XX方差分量估计

方差—协方差分量估计（Variance--Covariance-ComponentEstimation）一、概述二、Helmert方差—协方差分量估计三、Helmert方差分量估计四、Helmert方差分量估计简化公式五、方差分量估计应用随机模型：0E(Δ)120TΔPσ)E(ΔΣ1ttn1nXA)LE(或AXΔLtAR)(满秩的高斯－马尔柯夫线性模型：函数模型：最小二乘解：PLAPAAXTT1)(ˆ1ˆ)(PAAQTX为最优线性无偏估计量XˆXXE)ˆ(min)(ˆXQtr满足：一、概述参数最小二乘估值是最优线性无偏估计量单位权方差的估值具有无偏性和渐进最优性。函数模型误差不显著随机模型误差不显著无异常误差一、概述（续）最小二乘估计的最优性及其条件随机模型不精确观测量验前方差不合理观测量的权不合理观测量的贡献不合理方差分量估计参数解及验后精度估计有偏差实际问题于解决途径一、概述（续）采用验后估计法重新估计各类观测量的方差，重新确定观测量的权，重新进行参数估计——随机模型验后估计法，也称为方差协方差分量的验后估计。一、概述（续）方差—协方差分量估计方法分类Helmert法最小二次无偏估计——MINQUE法最优不变二次无偏估计——BIQUE法极大似然估计法等一、概述（续）基本思想利用验前观测方差确定各类观测值初始权；参数估计；利用残差向量对随机模型作验后估计；重新定权；再进行参数估计，直至收敛。V参数估计)E(ΔΣTΔ2020122.01σ,σ,σ判断?σσσ202012201若不成立，重新定权平差（重复上述步骤）P（原始权）i~（经验值）流程图二、Helemrt型方差－协方差分量估计1.问题220221012120121201QQQQ20i为单位权方差202012201实际上很难保证：成立！地壳形变可以同时顾及几何观测量和物理观测量（如NUVEL系列地球物理模型给出的信息）的精度不匹配；不同时期的GPS网联合平差的内部精度不合理；全国天文大地网与空间网联合平差各类观测方差不协调；重力场推估中观测量方差与模拟的验前协方差不匹配…例如2、两类观测值的方差—协方差分量估计212121ˆLLXAAVV220212012120121201QQQQ误差方程先验方差2121,,QQQ已知，012202201,,待定。方差—协方差分量估计的目的是，通过残差及其二次型，求出估值。iViiTiVPV012202201,,其中：二、Helemrt型方差－协方差分量估计2322212020122012设：T111)0(2第一次平差取：2121210QQQQ2121210PPPPP则有：设：00011PR0012122PPR23000PR00011QU0012122QQU23000QU二、Helemrt型方差－协方差分量估计二、Helemrt型方差－协方差分量估计则：312iiiU310iiU310iiRPGLLIPAANVT)(1IPAANGT1真真GLLLGGLV)(真GLG由G—M函数模型知，AXLEL)(真由参数平差知：GAXGL真AXIPAANT)(1AXPAXAANT10真GLGV有：)(VRVEiT)(GRGEiTT))((GRGtrEiTT))((TiTGRGEtrGV)GΣRtr(GΔiT312jjjU)σGURGtr(31j2jjiT31j2jjiT)σGURtr(G利用关系式二、Helemrt型方差－协方差分量估计二、Helemrt型方差－协方差分量估计VRVVRVVRVGURGtrGURGtrGURGtrGURGtrGURGtrGURGtrGURGtrGURGtrGURGtrTTTTTTTTTTTT321232221332313322212312111ˆˆˆ)()()()()()()()()(VWT2ˆVWT12ˆ写成矩阵形式：方差—协方差分量估计式：31j2jjiTiT)σGURtr(GV)RE(V简写3、K类观测值的方差—协方差分量估计k20kk101k1k20k1201ΔQσQσQσQσΣ个个2)1(020kkkiji21)k(k21)k(kktVRVVRVσσ)GURtr(G)GURtr(G)GURtr(G)GURtr(GtT1T2t21ttT1tTt1T11Tˆˆ未知数：二、Helemrt型方差－协方差分量估计4、计算步骤iji020,00,P（1）选定的初值，确定；VRVViT（2）平差求出；jiΔT1U,RI),PA(ANG)()(020,,ˆkkijjP（4）求解；（5）循环。200202201ˆij条件为：εσσmax20j20i或：（3）组成二、Helemrt型方差－协方差分量估计分析为避免出现病态或降秩，观测分组不宜过多，分组多计算量也大。必需有足够的多余观测，以使估值具有良好的统计性质，即方差－协方差估计应在大子样条件下进行。估值过程中，方差因子估值可能会出现负值，此时，应分析找出原因重新分类计算。一般情况下两类观测值之间不相关,故协方差分量无需估计；方差—协方差分量估计中参数过多，计算复杂。二、Helemrt型方差－协方差分量估计三、Helemrt型方差分量估计1、Helmert方差分量估计的严密公式0,0,0ijijijPQ设各类观测量之间随机独立，即2202120122021201212012120100QQQQQQ随机独立两类观测的随机模型待估参数不包括协方差项。