M矩阵判定定理及证明

M矩阵的性质、判定定理及证明一、M矩阵背景介绍：1、M矩阵是计算数学中应用极其广泛的矩阵类。M矩阵是L矩阵的一种，M矩阵要求它自身的逆矩阵为一个非负矩阵。2、首先，L矩阵的定义为：若A一个n*n的方阵，若0iia而0ija(i≠j)，则称A为L矩阵。3、关于M-矩阵的一篇最早的论文发表于1887年，Stieltje证明了一个具有非正非对角元的，非奇异对称对角占优矩阵的逆是一个非负矩阵。之后，1937年Ostrowski提出M矩阵的定义为：具有非正非对角元，且逆是非负矩阵。近年来，国内外的许多数学工作者对M矩阵判定方法的研究都极为重视，并开展了深入的研究工作，给出了许多判定方法。但就目前的研究成果来看，所提出的M矩阵的判定方法仅是、且仅能对M矩阵作整体判定，这对高阶矩阵来说，在计算上较为困难，判定方法难以实现，因而现有M矩阵的判定方法存在着相当大的局限性。二、M矩阵的概念定义1设nnijaA)(，且0ija，ji，01A，称A为M矩阵。定义2设nnijaA)(，且0ija，若1A为M矩阵，则称A为逆M矩阵。引理1如果nnijaA)(，且0ija，ji，A为M矩阵的充要条件是A可做三角分解，RLA,其中L为下三角阵，R为上三角阵，L和R的主对角元都是正值。三、M矩阵的判定定理与证明定理1若nnijaA)(为M矩阵，则RLA，其中下三角阵L和上三角阵R的主对角线元素为正，且其余元素为非正值。证明若A为M阵，则当ji，0ija；ji，0ija。由引理1，A可做三角分解RLA。设nnnnllllllL21222111000，nnnnrrrrrrR00022211211则nnnnnnnnnnnrlrlrlrlrllrlrlrlrlrlrlrlA112221211112212122221221112111112111111，故0,,1111211nrlrl。因011l，故0,,112nrr；因,0,0,,111111121rrlrln故0,,121nrr；因022321231rlrl，故02221rl，从而021l；因023221321rlrl，故023r。类似的有02ir，02il（ni,,5,4）。又因有0343324321421rlrlrl及0334323421341rlrlrl故相应有014r，043l。类似的有03ir，03il（ni,,6,5）。假设kn时有0ikl，0kir，（nki,,1），当1kn时，由于02,11,12,,12,22,12,11,1kkkkkkkkkkkkrlrlrlrl，故02,1kkr。又由于01,11,21,11,2kkkkkkrlrl，故01,2kkl；类似的可得到0,1ikr，01,kil（nki,,2）。证毕。定理2设nnijaA)(，ija的代数余子式为ijA，nji,,2,1,，如果,,0jiaij则1A为M矩阵的充要条件0,0ijiiAA。证明必要性：如果1A为M矩阵，由于))(,0(11nnijAAAdAdA，故0,0ijiiAA)(ji。充分性：由于AdA11，且0,0ijiiAA，),,2,1,(,0,)(njiaaAijnnij，就由定义1知1A为M矩阵，证毕。定义3设有n阶矩阵nnijaA)(，如果存在正向量X（即它的分量ix都是正值），使得),,2,1(nixaxaijjijiii成立，则称A为拟对角占优。引理2设nnijaA)(，满足)(0,0jiaaijii，并且矩阵TAAB为拟对角占优，则A为M矩阵。定理3设nnijaA)(，如果kinkiaakikkii,,,2,1,,41则A为M矩阵（其中ijjiijiiiijaajiajia,0,,0）。证明若iiia21对ni,,2,1皆成立，则由定义3知TAAB为拟对角占优。由引理2知A为M矩阵，为此，只需证明对某个i有iiia21的情形。不失一般性，不妨设121iia。由kikkiiaa41,可得,,,3,2,21nkakkk用111/)21(a乘以矩阵B的第一列，得新矩阵)()1()1(ijbB，则有1)1(11b，nkiikkiikkkkkkkkaaaaaaab2)1(11111111)1()2/()2/(2再假设0,/1)1(22)1(22)1(2bbr，用r乘以矩阵)1(B的第二列得到新矩阵)()2()2(ijbB，则有)2(1)1(1)1(11)2(11bb，)2(2)1(2)1(22)2(22rbb，)2()1()1()2(kkkkkkbb，nk,,4,3于是)2(B为强对角占优，故B为拟对角占优。由引理2知A为M矩阵。定理4设0),(,0,)(iiijnnijajiaaA，设iiiaiN211，iiiaiN212，nNNN,,2,121，1Njjiijiaa，1Njjiijiaa若对任意21,NjNi，恒有ijijjiiiaa)2)(2(，则A为M矩阵。证明令：),(2,221NjNiaaRaariiiiijjjjj，由于ijjjjiiiaaa)2)(2(，故jirR，取iNjjNjRr12minmax做121,1;,|NidNidddiagDii当当得)()1()1(ijbBDB，则当1Ni时，有)0(0222)1()1(iiiiiiiiiiiiiiiiaaaaaab，如果0i，显然有02)1()1(iiiiiiaab。