Lambert-W函数

第二章LambertW函数2.1LambertW函数简介LambertW函数(又称欧米茄函数或乘积对数)，是wwewf的反函数，其中we是指数函数，w是任意复数，对于任何复数z，都有[1,2]：zwezWz(2.1)由于函数f不是单射，因此函数W是多值的（除了0以外）。如果我们把x限制为实数，并要求W是实数，那么函数仅对于ex1有定义，在0,1e内是多值的；如果加上1w的限制，则定义了一个单值函数0W（见图2.1）。我们有000W，110eW。而在0,1e内的1w分支，则记为xW1，从111eW递减为01W。LambertW函数不能用初等函数来表示。它在组合数学中有许多用途，例如树的计算。它可以用来解许多含有指数的方程，也出现在某些微分方程的解中。图2.1LambertW函数的坐标形式上面关于LambertW函数的性质我们可以总结为[3]：01()1we（2.2）0()xxwxe(其中x-1)（2.3）LambertW函数的积分形式为[9]：dvevvxvvvxxWvvcot22csccot12)(，dtittxittxexxWtilnlnlnlnln)1(ln1)(0112，dtikttxikttxeikxxWtik)12(lnln)12(lnlnln)12(ln1)(0112以上均要求：,01,ex，Zk利用隐函数的求导法则，我们可以证明LambertW函数满足以下微分方程zWdzzdWzWz1，ez/1因此：ezzWzzWdzzdW/1,1，函数xW，以及许多含有xW的表达式，都可以用xWw的变量代换来积分，也就是说wwex，CxWxWxdxxW11，330336.02110dxxW2.2LambertW函数的性质1函数zzzzzzzy的极限可以表示为zzWylnln2若0z，则zWzzWlnln0W在0x的泰勒级数如下：5432110241253823!xxxxxxnnxWnnn，收敛半径为e1。加法定理：yWxyxWxyWyWxW，其中0,0yx特殊值22iW2ln22lnW11eW00W1W1eWeeWe)1(eeWe111111eWeWkkkWln)ln(，0k2.3LambertW函数的应用许多含有指数的方程都可以用LambertW函数来解出。一般的方法是把未知数都移到方程的一侧，并设法化为zwezWz的形式。下面我们举几个例子来应用LambertW函数解一些方程例1，以下的方程dcxpbax，其中0,1,0cpp令cadaxt化为，ppRWtlnlncdpapcpaWxcadblnln例如解以下方程：tt52tt2512ln51tte2ln51tte2ln2ln52lntet52ln2lnWt2ln52lnWt用类似的方法可知以下方程的解zxx为zWzxlnlnzWxlnexp以下方程的解axxblog具有形式baWbaxlnln一般化标准的LambertW函数可用来表示以下超越代数方程式的解：rxaecx0，其中0a，c与r为实常数。其解为：cceWrxacr/0例2，如下方程：0xabx其中0,0,0xba取对数得：bxxalnlnabxxlnln及abxxeelnln最终解为:abWbaxklnln