两类观测情形2i1,j20jj1i120i2i1i1iiiTiσ)NNNtr(Nσ))Ntr(N)N2tr(N(VPVˆˆnVWS2ˆ可以得到TTTVVPVVPVW22211122121221112111211111)Ntr(N)N2tr(Nn)NNNtr(N)NNNtr(N)Ntr(N)N2tr(NnSVWS12ˆ其中：解为：三、Helemrt型方差分量估计式中112ˆkVkkkWS)NNNtr(N)N2tr(tr(Nn对称)NNNtr(N)NNNtr(N)N2tr(tr(Nn)NNNtr(N)NNNtr(N)NNNtr(N)N2tr(NnSk1k1k1kk1212121212k11121111111111Tk202022012ˆˆˆˆTkkTkTTVVPVVPVVPVW222111K类观测情形三、Helemrt型方差分量估计三、Helemrt型方差分量估计2、算例与分析解：（1）根据先验中误差，进行第一次定权1σσP2β20β2222s20s/cm)0.56(21.5σσP边角网中，3已知点，2个未知点，网中观测了12个角度，6个边长，根据经验，测角中误差1.5秒，边长测量中误差2.0cm，要求按参数平差方法进行Helmert方差分量估计，求角度和边长观测值方差估值。（2）进行第一次平差，得到改正数，并计算N，N1，N2VWS12ˆ（3）根据公式，计算方差因子估值，比值为：)3.594(σ220β)3.4323(σ220s（4）依据方差因子估值，重新计算各类观测方差估计值)3.594(1*3.594Pσσ2120β2β)6.1291(cm(0.56)*3.4323Pσσ211s20s2s0.96:1σ:σ20s20β三、Helemrt型方差分量估计（5）重复第一步，第二次确定各自观测值的权1σσP2β20β)/cm0.59(6.12913.5094σσP222s20s三、Helemrt型方差分量估计（6）再次平差，得到方差估值，比值为：)3.619(σ220β)3.5438(σ220s0.98:1σ:σ20s20β)(619.322m)(0064.6)59.0(*5438.3212cmms（7）第三次给观测值赋权，再平差，最后求得比值为：，满足要求，估计过程结束。据此，求取各种估计量。)3.6285(σ220β)3.582(σ220s0.99:1σ:σ20s20β)/cm0.603(6.00643.619σσP222s20s1σσP2β20β三、Helemrt型方差分量估计迭代02.252.252.254.000.56013.5943.4323.5946.1290.59023.6193.5443.6196.0060.60333.6283.5823.6285.9400.61020βσ20sσ2βσ2sσsp0.99:1σ:σ20s20β四、Helemrt型方差分量简化估计公式1、背景方差分量严密估值公式，计算得到的估值无偏；大型控制网而言，严密公式计算量仍然很大；需要大量矩阵相乘和求迹,同时存储法矩阵的逆，以及所有法矩阵的子块，存储量大；应该寻找简化计算方法。于是有20ii1i20i1i120ii1i20ik1jj1i120ii1ik1j20ij1i120ii1iki1,j20jj1i120i2i1i1iiiTiσ)}Ntr(N{σN)NNtr(Nσ)}N2tr(N{σ)NNNtr(Nσ)}N2tr(N{σ)NNNtr(Nσ)}N2tr(N{σ)NNNtr(Nσ))Ntr(N)N2tr(N(VPVˆˆˆˆˆˆˆˆˆnnnnn四、Helemrt型方差分量简化估计公式2、简化公式2020i20k202201σσσσσ令迭代开始时，上式并不成立，估值有偏，若干次迭代计算后，上式成立，估值无偏。注意：)Ntr(NnVPVσi1iiiTi20iˆ为第个分区观测个数。ini2020i20k202201σσσσσ四、Helemrt型方差分量简化估计公式如果正确，则有P2020ˆˆiVPVVPVTkiiiTi1k1i20i1ik1iiiTiσ)}Ntr(N{nVPVˆ20k1ii1σ)}Ntr(N{nˆ201σN)}tr(N{nˆ20mmσ))Itr((nˆ20k1iiiTiσm)(nVPVˆ20ΔTσm)(nVPVˆ四、Helemrt型方差分量简化估计公式3、特殊情形mnVPVσΔT20ˆ4.计算步骤确定初始权P0平差求出求和计算判断VX,ˆiiTiVPV)(1iNNtr)Ntr(NnVPVσi1iiiTi20iˆ?σσσ20k202201四、Helemrt型方差分量简化估计公式五、方差分量估计应用2、GPS向量网方差分量估计应用1）各类GPS处理软件解得的基线向量解的精度经常不合理，一并处理时，可能会造成基线向量间的权比失调；2）考虑观测方案、测量条件、观测区域等原因，向量网分区平差时也需考虑权比。1、地面网与空间网联合平差地面观测数据与空间观测数据权比的合理配置3.地壳形变测量滤波解结合方差分量估计4.卫星定轨中的应用1）各种观测资料之间的权比问题；2）同类观测资