当2Ni时有02)2()2()1()1(iiiiiiiiiiiiiiiaaaaaab，于是知BDB)1(为强对角占优矩阵，由定义3知B为拟对角占优矩阵，因此，根据引理2知A为M矩阵。证毕。定理5如果存在正对角阵D，使AD为拟对角占优阵，则A为拟对角占优阵。证明因为存在正对角阵D，使AD为拟对角占优，则存在正对角阵1D，使1ADD为强对角占优。又因1DD仍为正对角阵，故A为拟对角占优阵。证毕。定理6设0,,0,)(iiijnnijajiaaA，且对任意的12,NiNj有ijijjiiiaaa)2)(2(（1）并且对全体等号成立的ji,，存在非零元素链112111211,kkkkijjjjjiiiiiiaaaaaa，使得kkkkkkkkijjjjiiiaaaa1111)2)(2(成立，则A为M矩阵。证明由于ijijjiiiaaa)2)(2(，故jirR。取iNjjNjRr21minmax，做12,1;,|NidNidddiagDiii当当得)()1()1(ijbBDB，则当1Ni时，有)0(0)1()1(iiiib如果0i，显然有0)1()1(iiib。当2Ni时，有0)1()1(iiib，反之，若对使式（1）成立的ji,，存在非零元素链112111211,kkkkjjjjjjiiiiiiaaaaaa，使得kkkkkkkkijjjjiiiaaaa1111)2)(2(成立则由前分析知BDB)1(为具有非零元素链的对角占优矩阵，并且通过文献知道)1(B为半强对角占优矩阵。故BDB)1(为拟对角占优矩阵，从而B为拟对角占优矩阵，由引理2知A为M矩阵。证毕。四、关于M矩阵新的判定方法利用逐次降阶的方法，使一个任意阶的矩阵A所对应的)~(~TAAAA逐次降为最后只需利用定义，就可判定矩阵A~是否满足要求，而无须要求理解定理。从而得出结论，如果A~是M矩阵，则A亦是M矩阵。1判定方法定义1设A为n阶方阵，若对任意的0,0,AxxxRxTn则称A为正定矩阵。定义2设,0),(,0)(1AjiaRaAijnnij且则称A为M矩阵。定义3设nnijRaA)(存在正对角阵D，使AD为正定矩阵，则称A为广义正定矩阵。引理1设nnijRaA)(，且)(,0jiaij，则A为M矩阵的充要条件是为广义正定矩阵。引理2设nnijRaA)(，且TAA，C是n阶可逆方阵，则A为广义正定矩阵的充要条件是ACCT为广义正定矩阵。引理3设设nnijRaA)(，且TAA，)(,0jiaij，C是n阶可逆方阵，则A为M矩阵的充要条件是ACCT为广义正定矩阵。引理4nnijRaA)(，且)(,0jiaij，若TAAA~为M矩阵，则A为M矩阵。定理1设22211211AAAAA，0ija，如果)())((,211211111122122221111TTTTTAAAAAAAAAA,为广义正定矩阵，则A为M矩阵。证明取221121111110)()(IAAAAICTT则)())((00)(211211111122122221111TTTTTTTAAAAAAAAAACAAC由于)())((,211211111122122221111TTTTTAAAAAAAAAA，为广义正定矩阵，故CAACTT)(为广义正定矩阵，故TAA为M矩阵，所以A为M矩阵。定理2设333231232221131211AAAAAAAAAA，0ija，且),3,2,1,(~jiAAATijijij若)~~~~)(~~~~)(~~~~(~~~~,~~~~~,~1311121231211121221211131321211121222212111212211AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA为广义正定矩阵，则A为M矩阵。证明设32131111211110000~~~~IIAAAAIC，则11100~)(BACAACTT，其中1311131331211131321311121231211121221~~~~~~~~~~~~~~~~AAAAAAAAAAAAAAAAB（所以，只需证1B为广义正定矩阵）取2131112123121111122210)~~~~)(~~~~(IAAAAAAAAID，得)~~~~()~~~~)(~~~~(~~~~00~~~~13111212311211121221211131321311131331211121221AAAAAAAAAAAAAAAAAAAADBDT由已知条件，得DBDT1为广义正定矩阵，故1B为广义正定矩阵，故CAACTT)(为广义正定矩阵，因此TAA为广义正定矩阵，所以TAA为M矩阵，即A为M矩阵。定义6若TAA正定，则称A实部正定。定义7若存在正对角阵D，使TDADA)(正定，则称A广义实部正定。引理5nnijRaA)(，且)(,0jiaij，则A为M矩阵的充要条件是A为广义实部正定。定理3设)(,0,)(jiaRaAijnnij，A分块如定理1，则A为M矩阵的充要条件是存在正对角21DDdiagD使TTTADADADADDADAAA)()(21,2122111111111112122