合时频分析可以清楚地看到，而传统傅立叶变换则只能分辨出含有400Hz的信号，不能从时域上分辨出包括两个400