方程的解与函数的零点课件

主讲人——陈用3.1.1方程的根与函数的零点思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系举例说明我们知道，令2(0)yaxbxca的函数值y＝0，则得到一元二次方程:20(0)axbxca一、方程的根与相应函数图象的关系观察具体例子1、方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3;2、方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1;3、方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3;问题1观察下表(一)，说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与x轴的交点的关系。没有交点(1,0)x2-2x+3=0x2-2x+1=0(-1,0),(3,0)x2-2x-3=0-2-4-6-8-10-12-14-16-18-20-30-25-20-15-10-5-132-2-4-6-8-10-12-14-16-25-20-15-10-5gx=x2-2x[phone]-16-18-30-25-20-15-10-5qx=x2-2x+311.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。结论:无实数根x1=x2=1x1=-1,x2=3y=x2-2x+3y=x2-2x+1y=x2-2x-3图象与x轴的交点函数的图象一元二次方程方程的根二次函数2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。能否将二次函数的图像与Ｘ轴的交点与对应的一元二次方程的根的关系推广到一般情形？2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数结论：对于函数y=f(x)我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zeropoint)方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点函数零点（1）函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.1.观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:（1）函数f(x)在区间[-2,1]内有零点x＝有f(－2)·f(1)0(或)（2）函数f(x)在区间[2,4]内有零点x＝___，有f(2)·f(4)____0（或)xyO－132112－1－2－3－4－24二、问题探究-132.函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？有有有(1)在区间(a,b)上____(有/无)零点；f(a)·f(b)____0（＜或＞）．(2)在区间(b,c)上____(有/无)零点；f(b)·f(c)____0（＜或＞）．(3)在区间(c,d)上____(有/无)零点；f(c).f(d)____0（＜或＞）．xy0如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.【注意】零点存在性定理：(1)图像是连续不断的曲线0)()()2(bfafabxy0由表3-1和图3.1—3可知f(2)0,f(3)0，即f(2)·f(3)0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.1—3）－4－1.30691.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972例题1求函数f(x)=lnx+2x－6的零点数123456789xf（x）.........x0－2－4－6105y241086121487643219三、解题示范1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：（1）－x2＋3x＋5＝0；（2）2x(x－2)＝－3；（3）x2＝4x－4；（4）5x2＋2x＝3x2＋5.四、解题体验1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,作出函数f(x)的图象，如下：.....xy0－13214862－24它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。1.(1)－x2＋3x＋5＝01(2)解：2x(x－2)＝－3可化为2x2－4x＋3＝0，令f(x)=2x2－4x＋3,作出函数f(x)的图象,如下：xy0－132112543.....它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。1.(2)2x(x－2)＝－31(3)解：x2＝4x－4可化为x2－4x＋4＝0，令f(x)=x2－4x＋4，作出函数f(x)的图象，如下：.....它与x轴只有一个交点，所以方程x2＝4x－4有两个相等的实数根。xy0－132112543641.(3)x2＝4x－41(4)解：5x2+2x＝3x2+5可化为2x2＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋2x－5,作出函数f(x)的图象，如下：xy0－132112－1－3－3－43－6－54－4－2－2.....它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x＝3x2+5有两个不相等的实数根。Welldone！1.(4)5x2＋2x＝3x2＋5课堂小结：1.函数零点的定义；2.函数的零点与方程的根的关系；４.确定函数的零点所在区间的方法3.函数零点存在性定理;请大家批评指正！ThankYou!2(1)解：作出函数的图象，如下：因为f(1)=10,f(1.5)=－2.8750,所以f(x)=－x3－3x+5在区间(1,1.5)上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞）上的减函数，所以在区间(1,1.5)上有且只有一个零点。xy0－1321125432.(1)f(x)=－x3－3x+5.....利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：2(2)解：作出函数的图象，如下：....因为f(3)＝－30,f(4)≈2.5450,所以f(x)=2x·ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为f(x)=2x·ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数，所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。xy0－1321125-3-242.(2)f(x)=2x·ln(x－2)－3利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：2(3)解：作出函数的图象，如下：....因为f(0)≈－3.630,f(1)＝10,所以f(x)=ex－1+4x－4在区间(0,1)上有零点。又因为f(x)=ex－1+4x－4是(－∞，＋∞）上的增函数，所以在区间(0,1)上有且只有一个零点。2.(3)f(x)=ex－1+4x－4xy0－132112－1－2－3－4－24利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：2(4)解：作出函数的图象，如下：x0－80－1－55y24012043－60－40－20－4－3－2因为f(－4)＝－40,f(－3)＝150,f(－2)＝－20,f(2)＝－700,f(3)＝30,所以f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x在区间(－4,－3)、(－3，－2,)、(2,3)上各有一个零点。2.(4)f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x...........利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：