线面垂直、面面垂直知识点总结、经典例题及解析、高考题练习及答案

直线、平面垂直的判定与性质【知识梳理】一、直线与平面垂直的判定与性质1、直线与平面垂直（1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。（2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。结论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面，记作.//abba（3）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。即,//abab.由定义知：直线垂直于平面内的任意直线。2、直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角或者直角叫做这条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，该直线与平面所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，则此直线与平面所成的角是00的角。3、二面角的平面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如果记棱为l，那么两个面分别为、的二面角记作l.在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两射线所构成的角叫做叫做二面角的平面角。其作用是衡量二面角的大小；范围：000180.二、平面与平面垂直的判定与性质1、定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.2、判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。简述为“线面垂直，则面面垂直”，记作ll.3、性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直，记作lmmml.【经典例题】【例1】（2012浙江文）设l是直线,a,β是两个不同的平面（）A．若l∥a,l∥β,则a∥βB．若l∥a,l⊥β,则a⊥βC．若a⊥β,l⊥a,则l⊥βD．若a⊥β,l∥a,则l⊥β【答案】B【解析】利用排除法可得选项B是正确的,∵l∥a,l⊥β,则a⊥β.如选项A:l∥a,l∥β时,a⊥β或a∥β;选项C:若a⊥β,l⊥a,l∥β或l;选项D:若若a⊥β,l⊥a,l∥β或l⊥β.【例2】（2012四川文）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行【答案】C【解析】若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能相交,所以A错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行,故B错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故D错;故选项C正确.【例3】（2012山东）已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么在平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集．其中正确的是（）A．①②③B．①④C．①②④D．②④【答案】C【解析】如图1，当直线m或直线n在平面α内时有可能没有符合题意的点；如图2，直线m、n到已知平面α的距离相等且所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线，从而选C.【例4】（2012四川理）如图，在正方体1111ABCDABCD中，M、N分别是CD、1CC的中点，则异面直线1AM与DN所成的角的大小是____________.【答案】90o【解析】方法一:连接D1M,易得DN⊥A1D1,DN⊥D1M,所以,DN⊥平面A1MD1,又A1M平面A1MD1,所以,DN⊥A1D1,故夹角为90o方法二:以D为原点,分别以DA,DC,DD1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系D—xyz.设正方体边长为2,则D(0,0,0),N(0,2,1),M(0,1,0)A1(2,0,2)故,），（），（2,121,2,01MADN所以,cos|MA||DN|111MADNMADN，=0,故DN⊥D1M,所以夹角为90o【例5】（2012大纲理）三棱柱111ABCABC中,底面边长和侧棱长都相等,1160BAACAA,则异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为_____________.NMB1A1C1D1BDCA【答案】66【解析】设该三棱柱的边长为1,依题意有1111,ABABAABCACAAAB,则22221111||()222cos603ABABAAABABAAAA2222211111||()2222BCACAAABACAAABACAAACABAAAB而1111()()ABBCABAAACAAAB1111111111112222ABACABAAABABAAACAAAAAAAB11111116cos,6||||23ABBCABBCABBC【例6】（2011·福建）如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．【答案】2【解析】∵EF∥面AB1C，∴EF∥AC.又E是AD的中点，∴F是DC的中点．∴EF＝12AC＝2.【例7】（2012年山东文）如图,几何体EABCD是四棱锥,△ABD为正三角形,,CBCDECBD.（1）求证:BEDE;（2）若∠120BCD,M为线段AE的中点,求证:DM∥平面BEC.【解析】（1）设BD中点为O,连接OC,OE,则由BCCD知COBD,又已知CEBD,所以BD平面OCE.所以BDOE,即OE是BD的垂直平分线,所以BEDE.（2）取AB中点N,连接,MNDN,∵M是AE的中点,∴MN∥BE,∵△ABD是等边三角形,∴DNAB.由∠BCD=120°知,∠CBD=30°,所以∠ABC=60°+30°=90°,即BCAB,所以ND∥BC,所以平面MND∥平面BEC,又DM平面MND,故DM∥平面BEC.另证:延长BCAD,相交于点F,连接EF.因为CB=CD,090ABC.因为△ABD为正三角形,所以0090,60ABCBAD,则030AFB,所以AFAB21,又ADAB,所以D是线段AF的中点,连接DM,又由点M是线段AE的中点知EFDM//,而DM平面BEC,EF平面BEC,故DM∥平面BEC.【例8】（2011天津）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．（1）证明：PB∥平面ACM；（2）证明：AD⊥平面PAC；（3）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．【解析】（1）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点．又M为PD的中点，所以PB∥MO.因为PB?平面ACM，MO?平面ACM，所以PB∥平面ACM.（2）证明：因为∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，所以∠DAC＝90°，即AD⊥AC，又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PO⊥AD.而AC∩PO＝O，所以AD⊥平面PAC.（3）取DO中点N，连接MN，AN.因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN＝12PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角，在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝12，所以DO＝52，从而AN＝12DO＝54.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝MNAN＝154＝455，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为455.【例9】（2012湖南文）如图，在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.（1）证明:BD⊥PC;（2）若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.PEADCB【解析】（1）因为,,.PAABCDBDABCDPABD平面平面所以又,,ACBDPAAC是平面PAC内的两条相较直线,所以BD平面PAC,而PC平面PAC,所以BDPC.（2）设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,所以DPO是直线PD和平面PAC所成的角,从而DPO30.由BD平面PAC,PO平面PAC,知BDPO.在RtPOD中,由DPO30,得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形,ACBD,所以,AODBOC均为等腰直角三角形,从而梯形ABCD的高为111(42)3,222ADBC于是梯形ABCD面积1(42)39.2S在等腰三角形AOD中,2,22,2ODAD所以22242,4.PDODPAPDAD故四棱锥PABCD的体积为11941233VSPA.【例10】（2012新课标理）如图,直三棱柱111ABCABC中,112ACBCAA,D是棱1AA的中点,BDDC1（1）证明:BCDC1（2）求二面角11CBDA的大小.【解析】（1）在RtDAC中,ADAC得:45ADC同理:1114590ADCCDC得:111,DCDCDCBDDC面1BCDDCBC（2）11,DCBCCCBCBC面11ACCABCAC取11AB的中点O,过点O作OHBD于点H,连接11,COCH1111111ACBCCOAB,面111ABC面1ABD1CO面1ABD1OHBDCHBD得:点H与点D重合且1CDO是二面角11CBDA的平面角设ACa,则122aCO,1112230CDaCOCDO既二面角11CBDA的大小为30【课堂练习】1．（2012浙江理）已知矩形ABCD,AB=1,BC=2.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中（）A．存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置,三直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直2．（2012四川理）下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行3．（2011重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点()A．只有1个B．恰有3个C．恰有4个D．有无穷多个4．（2012上海）已知空间三条直线l，m，n若l与m异面,且l与n异面,则（）A．m与n异面.B．m与n相交.C．m与n平行.D．m与n异面、相交、平行均有可能.5．（2011烟台）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，AB则m⊥n.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．46．（2011潍坊）已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m?α，n?β，则α∥βC．若m∥n，m∥α，则n∥αD．若n⊥α，n⊥β，则α∥β7.（2010全国卷文）直三棱柱111ABCABC中，若90BAC，1ABACAA，则异面直线1BA与1AC所成的角等